Zapoznaj się z prezentacją multimedialną przedstawiającą algorytm wyznaczania granic różnych funkcji.
R1QmcmGCUBCsu
Prezentacja. Przypominamy najważniejsze wzory dotyczące obliczania granic w nieskończoności. limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, początek ułamka, a, mianownik, x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, równa się, zero Niech a, większy niż, zero limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, a x indeks górny, n, koniec indeksu górnego, równa się, nieskończoność, limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, a x indeks górny, dwa n, koniec indeksu górnego, równa się, nieskończoność, limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, a x indeks górny, dwa n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, równa się, minus, nieskończoność. Niech a, mniejszy niż, zero limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, a x indeks górny, n, koniec indeksu górnego, równa się, minus, nieskończoność, limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, a x indeks górny, dwa n, koniec indeksu górnego, równa się, minus, nieskończoność, limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, a x indeks górny, dwa n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, równa się, nieskończoność. Niech ath>a>1 limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, równa się, nieskończoność, limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, równa się, zero. Niech zero, mniejszy niż, a, mniejszy niż, jeden. limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, równa się, zero, limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, równa się, nieskończoność. Przy wyznaczaniu granicy wielomianu wyłączamy przed nawias zmienną w najwyższej potędze. Granica ta zawsze jest niewłaściwa . w przypadku gdy x dąży do nieskończoności jej znak zależy od znaku współczynnika przy zmiennej w najwyższej potędze. Przykład pierwszy. Obliczmy limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, nawias dwa x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, pięć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy zamknięcie nawiasu. Rozwiązanie. limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, nawias dwa x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, pięć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy zamknięcie nawiasu, równa się, limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, nawias dwa, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, cztery, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, minus, początek ułamka, siedem, mianownik, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias kwadratowy, nieskończoność, razy, dwa, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, nieskończoność. Przy wyznaczaniu granicy wielomianu wyłączamy przed nawias zmienną w najwyższej potędze. W przypadku gdy x dąży do minus nieskończoności znak granicy zależy od znaku współczynnika przy zmiennej w najwyższej potędze oraz od parzystości lub nieparzystości wykładnika tej potęgi. Przykład drugi. Obliczmy. limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, nawias, minus, trzy x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x zamknięcie nawiasu. Rozwiązanie. limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, nawias, minus, trzy x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x zamknięcie nawiasu, równa się, limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, nawias, minus, trzy, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, x, koniec ułamka, minus, początek ułamka, dziesięć, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, plus, początek ułamka, siedem, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias kwadratowy, minus, nieskończoność, razy, nawias, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu kwadratowego. Przy wyznaczaniu granicy funkcji wymiernej wyłączamy przed nawias zmienną w najwyższej potędze i w liczniku, i w mianowniku. Gdy stopień wielomianu w liczniku jest wyższy niż stopień wielomianu w mianowniku . granica ta jest niewłaściwa. Przykład trzeci. Obliczmy. limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, początek ułamka, minus, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, trzy x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, pięć x, plus, jeden, mianownik, dwa x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, trzy x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, siedem, koniec ułamka. Rozwiązanie. limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, początek ułamka, minus, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, trzy x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, pięć x, plus, jeden, mianownik, dwa x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, trzy x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, siedem, koniec ułamka, równa się, nawias kwadratowy, początek ułamka, nieskończoność, mianownik, nieskończoność, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, początek ułamka, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, nawias, minus, jeden, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka zamknięcie nawiasu, mianownik, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, nawias dwa, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, minus, początek ułamka, siedem, mianownik, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, minus, jeden, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias dwa, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, minus, początek ułamka, siedem, mianownik, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, nawias kwadratowy, początek ułamka, minus, nieskończoność, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, minus, nieskończoność. Wyłączamy zmienną w najwyższej potędze przed nawias zarówno w liczniku jak i w mianowniku. Gdy stopień wielomianu w liczniku funkcji wymiernej jest równy stopniowi wielomianu w mianowniku tej funkcji – granica funkcji jest równa ilorazowi współczynników przy zmiennych w najwyższych potęgach. Przykład czwarty. Obliczmy. limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, początek ułamka, minus, trzy x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, trzy x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, pięć x, plus, jeden, mianownik, minus, dwa x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, trzy x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, siedem, koniec ułamka, równa się. Rozwiązanie. limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, początek ułamka, minus, trzy x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, trzy x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, pięć x, plus, jeden, mianownik, minus, dwa x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, trzy x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, siedem, koniec ułamka, równa się, nawias kwadratowy, początek ułamka, nieskończoność, mianownik, nieskończoność, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, początek ułamka, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, nawias, minus, trzy, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka zamknięcie nawiasu, mianownik, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, nawias, minus, dwa, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, minus, początek ułamka, siedem, mianownik, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, początek ułamka, nawias, minus, trzy, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, minus, dwa, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, minus, początek ułamka, siedem, mianownik, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, minus, trzy, mianownik, minus, dwa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka. Wyłączamy zmienną w najwyższej potędze przed nawias zarówno w liczniku jak i w mianowniku. Gdy stopień wielomianu w liczniku funkcji wymiernej jest mniejszy niż stopień wielomianu w mianowniku tej funkcji – granica funkcji jest równa zero. Przykład piąty. Obliczymy. limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, początek ułamka, minus, siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, pięć x, plus, jeden, mianownik, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, siedem, koniec ułamka. Rozwiązanie. limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, początek ułamka, minus, siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, pięć x, plus, jeden, mianownik, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, siedem, koniec ułamka, równa się, nawias kwadratowy, początek ułamka, nieskończoność, mianownik, nieskończoność, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, minus, siedem, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka zamknięcie nawiasu, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, nawias dwa, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, minus, początek ułamka, siedem, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, początek ułamka, nawias, minus, siedem, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka zamknięcie nawiasu, mianownik, x nawias dwa, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, minus, początek ułamka, siedem, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, nawias kwadratowy, początek ułamka, minus, siedem, mianownik, nieskończoność, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, zero. Przy wyznaczaniu granicy funkcji niewymiernej możemy wyłączyć zmienną w najwyższej potędze przed nawias pod pierwiastkiem i skrócić odpowiednie wyrażenia. Przykład szósty. Obliczymy. limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, plus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, mianownik, cztery x, koniec ułamka. Rozwiązanie. limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, plus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, mianownik, cztery x, koniec ułamka, równa się, nawias kwadratowy, początek ułamka, nieskończoność, mianownik, nieskończoność, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu kwadratowego. Wyłączamy pod pierwiastkiem wyrażenie x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego i skorzystamy z własności pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, równa się, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej. limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias początek ułamka, trzy, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, plus, dwa zamknięcie nawiasu koniec pierwiastka, mianownik, cztery x, koniec ułamka, równa się, limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, początek ułamka, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, trzy, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, plus, dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery x, koniec ułamka, równa się, limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, początek ułamka, minus, x pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, trzy, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, plus, dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery x, koniec ułamka, równa się, limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, początek ułamka, minus, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, trzy, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, plus, dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery x, koniec ułamka, równa się, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka. Przy obliczaniu granicy funkcji niewymiernej możemy również wykorzystać metody obliczania granic funkcji wymiernych, czyli wyłączyć w liczniku i mianowniku zmienną w najwyższej potędze i skrócić odpowiednie wyrażenia. Przykład siódmy. Obliczymy. limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, dwadzieścia pięć x, plus, jeden, mianownik, cztery x, minus, trzy, koniec ułamka koniec pierwiastka. Rozwiązanie. limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, dwadzieścia pięć x, plus, jeden, mianownik, cztery x, minus, trzy, koniec ułamka koniec pierwiastka, równa się, nawias kwadratowy, początek ułamka, nieskończoność, mianownik, nieskończoność, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, x nawias, dwadzieścia pięć, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, mianownik, x nawias, cztery, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, x, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka koniec pierwiastka, równa się, limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, dwadzieścia pięć, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, mianownik, cztery, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, x, koniec ułamka, koniec ułamka koniec pierwiastka, równa się, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka koniec pierwiastka, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka. W przypadku, gdy podczas liczenia granicy napotkamy symbol nieoznaczony nieskończoność minus nieskończoność, możemy pomnożyć licznik i mianownik funkcji przez tak zwane sprzężenie tego wyrażenia, w którym ten symbol występuje, a następnie wykorzystać wzór na różnicę kwadratów dwóch dowolnych wyrażeń. Przykład ósmy. Obliczymy. limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, szesnaście koniec pierwiastka, minus, x. Rozwiązanie. limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, szesnaście koniec pierwiastka, minus, x, równa się, nawias kwadratowy, nieskończoność, minus, nieskończoność, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, nawias, pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, szesnaście koniec pierwiastka, minus, x, zamknięcie nawiasu, razy, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, szesnaście koniec pierwiastka, plus, x, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, szesnaście koniec pierwiastka, plus, x, koniec ułamka, równa się, limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, szesnaście, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, szesnaście koniec pierwiastka, plus, x, koniec ułamka, równa się, limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, początek ułamka, szesnaście, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, szesnaście koniec pierwiastka, plus, x, koniec ułamka, równa się, nawias kwadratowy, początek ułamka, szesnaście, mianownik, nieskończoność, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, zero. W przypadku funkcji, w której występują wyrażenia wykładnicze, wyłączamy przed nawias wyrażenie z mianownika najszybciej dążące do nieskończoności. Przykład dziewiąty. Obliczymy. limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, początek ułamka, trzy indeks górny, x, koniec indeksu górnego, plus, pięć indeks górny, x, koniec indeksu górnego, mianownik, cztery indeks górny, x, koniec indeksu górnego, minus, dwa, koniec ułamka. Rozwiązanie. limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, początek ułamka, trzy indeks górny, x, koniec indeksu górnego, plus, pięć indeks górny, x, koniec indeksu górnego, mianownik, cztery indeks górny, x, koniec indeksu górnego, minus, dwa, koniec ułamka, równa się, nawias kwadratowy, początek ułamka, nieskończoność, mianownik, nieskończoność, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu kwadratowego. Wyłączamy w mianowniku przed nawias takie wyrażenie, żeby to co pozostanie w nawiasie nie dążyło ani do zera ani do nieskończoności. Takie samo wyrażenie wyłączamy przed nawias w liczniku. limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, początek ułamka, cztery indeks górny, x, koniec indeksu górnego, nawias, nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, x, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego, plus, nawias, początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, mianownik, cztery indeks górny, x, koniec indeksu górnego, nawias, jeden, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, cztery indeks górny, x, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, początek ułamka, nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, x, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego, plus, nawias, początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego, mianownik, jeden, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, cztery indeks górny, x, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, koniec ułamka, równa się, nawias kwadratowy, początek ułamka, nieskończoność, mianownik, jeden, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, nieskończoność.
Prezentacja. Przypominamy najważniejsze wzory dotyczące obliczania granic w nieskończoności. limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, początek ułamka, a, mianownik, x indeks dolny, n, koniec indeksu dolnego, koniec ułamka, równa się, zero Niech a, większy niż, zero limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, a x indeks górny, n, koniec indeksu górnego, równa się, nieskończoność, limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, a x indeks górny, dwa n, koniec indeksu górnego, równa się, nieskończoność, limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, a x indeks górny, dwa n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, równa się, minus, nieskończoność. Niech a, mniejszy niż, zero limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, a x indeks górny, n, koniec indeksu górnego, równa się, minus, nieskończoność, limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, a x indeks górny, dwa n, koniec indeksu górnego, równa się, minus, nieskończoność, limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, a x indeks górny, dwa n, minus, jeden, koniec indeksu górnego, równa się, nieskończoność. Niech ath>a>1 limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, równa się, nieskończoność, limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, równa się, zero. Niech zero, mniejszy niż, a, mniejszy niż, jeden. limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, równa się, zero, limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, a indeks górny, x, koniec indeksu górnego, równa się, nieskończoność. Przy wyznaczaniu granicy wielomianu wyłączamy przed nawias zmienną w najwyższej potędze. Granica ta zawsze jest niewłaściwa . w przypadku gdy x dąży do nieskończoności jej znak zależy od znaku współczynnika przy zmiennej w najwyższej potędze. Przykład pierwszy. Obliczmy limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, nawias dwa x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, pięć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy zamknięcie nawiasu. Rozwiązanie. limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, nawias dwa x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, pięć x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, cztery x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, trzy zamknięcie nawiasu, równa się, limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, nawias dwa, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, cztery, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, minus, początek ułamka, siedem, mianownik, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias kwadratowy, nieskończoność, razy, dwa, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, nieskończoność. Przy wyznaczaniu granicy wielomianu wyłączamy przed nawias zmienną w najwyższej potędze. W przypadku gdy x dąży do minus nieskończoności znak granicy zależy od znaku współczynnika przy zmiennej w najwyższej potędze oraz od parzystości lub nieparzystości wykładnika tej potęgi. Przykład drugi. Obliczmy. limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, nawias, minus, trzy x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x zamknięcie nawiasu. Rozwiązanie. limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, nawias, minus, trzy x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, dziesięć x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, x zamknięcie nawiasu, równa się, limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, nawias, minus, trzy, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, x, koniec ułamka, minus, początek ułamka, dziesięć, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, plus, początek ułamka, siedem, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias kwadratowy, minus, nieskończoność, razy, nawias, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, zamknięcie nawiasu kwadratowego. Przy wyznaczaniu granicy funkcji wymiernej wyłączamy przed nawias zmienną w najwyższej potędze i w liczniku, i w mianowniku. Gdy stopień wielomianu w liczniku jest wyższy niż stopień wielomianu w mianowniku . granica ta jest niewłaściwa. Przykład trzeci. Obliczmy. limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, początek ułamka, minus, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, trzy x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, pięć x, plus, jeden, mianownik, dwa x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, trzy x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, siedem, koniec ułamka. Rozwiązanie. limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, początek ułamka, minus, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, trzy x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, pięć x, plus, jeden, mianownik, dwa x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, minus, trzy x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, siedem, koniec ułamka, równa się, nawias kwadratowy, początek ułamka, nieskończoność, mianownik, nieskończoność, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, początek ułamka, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, nawias, minus, jeden, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka zamknięcie nawiasu, mianownik, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, nawias dwa, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, minus, początek ułamka, siedem, mianownik, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, minus, jeden, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias dwa, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, minus, początek ułamka, siedem, mianownik, x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, koniec ułamka zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, nawias kwadratowy, początek ułamka, minus, nieskończoność, mianownik, dwa, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, minus, nieskończoność. Wyłączamy zmienną w najwyższej potędze przed nawias zarówno w liczniku jak i w mianowniku. Gdy stopień wielomianu w liczniku funkcji wymiernej jest równy stopniowi wielomianu w mianowniku tej funkcji – granica funkcji jest równa ilorazowi współczynników przy zmiennych w najwyższych potęgach. Przykład czwarty. Obliczmy. limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, początek ułamka, minus, trzy x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, trzy x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, pięć x, plus, jeden, mianownik, minus, dwa x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, trzy x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, siedem, koniec ułamka, równa się. Rozwiązanie. limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, początek ułamka, minus, trzy x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, trzy x indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, pięć x, plus, jeden, mianownik, minus, dwa x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, trzy x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, siedem, koniec ułamka, równa się, nawias kwadratowy, początek ułamka, nieskończoność, mianownik, nieskończoność, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, początek ułamka, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, nawias, minus, trzy, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka zamknięcie nawiasu, mianownik, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, nawias, minus, dwa, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, minus, początek ułamka, siedem, mianownik, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, początek ułamka, nawias, minus, trzy, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka zamknięcie nawiasu, mianownik, nawias, minus, dwa, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, x indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, minus, początek ułamka, siedem, mianownik, x indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, koniec ułamka zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, minus, trzy, mianownik, minus, dwa, koniec ułamka, równa się, początek ułamka, trzy, mianownik, dwa, koniec ułamka. Wyłączamy zmienną w najwyższej potędze przed nawias zarówno w liczniku jak i w mianowniku. Gdy stopień wielomianu w liczniku funkcji wymiernej jest mniejszy niż stopień wielomianu w mianowniku tej funkcji – granica funkcji jest równa zero. Przykład piąty. Obliczymy. limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, początek ułamka, minus, siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, pięć x, plus, jeden, mianownik, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, siedem, koniec ułamka. Rozwiązanie. limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, początek ułamka, minus, siedem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, pięć x, plus, jeden, mianownik, dwa x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, minus, trzy x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwa x, minus, siedem, koniec ułamka, równa się, nawias kwadratowy, początek ułamka, nieskończoność, mianownik, nieskończoność, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias, minus, siedem, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka zamknięcie nawiasu, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, nawias dwa, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, minus, początek ułamka, siedem, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, początek ułamka, nawias, minus, siedem, minus, początek ułamka, pięć, mianownik, x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka zamknięcie nawiasu, mianownik, x nawias dwa, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, x, koniec ułamka, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, minus, początek ułamka, siedem, mianownik, x indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, nawias kwadratowy, początek ułamka, minus, siedem, mianownik, nieskończoność, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, zero. Przy wyznaczaniu granicy funkcji niewymiernej możemy wyłączyć zmienną w najwyższej potędze przed nawias pod pierwiastkiem i skrócić odpowiednie wyrażenia. Przykład szósty. Obliczymy. limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, plus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, mianownik, cztery x, koniec ułamka. Rozwiązanie. limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy, plus, dwa x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, mianownik, cztery x, koniec ułamka, równa się, nawias kwadratowy, początek ułamka, nieskończoność, mianownik, nieskończoność, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu kwadratowego. Wyłączamy pod pierwiastkiem wyrażenie x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego i skorzystamy z własności pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego koniec pierwiastka, równa się, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej. limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, nawias początek ułamka, trzy, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, plus, dwa zamknięcie nawiasu koniec pierwiastka, mianownik, cztery x, koniec ułamka, równa się, limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, początek ułamka, wartość bezwzględna z, x, koniec wartości bezwzględnej, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, trzy, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, plus, dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery x, koniec ułamka, równa się, limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, początek ułamka, minus, x pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, trzy, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, plus, dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery x, koniec ułamka, równa się, limes, x, strzałka w prawo, minus, nieskończoność, początek ułamka, minus, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, trzy, mianownik, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, plus, dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery x, koniec ułamka, równa się, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z dwa koniec pierwiastka, mianownik, cztery, koniec ułamka. Przy obliczaniu granicy funkcji niewymiernej możemy również wykorzystać metody obliczania granic funkcji wymiernych, czyli wyłączyć w liczniku i mianowniku zmienną w najwyższej potędze i skrócić odpowiednie wyrażenia. Przykład siódmy. Obliczymy. limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, dwadzieścia pięć x, plus, jeden, mianownik, cztery x, minus, trzy, koniec ułamka koniec pierwiastka. Rozwiązanie. limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, dwadzieścia pięć x, plus, jeden, mianownik, cztery x, minus, trzy, koniec ułamka koniec pierwiastka, równa się, nawias kwadratowy, początek ułamka, nieskończoność, mianownik, nieskończoność, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, x nawias, dwadzieścia pięć, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, mianownik, x nawias, cztery, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, x, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka koniec pierwiastka, równa się, limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, dwadzieścia pięć, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, x, koniec ułamka, mianownik, cztery, minus, początek ułamka, trzy, mianownik, x, koniec ułamka, koniec ułamka koniec pierwiastka, równa się, pierwiastek kwadratowy z początek ułamka, dwadzieścia pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka koniec pierwiastka, równa się, początek ułamka, pięć, mianownik, dwa, koniec ułamka. W przypadku, gdy podczas liczenia granicy napotkamy symbol nieoznaczony nieskończoność minus nieskończoność, możemy pomnożyć licznik i mianownik funkcji przez tak zwane sprzężenie tego wyrażenia, w którym ten symbol występuje, a następnie wykorzystać wzór na różnicę kwadratów dwóch dowolnych wyrażeń. Przykład ósmy. Obliczymy. limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, szesnaście koniec pierwiastka, minus, x. Rozwiązanie. limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, szesnaście koniec pierwiastka, minus, x, równa się, nawias kwadratowy, nieskończoność, minus, nieskończoność, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, nawias, pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, szesnaście koniec pierwiastka, minus, x, zamknięcie nawiasu, razy, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, szesnaście koniec pierwiastka, plus, x, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, szesnaście koniec pierwiastka, plus, x, koniec ułamka, równa się, limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, początek ułamka, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, szesnaście, minus, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, szesnaście koniec pierwiastka, plus, x, koniec ułamka, równa się, limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, początek ułamka, szesnaście, mianownik, pierwiastek kwadratowy z x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, szesnaście koniec pierwiastka, plus, x, koniec ułamka, równa się, nawias kwadratowy, początek ułamka, szesnaście, mianownik, nieskończoność, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, zero. W przypadku funkcji, w której występują wyrażenia wykładnicze, wyłączamy przed nawias wyrażenie z mianownika najszybciej dążące do nieskończoności. Przykład dziewiąty. Obliczymy. limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, początek ułamka, trzy indeks górny, x, koniec indeksu górnego, plus, pięć indeks górny, x, koniec indeksu górnego, mianownik, cztery indeks górny, x, koniec indeksu górnego, minus, dwa, koniec ułamka. Rozwiązanie. limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, początek ułamka, trzy indeks górny, x, koniec indeksu górnego, plus, pięć indeks górny, x, koniec indeksu górnego, mianownik, cztery indeks górny, x, koniec indeksu górnego, minus, dwa, koniec ułamka, równa się, nawias kwadratowy, początek ułamka, nieskończoność, mianownik, nieskończoność, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu kwadratowego. Wyłączamy w mianowniku przed nawias takie wyrażenie, żeby to co pozostanie w nawiasie nie dążyło ani do zera ani do nieskończoności. Takie samo wyrażenie wyłączamy przed nawias w liczniku. limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, początek ułamka, cztery indeks górny, x, koniec indeksu górnego, nawias, nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, x, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego, plus, nawias, początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego, zamknięcie nawiasu, mianownik, cztery indeks górny, x, koniec indeksu górnego, nawias, jeden, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, cztery indeks górny, x, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, koniec ułamka, równa się, limes, x, strzałka w prawo, nieskończoność, początek ułamka, nawias, początek ułamka, trzy, mianownik, x, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego, plus, nawias, początek ułamka, pięć, mianownik, cztery, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, x, koniec indeksu górnego, mianownik, jeden, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, cztery indeks górny, x, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, koniec ułamka, równa się, nawias kwadratowy, początek ułamka, nieskończoność, mianownik, jeden, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu kwadratowego, równa się, nieskończoność.
