Przeczytaj

Podstawowe własności granic, symbole nieoznaczone

Zanim rozpoczniemy obliczanie granic w nieskończoności, przypomnimy sobie podstawowe własności granic.

własności arytmetyczne granic

Twierdzenie: własności arytmetyczne granic

Dla dowolnych funkcji $f$ i $g$ , mających właściwe (skończone) granice w $+ \infty$ : $\lim_{x \to + \infty} f (x) = F$ i $\lim_{x \to + \infty} g (x) = G$ oraz dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ , prawdziwe są następujące własności arytmetyczne granic:

$\lim_{x \to + \infty} (a \cdot f (x) + b \cdot g (x)) = a \cdot F + b \cdot G$
$\lim_{x \to + \infty} (f (x) \cdot g (x)) = F \cdot G$
$\lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{F}{G}$ , o ile $G \neq 0$

Analogiczne własności zachodzą dla granic przy $x \to - \infty$ .

Założenie o skończoności granic funkcjigranica skończona w nieskończonościskończoności granic funkcji $f$ i $g$ było istotne. Jeżeli tylko jedna z granic będzie niewłaściwa, na przykład $\lim_{x \to + \infty} g (x) = + \infty$ , to niektóre z powyższych wzorów pozostaną prawdziwe – oczywiście pamiętając o odpowiednich działaniach na nieskończonościach – na przykład:

$\lim_{x \to + \infty} (f (x) + g (x)) = F + \infty = + \infty$ ,

albo

$\lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{F}{+ \infty} = 0$ ,

ale niektóre nie będą już prawdziwe, na przykład nie możemy napisać, że

$\lim_{x \to + \infty} (f (x) \cdot g (x)) = F \cdot + \infty$ ,

chyba, że założymy dodatkowo, że $F \neq 0$ .

Dla zobrazowania tego rozważmy trzy różne funkcje $f$ , które mają w $+ \infty$ granicę równą zero: $f_{1} (x) = \frac{1}{x}$ , $f_{2} (x) = \frac{1}{x^{2}}$ i $f_{3} (x) = \frac{1}{x^{3}}$ oraz szczególną funkcję $g (x) = x^{2}$ o niewłaściwej granicy w $+ \infty$ . Zauważmy, że w każdym z tych przypadków otrzymamy inny wynik granicy iloczynu:

$\lim_{x \to + \infty} (f_{1} (x) \cdot g (x)) = \lim_{x \to + \infty} x = + \infty$ ,

$\lim_{x \to + \infty} (f_{2} (x) \cdot g (x)) = \lim_{x \to + \infty} 1 = 1$ ,

$\lim_{x \to + \infty} (f_{3} (x) \cdot g (x)) = \lim_{x \to + \infty} \frac{1}{x} = 0$ .

W niektórych przypadkach mamy sytuacje nieprzewidywalne, czyli tak zwane symbole nieoznaczonesymbol nieoznaczonysymbole nieoznaczone. Najczęstsze z nich to: $0 \cdot \infty$ , $\frac{0}{0}$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\infty - \infty$ .

Jeżeli w zadaniu napotkamy granicę, sprowadzającą się do symbolu nieoznaczonego, nie wystarczy użycie przedstawionych powyżej własności arytmetycznych granic, trzeba znaleźć sposób na takie przekształcenie postaci funkcji, żeby symbol nieoznaczonysymbol nieoznaczonysymbol nieoznaczony wyeliminować.

Funkcja wymierna

Funkcje wymierne to funkcje postaci: $\frac{P (x)}{Q (x)}$ , gdzie $P$ i $Q$ są wielomianami oraz $Q (x) \neq 0$ . Granice wielomianów w nieskończonościachGranice wielomianów w nieskończonościach są w miarę proste do wyznaczania, bo są zawsze niewłaściwe (czyli nieskończone), a znak nieskończoności zależy od parzystości stopnia wielomianu i znaku współczynnika przy najwyższej potędze. Granice funkcji wymiernych są za to o wiele trudniejsze, gdyż są zawsze postaci $\frac{\infty}{\infty}$ , czyli w postaci symbolu nieoznaczonego. Czasami wystarczy dokonać odpowiedniego uproszczenia.

Przykład 1

Obliczymy granicę funkcji $f (x) = \frac{x^{4} + 4 x^{2} + 4}{x^{2} + 2}$ dla $x$ dążącego do $- \infty$ .

Rozwiązanie

Korzystając z odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia, możemy zapisać:

$\lim_{x \to - \infty} \frac{x^{4} + 4 x^{2} + 4}{x^{2} + 2} = \lim_{x \to - \infty} \frac{{(x^{2} + 2)}^{2}}{x^{2} + 2} = \lim_{x \to - \infty} (x^{2} + 2) = + \infty$ .

Bardzo rzadko jednak możemy tak mocno uprościć naszą funkcję, zazwyczaj wyłączamy odpowiednie wyrażenia przed nawias w liczniku i mianowniku, a po ich skróceniu wyznaczamy wynik końcowy.

Przykład 2

Wyznaczmy granicę $\lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{4} + 4 x^{2} + 4 x}{x^{2} + 2}$ .

Rozwiązanie

Wyłączamy przed nawias czynnik w najwyższej potędze, czyli w liczniku $x^{4}$ a w mianowniku $x^{2}$ . Po skróceniu otrzymujemy:

$\lim_{x \to - \infty} \frac{3 x^{4} + 4 x^{2} + 4 x}{x^{2} + 2} = \lim_{x \to - \infty} \frac{x^{4} (3 + \frac{4}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}})}{x^{2} (1 + \frac{2}{x^{2}})} =$

$= \lim_{x \to - \infty} (x^{2} \cdot \frac{3 + \frac{4}{x^{2}} + \frac{4}{x^{3}}}{1 + \frac{2}{x^{2}}}) = + \infty \cdot \frac{3}{1} = + \infty$ .

Przykład 3

Obliczymy granicę $\lim_{x \to + \infty} \frac{- 2 x^{2} + 3 x + 5}{3 x^{3} + 1}$ .

Rozwiązanie

Postępując podobnie, jak powyżej, otrzymujemy:

$\lim_{x \to + \infty} \frac{- 2 x^{2} + 3 x + 5}{3 x^{3} + 1} = \lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} (- 2 + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^{2}})}{x^{3} (3 + \frac{1}{x^{3}})} =$

$= \lim_{x \to + \infty} (\frac{1}{x} \cdot \frac{- 2 + \frac{3}{x} + \frac{5}{x^{2}}}{3 + \frac{1}{x^{3}}}) = 0 \cdot \frac{- 2}{3} = 0$ .

Przykład 4

Obliczymy granicę $\lim_{x \to + \infty} \frac{2 x^{2} + 3 x - 7}{3 x^{2} + 1}$ .

Rozwiązanie

Ponownie, postępując podobnie, jak wcześniej, otrzymujemy:

$\lim_{x \to + \infty} \frac{2 x^{2} + 3 x - 7}{3 x^{2} + 1} = \lim_{x \to + \infty} \frac{x^{2} (2 + \frac{3}{x} - \frac{7}{x^{2}})}{x^{2} (3 + \frac{1}{x^{2}})} =$

$= \lim_{x \to + \infty} (1 \cdot \frac{2 + \frac{3}{x} - \frac{7}{x^{2}}}{3 + \frac{1}{x^{2}}}) = 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$ .

Funkcje oparte na funkcji wykładniczej

W podobny sposób, co powyżej, możemy potraktować funkcje będące wyrażeniami algebraicznymi związanymi z funkcjami wykładniczymi. Wiemy, że dla $a > 1$ :

$\lim_{x \to - \infty} a^{x} = 0$ , $\lim_{x \to - \infty} a^{x} = + \infty$

$\lim_{x \to - \infty} a^{- x} = + \infty$ , $\lim_{x \to + \infty} a^{- x} = 0$ .

Czasami, jak poprzednio, wystarczy uprościć postać funkcji.

Przykład 5

Obliczymy granicę $\lim_{x \to - \infty} \frac{2^{2 x} - 2^{- 2 x}}{2^{x} - 2^{- x}}$ .

Rozwiązanie

Używając odpowiedniego wzoru skróconego mnożenia, otrzymujemy:

$\lim_{x \to - \infty} \frac{2^{2 x} - 2^{- 2 x}}{2^{x} - 2^{- x}} = \lim_{x \to - \infty} \frac{(2^{x} - 2^{- x}) (2^{x} + 2^{- x})}{2^{x} - 2^{- x}} =$

$= \lim_{x \to - \infty} (2^{x} + 2^{- x}) = 0 + \infty = + \infty$ .

W niektórych przypadkach pomaga, jak w przypadku funkcji wymiernych, wyłączenie z licznika i mianownika wyrazu „najszybciej” dążącego do nieskończoności i, po niezbędnym uproszczeniu, wyznaczenie wyniku końcowego.

Przykład 6

Obliczymy granicę $\lim_{x \to + \infty} \frac{- 2 \cdot 5^{2 x} + 5^{- x}}{3 \cdot 5^{x} - 5^{- 4 x}}$ .

Rozwiązanie

Wyłączamy przed nawias w liczniku $5^{2 x}$ , a w mianowniku $5^{x}$ :

$\lim_{x \to + \infty} \frac{- 2 \cdot 5^{2 x} + 5^{- x}}{3 \cdot 5^{x} - 5^{- 4 x}} = \lim_{x \to + \infty} \frac{5^{2 x} (- 2 + \frac{5^{- x}}{5^{2 x}})}{5^{x} (3 - \frac{5^{- 4 x}}{5^{x}})} = a^{x} = + \infty$

$= \lim_{x \to + \infty} (5^{x} \cdot \frac{- 2 + 5^{- 3 x}}{3 - 5^{- 5 x}}) = + \infty \cdot \frac{- 2 + 0}{3 - 0} = - \infty$ .

Przykład 7

Obliczymy granicę $\lim_{x \to + \infty} \frac{3 \cdot 4^{4 x} + 1}{2 - 4^{4 x}}$ .

Rozwiązanie

Wyłączamy, zarówno w liczniku, jak i w mianowniku, czynnik: $4^{4 x}$ .

$\lim_{x \to + \infty} \frac{3 \cdot 4^{4 x} + 1}{2 - 4^{4 x}} = \lim_{x \to + \infty} \frac{4^{4 x} (3 + 4^{- 4 x})}{4^{4 x} (2 \cdot 4^{- 4 x} - 1)} =$

$= \lim_{x \to + \infty} (1 \cdot \frac{3 + 4^{- 4 x}}{2 \cdot 4^{- 4 x} - 1}) = 1 \cdot \frac{3 + 0}{0 - 1} = - 3$

Jeżeli liczymy granicę przy $x$ dążącym do $- \infty$ , to musimy pamiętać, że zachowanie funkcji wykładniczej się zmienia i wówczas, dla $a > 1$ , funkcja $f (x) = a^{x}$ maleje do zera, a funkcja $f (x) = a^{- x}$ rośnie do plus nieskończoności.

Przykład 8

Obliczymy granicę $\lim_{x \to - \infty} \frac{- 2 \cdot 7^{2 x} + 7^{- x}}{3 \cdot 7^{x} - 7^{- 4 x}}$ .

Rozwiązanie

Wyłączamy w liczniku $7^{- x}$ , a w mianowniku $7^{- 4 x}$ .

$\lim_{x \to - \infty} \frac{- 2 \cdot 7^{2 x} + 7^{- x}}{3 \cdot 7^{x} - 7^{- 4 x}} = \lim_{x \to - \infty} \frac{7^{- x} (- 2 \cdot \frac{7^{2 x}}{7^{- x}} + 1)}{7^{- 4 x} (3 \cdot \frac{7^{x}}{7^{- 4 x}} - 1)} =$

$= \lim_{x \to - \infty} (7^{3 x} \cdot \frac{- 2 \cdot 7^{3 x} + 1}{3 \cdot 7^{5 x} - 1}) = 0 \cdot \frac{0 + 1}{0 - 1} = 0$ .

Słownik

granica skończona w nieskończoności

granica funkcji w nieskończoności ( $- \infty$ lub $\infty$ ), która jest liczbą rzeczywistą

granica nieskończona w nieskończoności

granica funkcji w nieskończoności ( $- \infty$ lub $\infty$ ), która jest nieskończona ( $- \infty$ lub $\infty$ )

symbol nieoznaczony

wyrażenie algebraiczne, które nie ma sensu liczbowego, będące umownym sposobem zapisu przy obliczaniu granic funkcji: $\frac{0}{0}$ ; $\frac{\infty}{\infty}$ ; $\infty - \infty$ ; $0 \cdot \infty$ ; $0^{0}$ ; $1^{\infty}$ ; $\infty^{0}$

Wprowadzenie

Prezentacja multimedialna

Podstawowe własności granic, symbole nieoznaczone

Funkcja wymierna

Funkcje oparte na funkcji wykładniczej

Słownik