Przeczytaj
W materiale omówimy interpretację graficzną układów równań postaci
Równanie kwadratowe postaci , gdzie , , na płaszczyźnie kartezjańskiej opisuje:
okrągokrąg o środku i promieniu , gdy ,
R1TLEdNokswkr
punkt o współrzędnych , gdy ,
zbiór pusty, gdy .
Przypomnijmy definicję układu równań kwadratowych.
Układem równań kwadratowych nazywamy układ równań postaci:
w którym oba równania są stopnia drugiego oraz , , , , ,
i , .
Układ równań postaci może:
nie mieć rozwiązania wtedy, gdy:
co najmniej jedno z równań opisuje zbiór pusty,
oba równania opisują punkty o różnych współrzędnych na płaszczyźnie kartezjańskiej,
jedno równanie opisuje punkt, a drugie okrąg, przy czym punkt nie należy do okręgu,
oba równania opisują okręgi rozłączne wewnętrznie lub zewnętrznie,
mieć jedno rozwiązanie wtedy, gdy:
oba równania opisują ten sam punkt,
oba równania opisują okręgi styczne wewnętrznie lub zewnętrznie,
mieć dwa rozwiązania wtedy, gdy:
oba równania przedstawiają okręgi przecinające się w dwóch punktach,
mieć nieskończenie wiele rozwiązań wtedy, gdy:
równania tworzące układ opisują okręgi na płaszczyźnie i są równaniami równoważnymi.
Przedstawimy interpretację graficzną układu równań:
Rozwiązanie:
Dla każdego z równań obliczamy wartość wyrażenia .
W przypadku równania mamy , oraz , zatem:
Zatem równanie opisuje okrąg o promieniu i środku .
Mamy
W przypadku równania mamy , oraz , zatem:
Zatem równanie opisuje okrąg o promieniu i środku .
Mamy:
Wobec tego interpretacja graficzna omawianego układu równań przedstawia się następująco:
Okręgi są styczne. Zatem układ równań ma jedno rozwiązanie.
Ustalimy, dla jakich wartości parametru , gdzie układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Rozwiązanie:
Dla każdego równania obliczamy wartość wyrażenia .
Zatem dla pierwszego równania z układu równań mamy:
Dla drugiego równania z układu równań mamy:
Układ równań kwadratowych ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy oba równania są równoważne i opisują okręgi.
Zatem muszą być spełnione następujące warunki:
Wobec tego nie istnieje taka wartość parametru , dla którego układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Zapiszemy układ równań kwadratowych w postaci , którego interpretację graficzną przedstawiono na poniższym rysunku.
Rozwiązanie:
Z rysunku odczytujemy, że rozwiązaniem układu równań jest punkt o współrzędnych , a interpretacja graficzna przedstawia przecięcie punktu z okręgiem.
Wyznaczamy równanie, które opisuje punkt:
Wobec tego, korzystając ze wzoru , mamy:
Zatem pierwsze równanie układu równań jest postaci
Wyznaczamy równanie, które opisuje okrąg.
Z rysunku odczytujemy, że , czyli:
Wobec tego, korzystając ze wzoru , mamy:
Zatem drugie równanie z układu równań jest postaci .
Wobec tego na rysunku przedstawiono interpretację graficzną układu równań
Przedstawimy interpretację graficzną układu równań .
Z pierwszego równania mamy, że:
, ,
Zatem wartość wyrażenia wynosi:
Wobec tego równanie opisuje zbiór pusty.
Z drugiego równania mamy, że:
, ,
Zatem wartość wyrażenia wynosi:
Wobec tego równanie opisuje zbiór pusty.
Zatem podany układ równań nie ma rozwiązania.
Wyznaczymy, dla jakich wartości parametru , gdy układ równań opisuje na płaszczyźnie kartezjańskiej odpowiednio punkt oraz okrąg.
Rozwiązanie:
Z pierwszego równania mamy, że:
, ,
Równanie opisuje punkt, gdy zachodzi warunek .
Zatem do wyznaczenia wartości rozwiązujemy równanie:
Z drugiego równania mamy, że , ,
Równanie opisuje okrąg, gdy zachodzi warunek .
Zatem do wyznaczenia wartości rozwiązujemy nierówność:
Z części wspólnej obu warunków otrzymujemy, że .
Słownik
zbiór punktów płaszczyzny, których odległość od ustalonego punktu (nazywanego środkiem okręgu) jest równa zadanej odległości (nazywanej promieniem okręgu)