Potrafisz już wskazać, nazwać i obliczyć długości odcinków w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym. Umiejętność ta będzie bardzo przydatna przy zagadnieniach omawianych w tym temacie.
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym mamy dwa rodzaje ścian:
podstawa, która jest kwadratem,
ściany boczne, które są przystającymi trójkątami równoramiennymi.
Poniżej omówimy dwa rodzaje kątów między płaszczyznami i prostymi:
kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy,
kąt nachylenia wysokości do ściany bocznej.
oraz dwa rodzaje kątów pomiędzy płaszczyznami:
kąt pomiędzy płaszczyzną ściany bocznej i płaszczyzną podstawy,
kąt pomiędzy płaszczyznami sąsiednich ścian bocznych.
Kąt nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego do płaszczyzny podstawy
Kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawykąt nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego do płaszczyzny podstawyKąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy jest kątem pomiędzy krawędzią boczną a przekątną podstawy.
R40uKQaPJk3Dn
Aby obliczyć jego miarę wykorzystuje się trójkąt prostokątny, którego bokami są wysokość ostrosłupa, połowa przekątnej i krawędź boczna.
RDwHKMTUhQVFQ
Przykład 1
Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa , a wysokość bryły ma długość .
Obliczymy kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy w tym ostrosłupie.
R2ngsRuFV4MGp
Przekątna podstawy ma długość
Stąd .
Korzystając z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym otrzymujemy .
Z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych mamy .
Przykład 2
Wróćmy do tipi budowanego we wprowadzeniu. Pod jakim kątem należy ustawić kijki tipi, którego podstawa jest kwadrat o boku , jeżeli kije zostają ze sobą związane na wysokości ?
R1KVdeUm6behR
Przekątna podstawy ma długość zatem .
Korzystając z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym , a zatem .
Kąt nachylenia wysokości ostrosłupa prawidłowego czworokątnego do płaszczyzny ściany bocznej
Kąt nachylenia wysokości ostrosłupa do ściany bocznejkąt nachylenia wysokości ostrosłupa prawidłowego czworokątnego do płaszczyzny ściany bocznejKąt nachylenia wysokości ostrosłupa do ściany bocznej, to kąt pomiędzy wysokością ostrosłupa, a wysokością ściany bocznej poprowadzoną z wierzchołka ostrosłupa.
R93K4jxS28W1a
Do obliczenia miary tego kąta wykorzystujemy trójkąt prostokątny, którego bokami są wysokość ostrosłupa, wysokość ściany bocznej oraz odcinek łączący spodek wysokości ze środkiem krawędzi podstawy.
RPN48At2ygNCB
Przykład 3
Obliczymy tangens kąta nachylenia wysokości do ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy i krawędzi bocznej .
RYzwMuM39V3O9
Obliczymy długość wysokości ściany bocznej poprowadzonej z wierzchołka korzystając z Twierdzenia Pitagorasa
A zatem
i stąd .
Obliczymy teraz długość wysokości ostrosłupa
Czyli , a stąd .
Ostatecznie .
Kąt pomiędzy ścianą boczną, a płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego
Kąt pomiędzy ścianą boczną, a płaszczyzną podstawy w ostrosłupie prawidłowym czworokątnymkąt pomiędzy ścianą boczną, a płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnegoKąt pomiędzy ścianą boczną, a płaszczyzną podstawy w ostrosłupie prawidłowym czworokątnym jest kątem pomiędzy wysokością ściany bocznej poprowadzonej z wierzchołka ostrosłupa, a odcinkiem łączącym spodek wysokości ze środkiem krawędzi podstawy.
R6XbqiEIWcqkC
W obliczeniach wykorzystujemy ten sam trójkąt prostokątny, co w poprzednim przypadku.
Przykład 4
Kąt pomiędzy wysokością ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, a ścianą boczną ma miarę . Jaką miarę ma kąt pomiędzy ścianą boczną a płaszczyzną podstawy?
R1GO60ltbJEfm
Kąt nachylenia wysokości do ściany bocznej oraz kąt pomiędzy ścianą boczną, a płaszczyzną podstawy są kątami ostrymi tego samego trójkąta prostokątnego.
A zatem kąt pomiędzy ścianą boczną, a płaszczyzną podstawy ma miarę .
Ważne!
Suma miary kąta nachylenia wysokości do ściany bocznej oraz kąta pomiędzy ścianą boczną i płaszczyzną podstawy wynosi .
Kąt pomiędzy ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego
Kąt pomiędzy ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowegokąt pomiędzy ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego czworokątnegoKąt pomiędzy ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego, to kąt pomiędzy wysokościami tych ścian poprowadzonymi z wierzchołków podstawy ostrosłupa na wspólną krawędź boczną.
RJbrhBaoAEOgt
Zauważmy, że trójkąt jest równoramienny, a bok tego trójkąta jest przekątną podstawy ostrosłupa.
Przykład 5
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość , a krawędź boczna . Oblicz sinus kąta pomiędzy ścianami bocznymi tego ostrosłupa.
Zróbmy rysunek pomocniczy.
Rg9mu4WSLSDzy
Ściany boczne są trójkątami równoramiennymi.
Obliczmy, korzystając z Twierdzenia Pitagorasa, wysokość trójkąta poprowadzoną z wierzchołka :
Stąd .
Pole trójkąta wynosi zatem
Pole tego trójkąta można policzyć również ze wzoru
Czyli .
Mamy już zatem długość .
Ponadto .
Skorzystajmy z twierdzenia cosinusów:
A zatem
Oznacza to, że kąt pomiędzy ścianami bocznymi tego ostrosłupa jest rozwarty.
Korzystając z “jedynki trygonometrycznej” , a sinus kąta rozwartego jest dodatni.
A zatem
.
Słownik
kąt nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego do płaszczyzny podstawy
kąt nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego do płaszczyzny podstawy
kąt pomiędzy krawędzią boczną, a przekątną podstawy
kąt nachylenia wysokości ostrosłupa prawidłowego czworokątnego do płaszczyzny ściany bocznej
kąt nachylenia wysokości ostrosłupa prawidłowego czworokątnego do płaszczyzny ściany bocznej
kąt pomiędzy wysokością ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, a wysokością ściany bocznej poprowadzonej z wierzchołka ostrosłupa
kąt pomiędzy ścianą boczną, a płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego
kąt pomiędzy ścianą boczną, a płaszczyzną podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego
kąt pomiędzy wysokością ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego poprowadzoną z wierzchołka ostrosłupa, a odcinkiem łączącym spodek wysokości ze środkiem krawędzi podstawy
kąt pomiędzy ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego
kąt pomiędzy ścianami bocznymi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego
kąt pomiędzy wysokościami ścian bocznych poprowadzonymi z różnych wierzchołków podstawy na wspólną krawędź tych ścian