Warto przeczytać

Nie wszystkie ciała przy zderzeniu odbijają się od siebie. Wyobraź sobie dwie kulki z plasteliny, o równych masach, które toczą się centralnie naprzeciw siebie  z prędkościami równymi co do wartości. Gdyby to były kule bilardowe, odbiłyby się od siebie. Jednak kulki z plasteliny są plastyczne i zlepią się. Jest to zderzenie niesprężysteZderzenie niesprężystezderzenie niesprężyste, centralneZderzenie centralnecentralne. Jak będzie się poruszał taki „zlepek” po zderzeniu?

R25dCVtxKfDBy

Rys. 1. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym widoczne są dwa zbliżające się do siebie ciała. Ciała widoczne są w postaci dwóch jednakowej wielkości kul, czerwonej i niebieskiej. Ciała znajdują się na poziomej i płaskiej powierzchni narysowanej w postaci poziomej i czarnej linii ciągłej. Ciało po lewej stronie jest niebieskie i posiada masę mała litera m z indeksem dolnym jeden. Porusza się ono w prawo z prędkością opisaną wektorem mała litera v z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor. Ciało drugie jest czerwone i ma masę mała litera m z indeksem dolnym dwa. Porusza się ono w lewo z prędkością opisaną wektorem mała litera w z indeksem dolnym dwa i strzałką oznaczającą wektor. Pomiędzy ciałami z czasem dojdzie do zderzenia sprężystego.

Obie kulki mają takie same masy, a przed zderzeniem miały prędkości o jednakowych wartościach, ale przeciwnych zwrotach. Wobec tego także ich pędy miały jednakową wartość, ale przeciwny zwrot. Przypomnijmy: pęd to wielkość wektorowa – iloczyn masy i prędkości:

Jeśli oznaczymy pędy kulek przez $\vec{p}_1$ i $\vec{p}_2$, to możemy napisać:

Skoro tak, to całkowity pęd układu kulek przed zderzeniem wynosi zero:

Czy do tego zjawiska, które jest zderzeniem niesprężystym centralnym, stosuje się zasada zachowania pędu? Oczywiście. Jest to ogólna zasada stałości wielkości fizycznej, jaką jest pęd układu izolowanego. Mówi ona, że

W układzie izolowanymUkład izolowanyukładzie izolowanym całkowity pęd oddziałujących ciał jest stały.

Kulki możemy traktować jako układ odosobnionyUkład izolowanyukład odosobniony. Zasada musi być spełniona. Po zderzeniu mamy do czynienia z jednym ciałem, składającym się z dwóch zlepionych kulek. Oznaczmy pęd tego ciała po zderzeniu symbolem ${\overrightarrow{p}}_{12}$. Pęd ten - zgodnie z przytoczoną zasadą - wynosi zero:

Pęd pojedynczego ciała o niezerowej masie wynosi zero wtedy i tylko wtedy, gdy to ciało spoczywa. Okazuje się więc, że jeżeli nasze dwie kulki podczas zderzenia zlepią się ze sobą, to znieruchomieją. Jeśli wydaje Ci się to zaskakujące, spróbuj zrobić dwie kulki z plasteliny, nadać im jednakowe prędkości i doprowadzić do centralnego zderzenia.

Zwróć uwagę, jak w czasie omawianego zderzenia zmienia się energia kulek. Na początku każda z nich ma niezerową prędkość, a więc dodatnią energię kinetyczną
$E_{kin}=\frac{1}{2}mv^{2}$. Energia, w przeciwieństwie do pędu, jest wielkością skalarną, wobec tego całkowita energia kinetyczna kulek przed zderzeniem ma niezerową, dodatnią wartość. Po zderzeniu jednak, kiedy „zlepek” spoczywa, jego energia kinetyczna wynosi zero. Wygląda na to, że w zderzeniu kulek z plasteliny nie jest zachowana energia mechaniczna. Co się dzieje z tą utraconą energią mechaniczną?

Zasada zachowania energii, kolejna ważna zasada zachowania obowiązująca w fizyce, głosi, że:

Energia izolowanego układu ciał jest zachowana zawsze, może jedynie zmienić postać.

Zauważ, że w omawianym zderzeniu kulki odkształcają się – w czasie zderzenia część energii jest wykorzystana na wykonanie związanej z tym odkształceniem pracy. Co więcej, gdyby dokonać dokładnych pomiarów temperatury kulek przed i po zderzeniu, okazałoby się, że temperatura części odkształconych nieco wzrosła. Ogólniej możemy stwierdzić, że w zderzeniu niesprężystym całkowita energia kinetyczna ciał po zderzeniu jest mniejsza niż przed zderzeniem.

Dochodzimy zatem do wniosku, że w zderzeniu niesprężystym ciała odkształcają się i zwiększa się ich energia wewnętrzna kosztem części energii mechanicznej. Jeżeli w wyniku zderzenia obiekty całkowicie się ze sobą łączą (a więc po zderzeniu mają jednakową prędkość), ubytek energii kinetycznej jest największy. Mówimy wtedy o zderzeniu doskonale niesprężystym. Jego przykładem jest omówione wyżej zderzenie dwóch kulek z plasteliny.

Zderzenie dwóch kulek, które poruszają się z jednakowymi prędkościami i mają taką sama masę, jest sytuacją wyjątkową. Przejdźmy teraz do bardziej ogólnego opisu. Masy zderzających się ciał (niekoniecznie kulek) będą różne i ich prędkości również. Pozostanie założenie upraszczające, że ruch odbywa się wzdłuż jednej prostej, a więc zderzenie jest centralne.

Przyjmijmy, że ciało o masie $m_{1}$ porusza się z prędkością $\vec{v}_1$ i uderza w ciało o masie $m_{2}$, poruszające się z prędkością $\vec{v}_2$ (zakładamy oczywiście, że prędkości te są takie, że zetknięcie ciał w ogóle nastąpi). W wyniku zderzenia ciała łączą się ze sobą i kontynuują ruch z prędkością $\vec{v}_{12}$.

Całkowity pęd początkowy ${\overrightarrow{p}}_p$ to suma pędów obu ciał (należy pamiętać, że pęd i prędkość to wielkości wektorowe):

Całkowity pęd końcowy połączonych ciał wynosi

Zasada zachowania pędu mówi, że $\vec{p}_k = \vec{v}_p$, zatem

Ostatecznie, po podzieleniu obu stron równania przez łączną masę $m_{1}+m_{2}$, otrzymujemy wzór na prędkość po zderzeniu:

Prędkość końcowa w zderzeniu doskonale niesprężystym dwóch ciał jest średnią ważoną prędkości tych ciał przed zderzeniem, w której wagami są masy badanych ciał.

Sugestywnym i pouczającym przykładem zderzenia niesprężystego jest wypadek samochodowy. Gdy dwa pojazdy zderzają się ze sobą, ich energia kinetyczna jest tracona – odkształca się karoseria, pasażerowie doznają obrażeń, na skutek tarcia podnosi się temperatura zderzających się elementów. Teorię zderzeń niesprężystych wykorzystuje się między innymi do odtwarzania przebiegu wypadków drogowych. Na podstawie śladów hamowania i innych wskazówek policjanci mogą obliczyć przybliżoną prędkość pojazdów po zderzeniu. Wykorzystując zasadę zachowania pędu można wtedy oszacować ich prędkości przed zderzeniem.

RS3Onp3Ep5MQw

Rys. 2. Ilustracja przedstawia zdjęcie, na którym widoczna jest kolizja samochodów wykonana podczas testu zderzeniowego. Na szarej, asfaltowej powierzchni widoczne są dwa samochody, czerwony po lewej stronie i żółty po prawej stronie. Czerwony samochód jadący w prawo uderza przodem w tył żółtego pojazdu. Na zdjęciu widoczne są zniszczenia przedniej części samochodu czerwonego. Widoczne są wgniecenia zderzaka oraz przedniej maski. Pojazd żółty widoczny po prawej stronie ma pogiętą tylną część składającą się ze zderzaka, klapy bagażnika oraz karoserii nad tylnymi kołami. Wokół pojazdów widoczne są odłamki szkła rozpryskujące się we wszystkich kierunkach. Po kolizji samochody są złączone, co świadczy o tym, że zderzenie do jakiego doszło było niesprężyste.

Słowniczek