Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa $4\sqrt{2}$, a wysokość bryły ma długość $8$.

Obliczymy kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy w tym ostrosłupie.

R2ngsRuFV4MGp

Rysunek przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny o podstawie A B C D i wierzchołku E. Z wierzchołka upuszczona jest wysokość o długości 8. Na rysunku oznaczone są również przekątna podstawy A C oraz B D. Ich punkt przecięcia jest oznaczony jako H. Jest to też dolny koniec wysokości. Zaznaczone kąty: kąt prosty między wysokością a przekątną A C oraz kąt nachylenia krawędzi A E do przekątnej A C oznaczony jako kąt alfa. Różowym kolorem oznaczony jest trójkąt prostokątny A H E będący połową przekroju ostrosłupa względem przekątnej A C. Krawędź A B ostrosłupa ma długość 4 pierwiastki z dwóch.

Przekątna podstawy ma długość

$d=4\sqrt{2}·\sqrt{2}=8$

Stąd $\frac{d}{2}=4$.

Korzystając z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym $AEH$ otrzymujemy $tg\alpha =\frac{8}{4}=2$.

Z tabeli wartości funkcji trygonometrycznych mamy $\alpha \approx 63°$.

Wróćmy do tipi budowanego we wprowadzeniu. Pod jakim kątem należy ustawić kijki tipi, którego podstawa jest kwadrat o boku $120 \mathrm{cm}$, jeżeli kije zostają ze sobą związane na wysokości $170 \mathrm{cm}$?

R1KVdeUm6behR

Zdjęcie przedstawia dziecięce tipi. To to samo zdjęcie, które umieszczono we wprowadzeniu. Na zdjęcie naniesiono pewne wymiary: krawędź ściany nachylona do podstawy pod kątem alfa ma długość 1,7 metra. Krawędź podstawy ma długość 1,2 metra. Zaznaczona jest na zdjęciu także przekątna podstawy i wysokość ostrosłupa oraz zaznaczony jest kąt prosty między wysokością a przekątną podstawy.

Przekątna podstawy ma długość $d=1,2\sqrt{2} \mathrm{m}$ zatem $\frac{d}{2}=0,6\sqrt{2} \mathrm{m}$.

Korzystając z funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym $\cos \alpha =\frac{0,6\sqrt{2}}{1,7}\approx 0,5$, a zatem $\alpha \approx 60°$.

Obliczymy tangens kąta nachylenia wysokości do ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy $6$ i krawędzi bocznej $9$.

RYzwMuM39V3O9

Rysunek przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny o podstawie A B C D i wierzchołku E. Z wierzchołka upuszczona jest wysokość H, która jest jednocześnie odcinkiem E S. Przy punkcie S zaznaczony jest kąt prosty i od tego punktu poprowadzony jest odcinek S F, przy czym punkt F znajduje się na krawędzi B C. Na rysunku oznaczony jest również odcinek E F i kąt prosty E F C. Kolorem różowym zaznaczony jest trójkąt prostokątny S F E. Jego przeciwprostokątna E F jest opisana jako h, a kąt przy wierzchołku E, dokładniej kąt S E F jest oznaczony jako alfa. Podane są także długości krawędzi: A B ma długość 6, a C E 9.

Obliczymy długość wysokości ściany bocznej poprowadzonej z wierzchołka $E$ korzystając z Twierdzenia Pitagorasa

$3^2+h^2=9^2$

A zatem

$h^2=72$ i stąd $h=6\sqrt{2}$.

Obliczymy teraz długość wysokości ostrosłupa

$H^2+3^2={\left(6\sqrt{2}\right)}^2$

Czyli $H^2=63$, a stąd $H=3\sqrt{7}$.

Ostatecznie $\mathrm{tg}\alpha =\frac{3}{3\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{7}}{7}$.

Kąt pomiędzy wysokością ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, a ścianą boczną ma miarę $23°$. Jaką miarę ma kąt pomiędzy ścianą boczną a płaszczyzną podstawy?

R1GO60ltbJEfm

Rysunek przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny o podstawie A B C D i wierzchołku E. Z wierzchołka upuszczona jest wysokość, będąca odcinkiem E S. Przy punkcie S zaznaczony jest kąt prosty i od tego punktu poprowadzony jest odcinek S F, przy czym punkt F znajduje się na krawędzi B C. Na rysunku oznaczony jest również odcinek E F. Kąt S F E oznaczony jest jako alfa, a kąt F E S ma miarę dwudziestu trzech stopni. Kolorem różowym zaznaczony jest trójkąt S F E, przy czym S F jest podstawą, a E F przeciwprostokątną. Podana jest długość krawędzi A B i wynosi ona 6.

Kąt nachylenia wysokości do ściany bocznej oraz kąt pomiędzy ścianą boczną, a płaszczyzną podstawy są kątami ostrymi tego samego trójkąta prostokątnego.

A zatem kąt pomiędzy ścianą boczną, a płaszczyzną podstawy ma miarę $\alpha ={90}^{\circ }-{23}^{\circ }={67}^{\circ }$.

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość $2$, a krawędź boczna $4$. Oblicz sinus kąta pomiędzy ścianami bocznymi tego ostrosłupa.

Zróbmy rysunek pomocniczy.

Rg9mu4WSLSDzy

Rysunek przedstawia ostrosłup prawidłowy czworokątny o podstawie A B C D i wierzchołku E. Z punktu B poprowadzony jest odcinek B G, przy czym punkt G leży na krawędzi C E w taki sposób, że kąt między odcinkiem B G i częścią krawędzi, czyli odcinkiem G C wynosi 90 stopni. Analogicznie z punktu D wyprowadzony jest odcinek D G w taki sposób, że kąt między tym odcinkiem a częścią krawędzi, czyli odcinkiem G E wynosi 90 stopni. Kąt między krawędziami, czyli kąt B G D jest opisany jako alfa. Krawędź B C ma długość 2, a krawędź C E ma długość 4.

Ściany boczne są trójkątami równoramiennymi.

Obliczmy, korzystając z Twierdzenia Pitagorasa, wysokość trójkąta $DCE$ poprowadzoną z wierzchołka $E$:

$1^2+h^2=4^2$

Stąd $h=\sqrt{15}$.

Pole trójkąta $DCE$ wynosi zatem

$P=\frac{2\sqrt{15}}{2}=\sqrt{15}$

Pole tego trójkąta można policzyć również ze wzoru

$P=\frac{\left|CE\right|·\left|DG\right|}{2}$

Czyli $\sqrt{15}=\frac{4·\left|DG\right|}{2}$.

Mamy już zatem długość $\left|DG\right|=\frac{\sqrt{15}}{2}$.

Ponadto $\left|DB\right|=2\sqrt{2}$.

Skorzystajmy z twierdzenia cosinusów:

${\left|DB\right|}^2={\left|DG\right|}^2+{\left|BG\right|}^2-2·\left|DG\right|·\left|BG\right|·\cos \left(\sphericalangle BGD\right)$

$8=\frac{15}{4}+\frac{15}{4}-2·\frac{\sqrt{15}}{2}·\frac{\sqrt{15}}{2}·\cos \left(\sphericalangle BGD\right)$

$\frac{15}{2}·\cos \left(\sphericalangle BGD\right)=-\frac{1}{2}$

A zatem

$\cos \left(\sphericalangle BGD\right)=-\frac{1}{15}$

Oznacza to, że kąt pomiędzy ścianami bocznymi tego ostrosłupa jest rozwarty.

Korzystając z “jedynki trygonometrycznej” ${\sin }^2\left(\sphericalangle BGD\right)=\frac{224}{225}$, a sinus kąta rozwartego jest dodatni.

A zatem

$\sin \left(\sphericalangle BGD\right)=\frac{4\sqrt{14}}{15}$.

kąt pomiędzy krawędzią boczną, a przekątną podstawy

kąt pomiędzy wysokością ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, a wysokością ściany bocznej poprowadzonej z wierzchołka ostrosłupa

kąt pomiędzy wysokością ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego poprowadzoną z wierzchołka ostrosłupa, a odcinkiem łączącym spodek wysokości ze środkiem krawędzi podstawy

kąt pomiędzy wysokościami ścian bocznych poprowadzonymi z różnych wierzchołków podstawy na wspólną krawędź tych ścian