Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R15UUoDkl1flJ1

Ćwiczenie 1

Zaznacz poprawną odpowiedź.
Równania z układu równań $"{"\begin{array}{c} x^{2} + y^{2} - 2 x = 9 \\ x^{2} + y^{2} + 8 x + 2 y = - 17 \end{array}""$ przedstawiają w podanej kolejności na płaszczyźnie kartezjańskiej:

okrąg i punkt
dwa okręgi
dwa punkty

RmZbDr3bPaX3x1

Ćwiczenie 2

Dany jest układ równań $"{"\begin{array}{c} x^{2} + y^{2} + 4 x = 0 \\ x^{2} + y^{2} + 10 x - 6 y = - 34 \end{array}""$ . Zaznacz zdania, które są prawdziwe.

Podany układ równań nie ma rozwiązania.
Podany układ równań opisuje równania dwóch okręgów na płaszczyźnie kartezjańskiej.
Pierwsze równanie układu równań opisuje okrąg o środku w punkcie $S = (2, 0)$ i promieniu $r = 2$ .
Gdyby pierwsze równanie układu równań zamieniono na równanie postaci ${(x + 5)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 0$ , to otrzymany układ równań miałby rozwiązanie.

Ćwiczenie 3

RUBhof0LJcGxy

RIeh9CvaBRyL1

Połącz w pary układ równań kwadratowych z odpowiadającym mu opisem interpretacji graficznej.

\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} - 4 y = 0 \\ x^{2} + y^{2} = 8 \end{cases}

Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nim okrąg o środku w punkcie

(2, 0)

o promieniu o długości 2 jednostek., 2. Ilustracja przedstawia dwa okręgi styczne zewnętrznie w punkcie

(- 1, - 1)

jeden okrąg ma promień o wartości 2 jednostek, a drugi ma promień o długości jednej jednostki., 3. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nim dwa okręgi przecinające się. Pierwszy o środku w punkcie

(0, 0)

oraz promieniu o wartości 3 jednostek, a drugi o środku w punkcie

(0, 2)

oraz o promieniu o wartości 2 jednostek.

\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + 2 x + 4 y = - 4 \\ x^{2} + y^{2} + 2 x - 2 y = + 2 \end{cases}

Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nim okrąg o środku w punkcie

(2, 0)

o promieniu o długości 2 jednostek., 2. Ilustracja przedstawia dwa okręgi styczne zewnętrznie w punkcie

(- 1, - 1)

(0, 0)

oraz promieniu o wartości 3 jednostek, a drugi o środku w punkcie

(0, 2)

oraz o promieniu o wartości 2 jednostek.

\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + 2 x + 2 y = - 2 \\ x^{2} + y^{2} - 4 x = 0 \end{cases}

Możliwe odpowiedzi: 1. Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nim okrąg o środku w punkcie

(2, 0)

o promieniu o długości 2 jednostek., 2. Ilustracja przedstawia dwa okręgi styczne zewnętrznie w punkcie

(- 1, - 1)

(0, 0)

oraz promieniu o wartości 3 jednostek, a drugi o środku w punkcie

(0, 2)

oraz o promieniu o wartości 2 jednostek.

R1Sa8uCpaaeT62

Ćwiczenie 4

Wstaw w tekst odpowiednie zwroty. Jeżeli układ równań kwadratowych tworzą równania okręgów o środkach odpowiednio

S_{1} = (0, 0)

S_{2} = (1, 0)

oraz promieniach

r_{1} = 3

r_{2} = 4

, to te okręgi są 1. rozłączne wewnętrznie, 2. nie ma rozwiązania, 3. styczne zewnętrznie, 4. ma jedno rozwiązanie, 5. styczne wewnętrznie, 6. rozłączne zewnętrznie, 7. przecinające się, 8. ma dwa rozwiązania, czyli układ równań 1. rozłączne wewnętrznie, 2. nie ma rozwiązania, 3. styczne zewnętrznie, 4. ma jedno rozwiązanie, 5. styczne wewnętrznie, 6. rozłączne zewnętrznie, 7. przecinające się, 8. ma dwa rozwiązania.
Jeżeli układ równań kwadratowych tworzą równania okręgów o środkach odpowiednio

S_{1} = (2, 0)

S_{2} = (0, 0)

oraz promieniach

r_{1} = 1

r_{2} = 4

S_{1} = (3, 0)

S_{2} = (0, 0)

oraz promieniach

r_{1} = 2

r_{2} = 4

Wstaw w tekst odpowiednie zwroty.

ma jedno rozwiązanie, styczne zewnętrznie, rozłączne wewnętrznie, przecinające się, rozłączne zewnętrznie, styczne wewnętrznie, nie ma rozwiązania, ma dwa rozwiązania

Jeżeli układ równań kwadratowych tworzą równania okręgów o środkach odpowiednio $S_{1} = (0, 0)$ i $S_{2} = (1, 0)$ oraz promieniach $r_{1} = 3$ i $r_{2} = 4$ , to te okręgi są ................................................, czyli układ równań .................................................
Jeżeli układ równań kwadratowych tworzą równania okręgów o środkach odpowiednio $S_{1} = (2, 0)$ i $S_{2} = (0, 0)$ oraz promieniach $r_{1} = 1$ i $r_{2} = 4$ , to te okręgi są ................................................, czyli układ równań .................................................
Jeżeli układ równań kwadratowych tworzą równania okręgów o środkach odpowiednio $S_{1} = (3, 0)$ i $S_{2} = (0, 0)$ oraz promieniach $r_{1} = 2$ i $r_{2} = 4$ , to te okręgi są ................................................, czyli układ równań .................................................

R1Xm149pBU18P2

Ćwiczenie 5

Rozwiąż krzyżówkę.

Może reprezentować równanie kwadratowe na płaszczyźnie kartezjańskiej.
Punkt, który jest równoodległy od każdego z punktów leżącego na okręgu.
Pierwsza lub druga punktu na płaszczyźnie kartezjańskiej.
Jedna z metod rozwiązywania układów równań kwadratowych.
Sposób wyznaczenia rozwiązań układu równań.

1
2
3
4
5

Ćwiczenie 6

Na rysunku przedstawiono interpretację graficzną układu równań kwadratowych postaci $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + a x + b y = c \\ x^{2} + y^{2} + d x + e y = f \end{cases}$ .

Rx4l3XtAWkFx4

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nim dwa okręgi. Jeden o środku S indeks dolny 1 koniec indeksu w punkcie 3,0 o promieniu r indeks dolny 1 koniec indeksu o długości trzech jednostek. Drugi okrąg o środku S indeks dolny 2 koniec indeksu w punkcie 1,-2 o promieniu r indeks dolny 2 koniec indeksu o długości czterech jednostek.

Zapisz ten układ równań.

Na podstawie rysunku możemy zauważyć, że oba równania układu równań przedstawiają okręgi na płaszczyźnie kartezjańskiej.

Z rysunku odczytujemy, że:

$S_{1} = (3, 0)$ , czyli:

$- \frac{1}{2} a = 3 \Rightarrow a = - 6$

$- \frac{1}{2} b = 0 \Rightarrow b = 0$

$r_{1} = 3$

Wobec tego, korzystając z zależności $r_{1} = \sqrt{\frac{1}{4} a^{2} + \frac{1}{4} b^{2} + c}$ , mamy:

$3 = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot {(- 6)}^{2} + \frac{1}{4} \cdot 0^{2} + c}$

$9 = 9 + c \Rightarrow c = 0$

Zatem pierwsze równanie z układu równań jest postaci $x^{2} + y^{2} - 6 x = 0$ .

Następnie z rysunku odczytujemy, że:

$S_{2} = (1, - 2)$ , czyli:

$- \frac{1}{2} d = 1 \Rightarrow d = - 2$

$- \frac{1}{2} e = - 2 \Rightarrow e = 4$

$r_{2} = 4$

Wobec tego korzystając z zależności $r_{2} = \sqrt{\frac{1}{4} d^{2} + \frac{1}{4} e^{2} + f}$ mamy:

$4 = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{2} + \frac{1}{4} \cdot 4^{2} + f}$

$16 = 1 + 4 + f \Rightarrow f = 11$

Zatem drugie równanie z układu równań jest postaci $x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y = 11$ .

Wobec tego na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną układu równań:

$\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} - 6 x = 0 \\ x^{2} + y^{2} - 2 x + 4 y = 11 \end{cases}$

Ćwiczenie 7

Przedstaw graficznie interpretację układu równań: $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + 2 x = 8 \\ x^{2} + y^{2} = 16 \end{cases}$ .

Wyznaczamy wartość wyrażenia $\frac{1}{4} a^{2} + \frac{1}{4} b^{2} + c$ dla równań z podanego układu:

jeżeli $a = 2$ , $b = 0$ , $c = 8$ , to $\frac{1}{4} \cdot 2^{2} + \frac{1}{4} \cdot 0^{2} + 8 = 9 > 0$ , zatem równanie opisuje okrąg o promieniu $r = 3$ i środku $S = (- 1, 0)$ ,

jeżeli $a = 0$ , $b = 0$ , $c = 16$ , to $\frac{1}{4} \cdot 0^{2} + \frac{1}{4} \cdot 0^{2} + 16 = 16 > 0$ , zatem równanie opisuje okrąg o promieniu $r = 4$ i środku $S = (0, 0)$ .

Wobec tego interpretacja graficzna omawianego układu równań przedstawia się następująco:

RRgFVEWtLNyEh

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Zaznaczono na nim dwa okręgi styczne wewnętrznie w punkcie -4,0. Pierwszy o promieniu o długości trzech jednostek, a drugi o promieniu równym 4 jednostki.

Z rysunku odczytujemy współrzędne punktu wspólnego okręgów: $(- 4, 0)$ .

Otrzymana para liczb jest rozwiązaniem układu równań.

Ćwiczenie 8

Wyznacz, dla jakich wartości parametru $m$ , gdy $m \in ℝ$ układ równań $\{\begin{cases} x^{2} + y^{2} + x + y = - m + 3 \\ x^{2} + y^{2} - 2 x - m y = 1 \end{cases}$ opisuje dwa okręgi na płaszczyźnie kartezjańskiej.

Z pierwszego równania $x^{2} + y^{2} + x + y = - m + 3$ mamy, że:

$a = 1$ , $b = 1$ , $c = - m + 3$

Równanie opisuje okrąg, gdy zachodzi warunek $\frac{1}{4} a^{2} + \frac{1}{4} b^{2} + c > 0$ .

Zatem do wyznaczenia wartości $m$ rozwiązujemy nierówność:

$\frac{1}{4} \cdot 1^{2} + \frac{1}{4} \cdot 1^{2} - m + 3 > 0$

$m < 3 \frac{1}{2} \Rightarrow m \in (- \infty, 3 \frac{1}{2})$

Z drugiego równania $x^{2} + y^{2} - 2 x - m y = 1$ mamy, że:

$a = - 2$ , $b = - m$ , $c = 1$

Równanie opisuje okrąg, gdy zachodzi warunek $\frac{1}{4} a^{2} + \frac{1}{4} b^{2} + c > 0$ .

Zatem do wyznaczenia wartości $m$ rozwiązujemy nierówność:

$\frac{1}{4} \cdot {(- 2)}^{2} + \frac{1}{4} \cdot {(- m)}^{2} + 1 > 0$

$\frac{1}{4} m^{2} + 2 > 0 \Rightarrow m \in ℝ$

Z części wspólnej obu warunków otrzymujemy, że $m \in (- \infty, 3 \frac{1}{2})$ .

Galeria zdjęć interaktywnych

Dla nauczyciela