Przeczytaj

W materiale omówimy interpretację graficzną układów równań postaci

\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + a x + b y = c \\ x^{2} + y^{2} + d x + e y = f \end{cases}

Równanie kwadratowe postaci $x^{2} + y^{2} + a x + b y = c$ , gdzie $a$ , $b$ , $c \in ℝ$ na płaszczyźnie kartezjańskiej opisuje:

okrągokrągokrąg o środku $S = (- \frac{1}{2} a, - \frac{1}{2} b)$ i promieniu $r = \sqrt{\frac{1}{4} a^{2} + \frac{1}{4} b^{2} + c}$ , gdy $\frac{1}{4} a^{2} + \frac{1}{4} b^{2} + c > 0$ ,
R1TLEdNokswkr

punkt o współrzędnych $P = (- \frac{1}{2} a, - \frac{1}{2} b)$ , gdy $\frac{1}{4} a^{2} + \frac{1}{4} b^{2} + c = 0$ ,

zbiór pusty, gdy $\frac{1}{4} a^{2} + \frac{1}{4} b^{2} + c < 0$ .

Przypomnijmy definicję układu równań kwadratowych.

Układ równań kwadratowych

Definicja: Układ równań kwadratowych

Układem równań kwadratowych nazywamy układ równań postaci:

\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + a x + b y = c \\ x^{2} + y^{2} + d x + e y = f \end{cases}

w którym oba równania są stopnia drugiego oraz $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ , $f \in ℝ$
i $x$ , $y \in ℝ$ .

Układ równań postaci $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + a x + b y = c \\ x^{2} + y^{2} + d x + e y = f \end{cases}$ może:

nie mieć rozwiązania wtedy, gdy:
- co najmniej jedno z równań opisuje zbiór pusty,
- oba równania opisują punkty o różnych współrzędnych na płaszczyźnie kartezjańskiej,
- jedno równanie opisuje punkt, a drugie okrąg, przy czym punkt nie należy do okręgu,
- oba równania opisują okręgi rozłączne wewnętrznie lub zewnętrznie,

mieć jedno rozwiązanie wtedy, gdy:
- oba równania opisują ten sam punkt,
- oba równania opisują okręgi styczne wewnętrznie lub zewnętrznie,

mieć dwa rozwiązania wtedy, gdy:
- oba równania przedstawiają okręgi przecinające się w dwóch punktach,

mieć nieskończenie wiele rozwiązań wtedy, gdy:
- równania tworzące układ opisują okręgi na płaszczyźnie i są równaniami równoważnymi.

Przykład 1

Przedstawimy interpretację graficzną układu równań:

$\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} - 2 x = 3 \\ x^{2} + y^{2} + 8 x = - 7 \end{cases}$

Rozwiązanie:

Dla każdego z równań obliczamy wartość wyrażenia $\frac{1}{4} a^{2} + \frac{1}{4} b^{2} + c$ .

W przypadku równania $x^{2} + y^{2} - 2 x = 3$ mamy $a = - 2$ , $b = 0$ oraz $c = 3$ , zatem:

$\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{2} + \frac{1}{4} \cdot 0^{2} + 3 = 4$

Zatem równanie opisuje okrąg o promieniu $r = \sqrt{4} = 2$ i środku $S = (- \frac{1}{2} a, - \frac{1}{2} b)$ .

Mamy

$S = (- \frac{1}{2} \cdot (- 2), - \frac{1}{2} \cdot 0) = (1, 0)$

W przypadku równania $x^{2} + y^{2} + 8 x = - 7$ mamy $a = 8$ , $b = 0$ oraz $c = - 7$ , zatem:

$\frac{1}{4} \cdot 8^{2} + \frac{1}{4} \cdot 0^{2} - 7 = 16 - 7 = 9$

Zatem równanie opisuje okrąg o promieniu $r = \sqrt{9} = 3$ i środku $S = (- \frac{1}{2} a, - \frac{1}{2} b)$ .

Mamy:

$S = (- \frac{1}{2} \cdot 8, - \frac{1}{2} \cdot 0) = (- 4, 0)$

Wobec tego interpretacja graficzna omawianego układu równań przedstawia się następująco:

RTVqM7FWoEvNd

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nim dwa okręgi styczne zewnętrznie. Okrąg pierwszy w najdalszym punkcie na układzie współrzędnych ma wartość minus siedem, a w największym minus jeden. Okrąg drugi w najdalszym punkcie na układzie współrzędnych ma wartość minus jeden, a największa wartość na układzie to trzy.

Okręgi są styczne. Zatem układ równań ma jedno rozwiązanie.

Przykład 2

Ustalimy, dla jakich wartości parametru $m$ , gdzie $m \in ℝ,$ układ równań $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} = m \\ x^{2} + y^{2} + m x + m y = 0 \end{cases}$ ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Rozwiązanie:

Dla każdego równania obliczamy wartość wyrażenia $\frac{1}{4} a^{2} + \frac{1}{4} b^{2} + c$ .

Zatem dla pierwszego równania z układu równań mamy:

$a = 0$

$b = 0$

$c = m$

$\frac{1}{4} \cdot 0^{2} + \frac{1}{4} \cdot 0^{2} + m = m$

Dla drugiego równania z układu równań mamy:

$a = m$

$b = m$

$c = 0$

$\frac{1}{4} \cdot m^{2} + \frac{1}{4} \cdot m^{2} + 0 = \frac{1}{2} m^{2}$

Układ równań kwadratowych ma nieskończenie wiele rozwiązań, gdy oba równania są równoważne i opisują okręgi.

Zatem muszą być spełnione następujące warunki:

$\{\begin{cases} - \frac{1}{2} m = 0 \\ m = \frac{1}{2} m^{2} \\ m > 0 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} m = 0 \\ m = 0 \lor m = 2 \\ m > 0 \end{cases} \Rightarrow m \in \emptyset$

Wobec tego nie istnieje taka wartość parametru $m$ , dla którego układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Przykład 3

Zapiszemy układ równań kwadratowych w postaci $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + a x + b y = c \\ x^{2} + y^{2} + d x + e y = f \end{cases}$ , którego interpretację graficzną przedstawiono na poniższym rysunku.

R1cxW2IXJ2tmu

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nim okrąg. Styka się on z układem w punkcie zero na osi odciętych. Okrąg znajduję się na trzeciej oraz czwartej ćwiartce układu. Punkt P znajduję się na okręgu i ma współrzędne -3,-3.

Rozwiązanie:

Z rysunku odczytujemy, że rozwiązaniem układu równań jest punkt o współrzędnych $P = (- 3, - 3)$ , a interpretacja graficzna przedstawia przecięcie punktu z okręgiem.

Wyznaczamy równanie, które opisuje punkt:

$- \frac{1}{2} a = - 3 \Rightarrow a = 6$

$- \frac{1}{2} b = - 3 \Rightarrow b = 6$

$r = 0$

Wobec tego, korzystając ze wzoru $r = \sqrt{\frac{1}{4} a^{2} + \frac{1}{4} b^{2} + c}$ , mamy:

$0 = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 6^{2} + \frac{1}{4} \cdot 6^{2} + c}$

$0 = 9 + 9 + c \Rightarrow c = - 18$

Zatem pierwsze równanie układu równań jest postaci

$x^{2} + y^{2} + 6 x + 6 y = - 18$

Wyznaczamy równanie, które opisuje okrąg.

Z rysunku odczytujemy, że $S = (0, - 3)$ , czyli:

$- \frac{1}{2} d = 0 \Rightarrow d = 0$

$- \frac{1}{2} e = - 3 \Rightarrow e = 6$

$r = 3$

Wobec tego, korzystając ze wzoru $r = \sqrt{\frac{1}{4} d^{2} + \frac{1}{4} e^{2} + f}$ , mamy:

$3 = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 0^{2} + \frac{1}{4} \cdot 6^{2} + f}$

$9 = 9 + f \Rightarrow f = 0$

Zatem drugie równanie z układu równań jest postaci $x^{2} + y^{2} + 6 y = 0$ .

Wobec tego na rysunku przedstawiono interpretację graficzną układu równań $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + 6 x + 6 y = - 18 \\ x^{2} + y^{2} + 6 y = 0 \end{cases}$

Przykład 4

Przedstawimy interpretację graficzną układu równań $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} - 6 y = - 11 \\ x^{2} + y^{2} + 4 x = - 5 \end{cases}$ .

Z pierwszego równania $x^{2} + y^{2} - 6 y = - 11$ mamy, że:

$a = 0$ , $b = - 6$ , $c = - 11$

Zatem wartość wyrażenia $\frac{1}{4} a^{2} + \frac{1}{4} b^{2} + c$ wynosi:

$\frac{1}{4} \cdot 0^{2} + \frac{1}{4} \cdot {(- 6)}^{2} - 11 = 9 - 11 = - 2 < 0$

Wobec tego równanie opisuje zbiór pusty.

Z drugiego równania $x^{2} + y^{2} + 4 x = - 5$ mamy, że:

$a = 4$ , $b = 0$ , $c = - 5$

Zatem wartość wyrażenia $\frac{1}{4} a^{2} + \frac{1}{4} b^{2} + c$ wynosi:

$\frac{1}{4} \cdot 4^{2} + \frac{1}{4} \cdot 0^{2} - 5 = - 1 < 0$

Wobec tego równanie opisuje zbiór pusty.

Zatem podany układ równań nie ma rozwiązania.

Przykład 5

Wyznaczymy, dla jakich wartości parametru $m$ , gdy $m \in ℝ$ układ równań $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + m x + 2 y = m - 1 \\ x^{2} + y^{2} + 3 x - 2 y = m \end{cases}$ opisuje na płaszczyźnie kartezjańskiej odpowiednio punkt oraz okrąg.

Rozwiązanie:

Z pierwszego równania $x^{2} + y^{2} + m x + 2 y = m - 1$ mamy, że:

$a = m$ , $b = 2$ , $c = m - 1$

Równanie opisuje punkt, gdy zachodzi warunek $\frac{1}{4} a^{2} + \frac{1}{4} b^{2} + c = 0$ .

Zatem do wyznaczenia wartości $m$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{1}{4} m^{2} + \frac{1}{4} \cdot 2^{2} + m - 1 = 0$

$\frac{1}{4} m^{2} + m = 0 \Rightarrow m \in \{0, - 4\}$

Z drugiego równania $x^{2} + y^{2} + 3 x - 2 y = m$ mamy, że $a = 3$ , $b = - 2$ , $c = m$

Równanie opisuje okrąg, gdy zachodzi warunek $\frac{1}{4} a^{2} + \frac{1}{4} b^{2} + c > 0$ .

Zatem do wyznaczenia wartości $m$ rozwiązujemy nierówność:

$\frac{1}{4} \cdot 3^{2} + \frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{2} + m > 0$

$\frac{9}{4} + 1 + m > 0 \Rightarrow m \in (- 3 \frac{1}{4}, \infty)$

Z części wspólnej obu warunków otrzymujemy, że $m = 0$ .

Słownik

okrąg

zbiór punktów płaszczyzny, których odległość od ustalonego punktu (nazywanego środkiem okręgu) jest równa zadanej odległości (nazywanej promieniem okręgu)

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Słownik