Przeczytaj
Okrąg to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których odległość od ustalonego punktu (nazywanego środkiem okręgu), jest równa zadanej odległości (nazywanej promieniem okręgu).
Jeżeli przez punkt oznaczymy środek okręguokręgu, a przez punkt – dowolny punkt leżący na okręgu, wówczas długość promienia () obliczymy ze wzoru na długość odcinka:
Po podniesieniu obu stron do kwadratu otrzymujemy równanie:
Otrzymane równanie jest równaniem okręgu w postaci kanonicznejpostaci kanonicznej, przy czym: - środek okręgu, – promień okręgu.
Wyznaczymy środki i promienie okręgów o równaniach:
a)
, .
b)
, .
Wyznaczymy równania okręgów o podanych środkach i promieniach:
a) , .
b) , .
.
Wyznaczymy równanie okręgu o środku w punkcie , jeżeli należy do niego punkt .
Długość promienia jest równa odległości .
Zatem .
Równanie okręgu jest postaci: .
Wyznaczymy równanie okręgu, jeżeli do końców jego średnicy należą punkty oraz .
Wyznaczamy długość średnicy okręgu, czyli odcinka :
.
Promień okręgu jest równy połowie średnicy, więc .
Środek okręgu jest środkiem odcinka .
Wyznaczamy .
Równanie okręgu ma zatem postać:
Dla równania okręgu ważne jest, aby promień był większy od zera.
Jeżeli , wówczas równanie okręgu przedstawia punkt.
Wyznaczymy dla jakiego parametru równanie przedstawia okrąg.
Ponieważ dla równania okręgu musi być spełniony warunek , otrzymujemy nierówność:
.
Rozwiązaniem nierówności kwadratowej jest zbiór .
Sprawdzimy, czy punkt należy do okręgu o środku i promieniu .
Do sprawdzenia wystarczy wyznaczyć odległość podanego punktu od środka okręgu.
.
Ponieważ , zatem podany punkt należy do tego okręgu.
Wyznaczymy równanie okręgu o promieniu , jeżeli należą do niego punkty i .
Podstawiamy współrzędne punktów i do równania okręgu .
Otrzymujemy układ równań z dwiema niewiadomymi:
Rozwiązanie układu sprowadza się do równania
, z czego otrzymujemy, że .
Podstawiamy tę zależność do jednego z równań i otrzymujemy: .
Po przekształceniach mamy równanie , zatem lub i jednocześnie lub .
Otrzymujemy w związku z tym dwa równania okręgów, spełniających podane warunki:
lub .
Wyznaczymy równanie okręgu przechodzącego przez punkt , stycznego do obu osi układu współrzędnych.
Zauważmy, że środek musi mieć współrzędne .
Podstawiając współrzędne środka oraz podany punkt do równania okręgu otrzymujemy równanie:
.
Z równania otrzymujemy, że lub . Zatem mamy dwa okręgi spełniające warunki zadania:
lub .
Słownik
zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, które leżą w odległości równej promieniowi od ustalonego punktu, nazywanego środkiem okręgu
, gdzie - środek okręgu, - promień okręgu