Potrafisz już wskazać, nazwać i obliczyć długości odcinków w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym. Umiejętność ta będzie bardzo przydatna przy zagadnieniach omawianych w tym temacie.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym mamy dwa rodzaje ścian:

  • podstawa, która jest kwadratem,

  • ściany boczne, które są przystającymi trójkątami równoramiennymi.

Poniżej omówimy dwa rodzaje kątów między płaszczyznami i prostymi:

  • kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy,

  • kąt nachylenia wysokości do ściany bocznej.

oraz dwa rodzaje kątów pomiędzy płaszczyznami:

  • kąt pomiędzy płaszczyzną ściany bocznej i płaszczyzną podstawy,

  • kąt pomiędzy płaszczyznami sąsiednich ścian bocznych.

Kąt nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego do płaszczyzny podstawy

Kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawykąt nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego do płaszczyzny podstawyKąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy jest kątem pomiędzy krawędzią boczną a przekątną podstawy.

R40uKQaPJk3Dn

Aby obliczyć jego miarę wykorzystuje się trójkąt prostokątny, którego bokami są wysokość ostrosłupa, połowa przekątnej i krawędź boczna.

RDwHKMTUhQVFQ
Przykład 1

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 42, a wysokość bryły ma długość 8.

Obliczymy kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy w tym ostrosłupie.

R2ngsRuFV4MGp

Przekątna podstawy ma długość

d=42·2=8

Stąd d2=4.

Korzystając z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym AEH otrzymujemy tgα=84=2.

Z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych mamy α63°.

Przykład 2

Wróćmy do tipi budowanego we wprowadzeniu. Pod jakim kątem należy ustawić kijki tipi, którego podstawa jest kwadrat o boku 120 cm, jeżeli kije zostają ze sobą związane na wysokości 170 cm?

R1KVdeUm6behR

Przekątna podstawy ma długość d=1,22 m zatem d2=0,62 m.

Korzystając z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym cosα=0,621,70,5, a zatem α60°.

Kąt nachylenia wysokości ostrosłupa prawidłowego czworokątnego do płaszczyzny ściany bocznej

Kąt nachylenia wysokości ostrosłupa do ściany bocznejkąt nachylenia wysokości ostrosłupa prawidłowego czworokątnego do płaszczyzny ściany bocznejKąt nachylenia wysokości ostrosłupa do ściany bocznej, to kąt pomiędzy wysokością ostrosłupa, a wysokością ściany bocznej poprowadzoną z wierzchołka ostrosłupa.

R93K4jxS28W1a

Do obliczenia miary tego kąta wykorzystujemy trójkąt prostokątny, którego bokami są wysokość ostrosłupa, wysokość ściany bocznej oraz odcinek łączący spodek wysokości ze środkiem krawędzi podstawy.

RPN48At2ygNCB
Przykład 3

Obliczymy tangens kąta nachylenia wysokości do ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 6 i krawędzi bocznej 9.

RYzwMuM39V3O9

Obliczymy długość wysokości ściany bocznej poprowadzonej z wierzchołka E korzystając z Twierdzenia Pitagorasa

32+h2=92

A zatem

h2=72 i stąd h=62.

Obliczymy teraz długość wysokości ostrosłupa

H2+32=622

Czyli H2=63, a stąd H=37.

Ostatecznie tgα=337=77.

Kąt pomiędzy ścianą boczną, a płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

Kąt pomiędzy ścianą boczną, a płaszczyzną podstawy w ostrosłupie prawidłowym czworokątnymkąt pomiędzy ścianą boczną, a płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnegoKąt pomiędzy ścianą boczną, a płaszczyzną podstawy w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym jest kątem pomiędzy wysokością ściany bocznej poprowadzonej z wierzchołka ostrosłupa, a odcinkiem łączącym spodek wysokości ze środkiem krawędzi podstawy.

R6XbqiEIWcqkC

W obliczeniach wykorzystujemy ten sam trójkąt prostokątny, co w poprzednim przypadku.

Przykład 4

Kąt pomiędzy wysokością ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, a ścianą boczną ma miarę 23°. Jaką miarę ma kąt pomiędzy ścianą boczną a płaszczyzną podstawy?

R1GO60ltbJEfm

Kąt nachylenia wysokości do ściany bocznej oraz kąt pomiędzy ścianą boczną, a płaszczyzną podstawy są kątami ostrymi tego samego trójkąta prostokątnego.

A zatem kąt pomiędzy ścianą boczną, a płaszczyzną podstawy ma miarę α=9023=67.

Ważne!

Suma miary kąta nachylenia wysokości do ściany bocznej oraz kąta pomiędzy ścianą boczną i płaszczyzną podstawy wynosi 90°.

Kąt pomiędzy ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

Kąt pomiędzy ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowegokąt pomiędzy ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego czworokątnegoKąt pomiędzy ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego, to kąt pomiędzy wysokościami tych ścian poprowadzonymi z wierzchołków podstawy ostrosłupa na wspólną krawędź boczną.

RJbrhBaoAEOgt

Zauważmy, że trójkąt DGB jest równoramienny, a bok DB tego trójkąta jest przekątną podstawy ostrosłupa.

Przykład 5

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość 2, a krawędź boczna 4. Oblicz sinus kąta pomiędzy ścianami bocznymi tego ostrosłupa.

Zróbmy rysunek pomocniczy.

Rg9mu4WSLSDzy

Ściany boczne są trójkątami równoramiennymi.

Obliczmy, korzystając z Twierdzenia Pitagorasa, wysokość trójkąta DCE poprowadzoną z wierzchołka E:

12+h2=42

Stąd h=15.

Pole trójkąta DCE wynosi zatem

P=2152=15

Pole tego trójkąta można policzyć również ze wzoru

P=CE·DG2

Czyli 15=4·DG2.

Mamy już zatem długość DG=152.

Ponadto DB=22.

Skorzystajmy z twierdzenia cosinusów:

DB2=DG2+BG2-2·DG·BG·cosBGD

8=154+154-2·152·152·cosBGD

152·cosBGD=-12

A zatem

cosBGD=-115

Oznacza to, że kąt pomiędzy ścianami bocznymi tego ostrosłupa jest rozwarty.

Korzystając z “jedynki trygonometrycznej” sin2BGD=224225, a sinus kąta rozwartego jest dodatni.

A zatem

sinBGD=41415.

Słownik

kąt nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego do płaszczyzny podstawy
kąt nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego do płaszczyzny podstawy

kąt pomiędzy krawędzią boczną, a przekątną podstawy

kąt nachylenia wysokości ostrosłupa prawidłowego czworokątnego do płaszczyzny ściany bocznej
kąt nachylenia wysokości ostrosłupa prawidłowego czworokątnego do płaszczyzny ściany bocznej

kąt pomiędzy wysokością ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, a wysokością ściany bocznej poprowadzonej z wierzchołka ostrosłupa

kąt pomiędzy ścianą boczną, a płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego
kąt pomiędzy ścianą boczną, a płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

kąt pomiędzy wysokością ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego poprowadzoną z wierzchołka ostrosłupa, a odcinkiem łączącym spodek wysokości ze środkiem krawędzi podstawy

kąt pomiędzy ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego
kąt pomiędzy ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego

kąt pomiędzy wysokościami ścian bocznych poprowadzonymi z różnych wierzchołków podstawy na wspólną krawędź tych ścian