Rozwiążemy równanie.

$\sqrt{4x^2-12x+9}=5$

Wyrażenie pod pierwiastkiem zapisujemy w postaci kwadratu różnicy, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.

$\sqrt{{\left(2x-3\right)}^2}=5$

Przypomnijmy własność wartości bezwzględnej

Możemy więc zapisać nasze równanie w postaci

$\left|2x-3\right|=5$

Wykorzystujemy poznane wcześnie metody rozwiązywania równań

$2x-3=5$ lub $2x-3=-5$

$2x=8 \left|:2\right.$ lub $2x=-2 \left|:2\right.$

$x=4$ lub $x=-1$

Odpowiedź: $x\in \left\{-1, 4\right\}$.

Rozwiążemy równanie.

$\left|1+\left|x-2\right|\right|=4$

Usuwamy najpierw zewnętrzny moduł. Korzystając z poznanych już metod, wiemy, że w tym przypadku, liczba pod modułem musi być równa $4$ lub $-4$.

A zatem

(*) $1+\left|x-2\right|=4$ lub (**) $1+\left|x-2\right|=-4$

Zacznijmy od rozwiązania równania (*).

$1+\left|x-2\right|=4$

$\left|x-2\right|=3$

$x-2=3$ lub $x-2=-3$

$x=5$ lub $x=-1$

Teraz zajmiemy się równaniem (**).

$1+\left|x-2\right|=-4$

$\left|x-2\right|=-4-1$

$\left|x-2\right|=-5$

Otrzymaliśmy równanie sprzecznerównanie sprzecznerównanie sprzeczne.

A zatem pierwiastki równania $\left|1+\left|x-2\right|\right|=4$, to

$x=-1$ lub $x=5$.

Odpowiedź: $x\in \left\{-1, 5\right\}$.

Rozwiążemy równanie.

$\left|x-5\right|=\left|x+2\right|$

Rozwiązując takie równanie możemy skorzystać z twierdzenia

A zatem

$x-5=x+2$ lub $x-5=-\left(x+2\right)$

$-5=2$ lub $x-5=-x-2$

równanie sprzecznerównanie sprzecznerównanie sprzeczne lub $x+x=-2+5$

$2x=3 \left|:2\right.$

$x=\frac{3}{2}$

Równanie ma tylko jeden pierwiastek $x=\frac{3}{2}$.

Odpowiedź: $x\in \left\{\frac{3}{2}\right\}$.

Rozwiążemy równanie.

$\left|x+3\right|+\left|x+2\right|-\left|x+1\right|=10$

Rozwiązując równanie, w którym pojawiły się trzy moduły, postępujemy analogicznie jak przy podobnych równaniach z dwoma wartościami bezwzględnymi.

RNZtCj8oKn1yy

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus sześciu do sześciu. Po lewej stronie ilustracji nad osią X znajdują się wyrażenia , pierwsze $x+3$, drugie $x+2$ oraz ostatnie $x+1$. Każde z tych wyrażeń ma swój osobny wiersz, w którym zaznaczone zostały znaki dodatnie oraz ujemne, w zależności od przyjmowanej wartości wyrażenia względem przedziału na poziomej osi X. W przedziale od minus nieskończoności do minus trzech prawostronnie otwartym wszystkie wyrażenia przyjmują wartości ujemne. W przedziale lewostronnie domkniętym i prawostronnie otwartym od minus trzech do minus dwóch tylko pierwsze wyrażenie $x+3$ przyjmuje wartości dodatnie. W przedziale lewostronnie domkniętym i prawostronnie otwartym od minus dwóch do plus minus jeden wszystkie wyrażenia przyjmują wartości dodatnie oprócz wyrażenia ostatniego $x+1$. W ostatnim przedziale lewostronnie domkniętym od minus jeden do plus nieskończoności wszystkie wyrażenia przyjmują wartości dodatnie.

Jak można wyczytać z rysunku, są cztery przedziały, w których musimy rozważyć znaki wyrażeń pod modułami.

A zatem

Odpowiedź: $x\in \left\{-14, 6\right\}$.

Rozwiążemy równanie.

$\left|x+2\right|-\left|x^2-4\right|=0$

Zauważmy, że wyrażenie pod drugim modułem możemy zapisać w postaci iloczynu sumy i różnicy dwóch wyrażeń, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.

$\left|x+2\right|-\left|\left(x+2\right)\left(x-2\right)\right|=0$

Skorzystajmy z poznanej własności wartości bezwzględnej

$\left|x+2\right|-\left|x+2\right|·\left|x-2\right|=0$

Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias

$\left|x+2\right|·\left[1-\left|\left(x-2\right)\right|\right]=0$

A zatem

$\left|x+2\right|=0$ lub $1-\left|x-2\right|=0$

$x+2=0$ lub $-\left|x-2\right|=-1$

Pozbywamy się modułu:

$x-2=1$ lub $x-2=-1$

Odpowiedź: $x\in \left\{-2, 1, 3\right\}$.

równanie, które nie posiada rozwiązania, co zapisujemy $x\in \varnothing$