Prezentacja. Przypominamy najważniejsze wzory dotyczące obliczania granic w nieskończoności. $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{a}{x_n}=0$ Niech $a>0$ $\underset{x\to \infty }{\lim }a{x}^n=\infty$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }a{x}^{2n}=\infty$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }a{x}^{2n-1}=-\infty$. Niech $a<0$ $\underset{x\to \infty }{\lim }a{x}^n=-\infty$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }a{x}^{2n}=-\infty$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }a{x}^{2n-1}=\infty$. Niech ath>a>1 $\underset{x\to \infty }{\lim }{a}^x=\infty$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }{a}^x=0$. Niech $0<a<1$. $\underset{x\to \infty }{\lim }{a}^x=0$, $\underset{x\to -\infty }{\lim }{a}^x=\infty$. Przy wyznaczaniu granicy wielomianu wyłączamy przed nawias zmienną w najwyższej potędze. Granica ta zawsze jest niewłaściwa . w przypadku gdy x dąży do nieskończoności jej znak zależy od znaku współczynnika przy zmiennej w najwyższej potędze. Przykład pierwszy. Obliczmy $\underset{x\to \infty }{\lim }(2x^6-5x^5+4x^3-7x^2-3)$. Rozwiązanie. $\underset{x\to \infty }{\lim }(2x^6-5x^5+4x^3-7x^2-3)= \underset{x\to \infty }{\lim }{x}^6(2-\frac{5}{x}+\frac{4}{x^3}-\frac{7}{x^4}-\frac{3}{x^6})=\left[\infty ·2\right]=\infty$. Przy wyznaczaniu granicy wielomianu wyłączamy przed nawias zmienną w najwyższej potędze. W przypadku gdy x dąży do minus nieskończoności znak granicy zależy od znaku współczynnika przy zmiennej w najwyższej potędze oraz od parzystości lub nieparzystości wykładnika tej potęgi. Przykład drugi. Obliczmy. $\underset{x\to \infty }{\lim }(-3x^5+2x^4-10x^3+7x^2-x)$. Rozwiązanie. $\underset{x\to \infty }{\lim }(-3x^5+2x^4-10x^3+7x^2-x)=\underset{x\to \infty }{\lim }{x}^5(-3+\frac{2}{x}-\frac{10}{x^2}+\frac{7}{x^3}-\frac{1}{x^4})=\left[-\infty ·\left(-3\right)\right]$. Przy wyznaczaniu granicy funkcji wymiernej wyłączamy przed nawias zmienną w najwyższej potędze i w liczniku, i w mianowniku. Gdy stopień wielomianu w liczniku jest wyższy niż stopień wielomianu w mianowniku . granica ta jest niewłaściwa. Przykład trzeci. Obliczmy. $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-x^6-3x^4+2x^3-5x+1}{2x^4-3x^3+2x-7}$. Rozwiązanie. $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-x^6-3x^4+2x^3-5x+1}{2x^4-3x^3+2x-7}=\left[\frac{\infty }{\infty }\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^6(-1-{\displaystyle \frac{3}{x^2}}+{\displaystyle \frac{2}{x^3}}-{\displaystyle \frac{5}{x^5}}+{\displaystyle \frac{1}{x^6}})}{x^4(2-{\displaystyle \frac{3}{x}}+{\displaystyle \frac{2}{x^3}}-{\displaystyle \frac{7}{x^4}})}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2(-1-{\displaystyle \frac{3}{x^2}}+{\displaystyle \frac{2}{x^3}}-{\displaystyle \frac{5}{x^5}}+{\displaystyle \frac{1}{x^6}})}{(2-{\displaystyle \frac{3}{x}}+{\displaystyle \frac{2}{x^3}}-{\displaystyle \frac{7}{x^4}})}=\left[\frac{-\infty }{2}\right]=-\infty$. Wyłączamy zmienną w najwyższej potędze przed nawias zarówno w liczniku jak i w mianowniku. Gdy stopień wielomianu w liczniku funkcji wymiernej jest równy stopniowi wielomianu w mianowniku tej funkcji – granica funkcji jest równa ilorazowi współczynników przy zmiennych w najwyższych potęgach. Przykład czwarty. Obliczmy. $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-3x^6-3x^4+2x^3-5x+1}{-2x^6-3x^3+2x-7}=$. Rozwiązanie. $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-3x^6-3x^4+2x^3-5x+1}{-2x^6-3x^3+2x-7}=\left[\frac{\infty }{\infty }\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^6(-3-{\displaystyle \frac{3}{x^2}}+{\displaystyle \frac{2}{x^3}}-{\displaystyle \frac{5}{x^5}}+{\displaystyle \frac{1}{x^6}})}{x^6(-2-{\displaystyle \frac{3}{x^3}}+{\displaystyle \frac{2}{x^5}}-{\displaystyle \frac{7}{x^6}})}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{(-3-{\displaystyle \frac{3}{x^2}}+{\displaystyle \frac{2}{x^3}}-{\displaystyle \frac{5}{x^5}}+{\displaystyle \frac{1}{x^6}})}{(-2-{\displaystyle \frac{3}{x^3}}+{\displaystyle \frac{2}{x^5}}-{\displaystyle \frac{7}{x^6}})}=\frac{-3}{-2}=\frac{3}{2}$. Wyłączamy zmienną w najwyższej potędze przed nawias zarówno w liczniku jak i w mianowniku. Gdy stopień wielomianu w liczniku funkcji wymiernej jest mniejszy niż stopień wielomianu w mianowniku tej funkcji – granica funkcji jest równa zero. Przykład piąty. Obliczymy. $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{-7x^2-5x+1}{2x^3-3x^2+2x-7}$. Rozwiązanie. $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{-7x^2-5x+1}{2x^3-3x^2+2x-7}=\left[\frac{\infty }{\infty }\right]=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2(-7-{\displaystyle \frac{5}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x^2}})}{x^3(2-{\displaystyle \frac{3}{x}}+{\displaystyle \frac{2}{x^2}}-{\displaystyle \frac{7}{x^3}})}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{(-7-{\displaystyle \frac{5}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{x^2}})}{x(2-{\displaystyle \frac{3}{x}}+{\displaystyle \frac{2}{x^2}}-{\displaystyle \frac{7}{x^3}})}=\left[\frac{-7}{\infty }\right]=0$. Przy wyznaczaniu granicy funkcji niewymiernej możemy wyłączyć zmienną w najwyższej potędze przed nawias pod pierwiastkiem i skrócić odpowiednie wyrażenia. Przykład szósty. Obliczymy. $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{3+2x^2}}{4x}$. Rozwiązanie. $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{3+2x^2}}{4x}=\left[\frac{\infty }{\infty }\right]$. Wyłączamy pod pierwiastkiem wyrażenie $x^2$ i skorzystamy z własności $\sqrt{x^2}=\left|x\right|$. $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2({\displaystyle \frac{3}{x^2}}+2)}}{4x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\left|x\right|\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{x^2}}+2}}{4x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-x\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{x^2}+2}}}{4x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-\sqrt{{\displaystyle \frac{3}{x^2}+2}}}{4x}=-\frac{\sqrt{2}}{4}$. Przy obliczaniu granicy funkcji niewymiernej możemy również wykorzystać metody obliczania granic funkcji wymiernych, czyli wyłączyć w liczniku i mianowniku zmienną w najwyższej potędze i skrócić odpowiednie wyrażenia. Przykład siódmy. Obliczymy. $\underset{x\to \infty }{\lim }\sqrt{\frac{25x+1}{4x-3}}$. Rozwiązanie. $\underset{x\to \infty }{\lim }\sqrt{\frac{25x+1}{4x-3}}=\left[\frac{\infty }{\infty }\right]=\underset{x\to \infty }{\lim }\sqrt{\frac{x\left(25+{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)}{x\left(4-{\displaystyle \frac{3}{x}}\right)}}=\underset{x\to \infty }{\lim }\sqrt{\frac{25+\frac{1}{x}}{4-\frac{3}{x}}}=\sqrt{\frac{25}{4}}=\frac{5}{2}$. W przypadku, gdy podczas liczenia granicy napotkamy symbol nieoznaczony nieskończoność minus nieskończoność, możemy pomnożyć licznik i mianownik funkcji przez tak zwane sprzężenie tego wyrażenia, w którym ten symbol występuje, a następnie wykorzystać wzór na różnicę kwadratów dwóch dowolnych wyrażeń. Przykład ósmy. Obliczymy. $\underset{x\to \infty }{\lim }\sqrt{x^2+16}-x$. Rozwiązanie. $\underset{x\to \infty }{\lim }\sqrt{x^2+16}-x=\left[\infty -\infty \right]=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+16}-x\right)·\frac{\sqrt{x^2+16}+x}{\sqrt{x^2+16}+x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^2+16-x^2}{\sqrt{x^2+16}+x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{16}{\sqrt{x^2+16}+x}=\left[\frac{16}{\infty }\right]=0$. W przypadku funkcji, w której występują wyrażenia wykładnicze, wyłączamy przed nawias wyrażenie z mianownika najszybciej dążące do nieskończoności. Przykład dziewiąty. Obliczymy. $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{3^x+5^x}{4^x-2}$. Rozwiązanie. $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{3^x+5^x}{4^x-2}=\left[\frac{\infty }{\infty }\right]$. Wyłączamy w mianowniku przed nawias takie wyrażenie, żeby to co pozostanie w nawiasie nie dążyło ani do zera ani do nieskończoności. Takie samo wyrażenie wyłączamy przed nawias w liczniku. $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{4^x\left({\left({\displaystyle \frac{3}{x}}\right)}^x+{\left({\displaystyle \frac{5}{4}}\right)}^x\right)}{4^x\left(1-{\displaystyle \frac{2}{4^x}}\right)}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{{\left({\displaystyle \frac{3}{x}}\right)}^x+{\left({\displaystyle \frac{5}{4}}\right)}^x}{1-{\displaystyle \frac{2}{4^x}}}=\left[\frac{\infty }{1}\right]=\infty$.