Dla każdego z równań podanego układu równań obliczamy wartość wyrażenia $\frac{1}{4}{a}^2+\frac{1}{4}{b}^2+c$.

Dla równania $x^2+y^2=4$ mamy:

$a=0$

$b=0$

$c=4$

$\frac{1}{4}·0^2+\frac{1}{4}·0^2+4=4>0$

Wobec tego równanie opisuje okrąg o promieniu $r_1=\sqrt{4}=2$ i środku $S_1=\left(0,0\right)$.

Dla równania $x^2+y^2+8x+2y=-8$ mamy:

$a=8$

$b=2$

$c=-8$

$\frac{1}{4}·8^2+\frac{1}{4}·2^2-8=9>0$

Wobec tego równanie opisuje okrąg o promieniu $r_2=\sqrt{9}=3$ i środku $S_2=\left(-4,-1\right)$.

Jeżeli $S_1=\left(x_1,y_1\right)$ i $S_2=\left(x_2,y_2\right)$, to $\left|S_1{S}_2\right|=\sqrt{{\left(x_2-x_1\right)}^2+{\left(y_2-y_1\right)}^2}$.

Zatem:

$\left|S_1{S}_2\right|=\sqrt{{\left(-4-0\right)}^2+{\left(-1-0\right)}^2}=\sqrt{17}$

Ponieważ

$\left|r_1-r_2\right|=\left|2-3\right|=1<\left|S_1{S}_2\right|=\sqrt{17}<r_1+r_2=2+3=5$, to okręgi, których równania tworzą podany układ równań, przecinają się w dwóch punktach, jak na poniższym rysunku.

RHES9NTsEMXHP

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nim dwa okręgi. Pierwszy o środku S indeks dolny 1 koniec indeksu w punkcie $\left(0,0\right)$ o promieniu r indeks dolny 1 koniec indeksu równy 2 jednostki. oraz okrąg o środku S indeks dolny 2 koniec indeksu w punkcie $\left(-1,-4\right)$ o promieniu r indeks dolny 2 koniec indeksu równy 3 jednostki.