Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Warto przeczytać

Albert Einstein wyprowadził wzór na relatywistyczną energię kinetycznąPęd relatywistycznyrelatywistyczną energię kinetyczną jako pracę wykonaną przy rozpędzaniu ciała przez wypadkową sił zewnętrznych. Uwzględniając efekty wynikające z dużych prędkości ciała, otrzymał zależność:

gdzie to energia kinetyczna ciała, – masa ciała, – prędkość ciała, – prędkość światła w próżni. We wzorze tym pojawiła się wielkość niezależna od prędkości ciała, związana z masą ciała. Wielkość tę Einstein zinterpretował jako energię wynikającą z masy ciała i niezależną od jego ruchu i oddziaływań. Energia ta została nazwana energią spoczynkową.

Wzór relatywistyczny na energię kinetyczną nie bardzo przypomina klasyczny wzór na energię kinetyczną .

R1IO1NyNHgxKI
Rys. 1. Wielki zderzacz hadronów (LHC), w którym cząstki rozpędzane są do prędkości porównywalnych z prędkością światła i należy przez to w ich opisie uwzględniać efekty relatywistyczne. Różnice między wynikami klasycznymi a realistycznymi będziecie mogli sami porównać w rozdziale "Sprawdź się".

Jednak przekształcając wzór (1) i stosując przybliżenie dla małych prędkości możemy otrzymać postać, którą bardzo dobrze znasz z wcześniejszej nauki. Oto wyprowadzenie:

Sprowadzając do wspólnego mianownika wyrażenie w nawiasie, otrzymujemy:

Następnie mnożąc licznik i mianownik przez wyrażenie otrzymamy:

Po kolejnych przekształceniach i skróceniu

Dla , wyrażenie niewiele różni się od zera, możemy to wyrażenie pominąć i wówczas w mianowniku pozostaje 2. Zatem otrzymamy:

czyli wzór klasyczny na energię kinetyczną.

Z przedstawionego wyprowadzenia wynika że, wzór klasyczny jest przybliżeniem wzoru relatywistycznego dla prędkości obiektu dużo mniejszych od prędkości świata w próżni. Zatem dla typowych prędkości, z jakimi mamy do czynienia na co dzień, energię kinetyczną zupełnie poprawnie opisuje klasyczny wzór, do którego się przyzwyczailiśmy.

Postawmy pytanie: jaka jest graniczna prędkość, powyżej której konieczne staje się stosowanie wzoru relatywistycznego? Oczywiście zależy to od dokładności interesujących nas obliczeń. Sprawdźmy, jaka będzie różnica w wyniku obliczeń energii kinetycznej przy podstawieniu wartości liczbowych do wzoru relatywistycznego i do wzoru klasycznego na przykład dla wartości .

Wyrazimy w procentach różnicę otrzymanych wyników. W tym celu obliczamy wartość wyrażenia:

gdzie – to energia kinetyczna obliczona na podstawie wzoru relatywistycznego, – energia kinetyczna obliczona ze wzoru klasycznego. Podstawiając odpowiednie wyrażenia otrzymujemy:

Dla otrzymujemy wartość 0,00756. Czyli przy prędkości ciała równej 10% prędkości światła otrzymujemy różnicę miedzy wynikami uzyskanymi na podstawie wzoru relatywistycznego i wzoru klasycznego na energie kinetyczną o wartości poniżej 1%.

Dla ilustracji wpływu prędkości ciała na energię kinetyczną na Rys. 2. przedstawione zostały wykresy zależności energii kinetycznej od prędkości dla dwóch sposobów obliczenia energii kinetycznej: ze wzoru klasycznego: i ze wzoru relatywistycznego

R1FpN4z5eCvxQ
Rys. 2. Zależność energii kinetycznej ciała od prędkości. Wartość prędkości v (oś pozioma) jest podana w stosunku do prędkości światła – zatem wartość 1 na osi poziomej oznacza że prędkość ciała jest równa prędkości światła. Wartość energii jest odniesiona do energii spoczynkowej ciała E=mc2. Dla ciała o masie 1 kg, 1 na pionowej osi odpowiada energii 9 · 1016 J.

Wykres pokazuje, że istotne różnice w wartości energii kinetycznej obliczonej na postawie wzoru relatywistycznego i klasycznego pojawiają się przy prędkościach ciała około . Natomiast dla prędkości dążącej do prędkości światła, energia kinetyczna dąży do nieskończoności. Pokazuje to również, że prędkość światła jest niemożliwa do osiągnięcia przez obiekty obdarzone masą, gdyż przy prędkości światła ich energia stawałaby się nieskończenie duża. Jest zatem prędkością graniczną dla obiektów materialnych.

Słowniczek

Pęd relatywistyczny
Pęd relatywistyczny

(ang. relativistic momentum) – pęd zdefiniowany wzorem p=mv1-(vc)2, który uwzględnia efekty związane z dużymi prędkościami.

Akcelerator
Akcelerator

(ang. accelerator) – urządzenie służące do przyspieszania cząstek elementarnych lub jonów do prędkości bliskich prędkości światła w próżni. Cząstki obdarzone ładunkiem elektrycznym są przyspieszane w polu elektrycznym.

Układ odniesienia
Układ odniesienia

(ang. reference frame) – punkt lub układ punktów w przestrzeni, względem którego określa się położenie lub zmianę położenia (ruch) danego ciała.

Inercjalny układ odniesienia
Inercjalny układ odniesienia

(ang. inertial reference frame) – układ odniesieniaUkład odniesieniaukład odniesienia, w którym każde ciało, niepodlegające zewnętrznemu oddziaływaniu z innymi ciałami, porusza się bez przyspieszenia (tzn. ruchem jednostajnym prostoliniowym) lub pozostaje w spoczynku.

Aplikacje dostępne w
Pobierz aplikację ZPE - Zintegrowana Platforma Edukacyjna na androida