Wyznaczymy taką wartość parametru $z$, aby liczba $x_0=-1$ spełniała równanieliczba spełniająca równanieliczba $x_0=-1$ spełniała równanie

$-\left(z^2+1\right)x^4-3x^2-2z+3=0$

Ponieważ $-1$ jest pierwiastkiem równania, więc możemy zapisać:

$-z^2-1-3-2z+3=0$

${-z}^2-2z-1=0$

$z^2+2z+1=0$

${\left(z+1\right)}^2=0$

$z+1=0$

$z=-1$

Rozwiązaniem równania jest  liczba $-1$, gdy  $z=-1$.

Rozwiążemy równanie $x^4-5x^2+4=0$ metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias.

Zastosujemy podstawienie $x^2=z$, gdzie $z\ge 0$.

$z^2-5z+4=0$

Zapiszemy $-5z=-z-4z$.

$z^2-z-4z+4=0$

$z\left(z-1\right)-4·\left(z-1\right)=0$

Wyrażenie $\left(z-1\right)$ możemy wyłączyć przed nawias.

$\left(z-1\right)\left(z-4\right)=0$

Otrzymaliśmy postać iloczynową równania

$\left(z-1\right)=0$ lub $\left(z-4\right)=0$

$z=1$ lub $z=4$

Teraz wrócimy do podstawienia $x^2=z$.

$z=1$

$x^2=1$

$x=-1$ lub $x=1$

$z=4$

$x^2=4$

$x=-2$ lub $x=2$

Odpowiedź:   $x\in \{-2,-1,1,2\}$.

Rozwiążemy to samo równanie $x^4-5x^2+4=0$ metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias, zastosujemy inne podstawienie.

$x^4-x^2-4x^2+4=0$

$x^2\left(x^2-1\right)-4·\left(x^2-1\right)=0$

Zastosujemy podstawienie $x^2-1=t$.

Zatem $x^2=t+1$, gdzie $t+1\ge 0$, $t\ge -1$.

$\left(t+1\right)t-4t=0$

$t^2+t-4t=0$

$t^2-3t=0$

$t\left(t-3\right)=0$

$t=0$ lub $\left(t-3\right)=0$

$t=0$ lub $t=3$

Teraz wrócimy do podstawienia $x^2-1=t$.

$t=0$

$x^2-1=0$

$x=-1$ lub $x=1$

$t=3$

$x^2-1=3$

$x^2=4$

$x=-2$ lub $x=2$

Odpowiedź:  $x=-2,x=-1,x=1,x=2$.

Rozwiążemy równanie $x^2\left(x^2-9\right)=16x^2-144$.

Zastosujemy podstawienie $x^2=z$, gdzie $z\ge 0$.

$z\left(z-9\right)=16z-144$

$z^2-9z=16z-144$

$z^2-25z+144=0$

Obliczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$∆={25}^2- 4·1·144=625-576=49\Rightarrow \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{49}=7$

Ponieważ $∆>0$ zatem równanie ma dwa rozwiązania.

$z_1=\frac{-b-\sqrt{∆}}{2a}$

$z_1=\frac{-\left(-25\right)-7}{2·1}$

$z_1=9$

$z_2=\frac{-b+\sqrt{∆}}{2a}$

$z_2=\frac{-\left(-25\right)+7}{2·1}$

$z_2=16$

Teraz wrócimy do podstawienia $x^2=z$.

$z=9$

$x^2=9$

$x=-3$ lub $x=3$

$z=16$

$x^2=16$

$x=-4$ lub $x=4$

Odpowiedź:  $x\in \{-4,-3,3,4\}$.

Rozwiążemy równanie dwukwadratowe $x^4+2x^2-15=0$ z zastosowaniem wzoru skróconego mnożenia.

Zapiszemy równanie w postaci równoważnej.

$x^4+2x^2+1-16=0$

${\left(x^2+1\right)}^2=16$

$\sqrt{{\left(x^2+1\right)}^2}=4$

$\left|x^2+1\right|=4$

$x^2+1=-4$ lub $x^2+1=4$

$x^2=-5$ lub $x^2=3$

Równanie $x^2=-5$ jest sprzeczne.

$x^2=3$

$x=-\sqrt{3}$ lub $x=\sqrt{3}$

Odpowiedź:  $x=-\sqrt{3},x=\sqrt{3}$.

liczba, po podstawieniu której w miejsce niewiadomej otrzymamy równość prawdziwą