Przeczytaj
Podstawowe własności granic, symbole nieoznaczone
Zanim rozpoczniemy obliczanie granic w nieskończoności, przypomnimy sobie podstawowe własności granic.
Dla dowolnych funkcji i , mających właściwe (skończone) granice w : i oraz dowolnych liczb rzeczywistych i , prawdziwe są następujące własności arytmetyczne granic:
, o ile
Analogiczne własności zachodzą dla granic przy .
Założenie o skończoności granic funkcjiskończoności granic funkcji i było istotne. Jeżeli tylko jedna z granic będzie niewłaściwa, na przykład , to niektóre z powyższych wzorów pozostaną prawdziwe – oczywiście pamiętając o odpowiednich działaniach na nieskończonościach – na przykład:
,
albo
,
ale niektóre nie będą już prawdziwe, na przykład nie możemy napisać, że
,
chyba, że założymy dodatkowo, że .
Dla zobrazowania tego rozważmy trzy różne funkcje , które mają w granicę równą zero: , i oraz szczególną funkcję o niewłaściwej granicy w . Zauważmy, że w każdym z tych przypadków otrzymamy inny wynik granicy iloczynu:
,
,
.
W niektórych przypadkach mamy sytuacje nieprzewidywalne, czyli tak zwane symbole nieoznaczonesymbole nieoznaczone. Najczęstsze z nich to: , , , .
Jeżeli w zadaniu napotkamy granicę, sprowadzającą się do symbolu nieoznaczonego, nie wystarczy użycie przedstawionych powyżej własności arytmetycznych granic, trzeba znaleźć sposób na takie przekształcenie postaci funkcji, żeby symbol nieoznaczonysymbol nieoznaczony wyeliminować.
Funkcja wymierna
Funkcje wymierne to funkcje postaci: , gdzie i są wielomianami oraz . Granice wielomianów w nieskończonościachGranice wielomianów w nieskończonościach są w miarę proste do wyznaczania, bo są zawsze niewłaściwe (czyli nieskończone), a znak nieskończoności zależy od parzystości stopnia wielomianu i znaku współczynnika przy najwyższej potędze. Granice funkcji wymiernych są za to o wiele trudniejsze, gdyż są zawsze postaci , czyli w postaci symbolu nieoznaczonego. Czasami wystarczy dokonać odpowiedniego uproszczenia.
Obliczymy granicę funkcji dla dążącego do .
Rozwiązanie
Korzystając z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia, możemy zapisać:
.
Bardzo rzadko jednak możemy tak mocno uprościć naszą funkcję, zazwyczaj wyłączamy odpowiednie wyrażenia przed nawias w liczniku i mianowniku, a po ich skróceniu wyznaczamy wynik końcowy.
Wyznaczmy granicę .
Rozwiązanie
Wyłączamy przed nawias czynnik w najwyższej potędze, czyli w liczniku a w mianowniku . Po skróceniu otrzymujemy:
.
Obliczymy granicę .
Rozwiązanie
Postępując podobnie, jak powyżej, otrzymujemy:
.
Obliczymy granicę .
Rozwiązanie
Ponownie, postępując podobnie, jak wcześniej, otrzymujemy:
.
Funkcje oparte na funkcji wykładniczej
W podobny sposób, co powyżej, możemy potraktować funkcje będące wyrażeniami algebraicznymi związanymi z funkcjami wykładniczymi. Wiemy, że dla :
,
, .
Czasami, jak poprzednio, wystarczy uprościć postać funkcji.
Obliczymy granicę .
Rozwiązanie
Używając odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia, otrzymujemy:
.
W niektórych przypadkach pomaga, jak w przypadku funkcji wymiernych, wyłączenie z licznika i mianownika wyrazu „najszybciej” dążącego do nieskończoności i, po niezbędnym uproszczeniu, wyznaczenie wyniku końcowego.
Obliczymy granicę .
Rozwiązanie
Wyłączamy przed nawias w liczniku , a w mianowniku :
.
Obliczymy granicę .
Rozwiązanie
Wyłączamy, zarówno w liczniku, jak i w mianowniku, czynnik: .
Jeżeli liczymy granicę przy dążącym do , to musimy pamiętać, że zachowanie funkcji wykładniczej się zmienia i wówczas, dla , funkcja maleje do zera, a funkcja rośnie do plus nieskończoności.
Obliczymy granicę .
Rozwiązanie
Wyłączamy w liczniku , a w mianowniku .
.
Słownik
granica funkcji w nieskończoności ( lub ), która jest liczbą rzeczywistą
granica funkcji w nieskończoności ( lub ), która jest nieskończona ( lub )
wyrażenie algebraiczne, które nie ma sensu liczbowego, będące umownym sposobem zapisu przy obliczaniu granic funkcji: ; ; ; ; ; ;