Korzystając z interpretacji graficznej,  rozwiążemy równanie $-x^2+2=1$.

Rx9YGMmJ4a8Lo

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz pionową osią Y od minus czterech do trzech. Na płaszczyźnie narysowana jest parabola określona funkcją f o wierzchołku w punkcie $\left(0;2\right)$ z ramionami skierowanymi w dół oraz pozioma prosta określona wzorem $g\left(x\right)=1$.

W układzie współrzędnych narysowane są wykresy funkcji $f\left(x\right)=-x^2+2$ oraz $g\left(x\right)=1$.

ParabolaparabolaParabola i prosta przecinają się w punktach o współrzędnych $\left(-1, 1\right)$ i $\left(1, 1\right)$.

Rozwiazaniem  równania $-x^2+2=1$ są liczby   $x_1=-1,x_2=1$.

Korzystając z interpretacji graficznej,  określimy liczbę rozwiązań równania ${\left(x-1\right)}^2=\left|x\right|-3$.

RheWto0VqtSSe

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz pionową osią Y od minus czterech do trzech. Na płaszczyźnie narysowana jest parabola określona funkcją f o wierzchołku w punkcie $\left(1;0\right)$ z ramionami skierowanymi w górę. Parabola przecina oś Y w punkcie $\left(0;1\right)$. Na płaszczyźnie narysowany jest również wykres funkcji g o równaniu $g\left(x\right)=\left|x\right|-3$.

W układzie współrzędnych narysowane są wykresy funkcji $f\left(x\right)={\left(x-1\right)}^2$ oraz $g\left(x\right)=\left|x\right|-3$. Wykresy tych funkcji nie mają punktów wspólnych, zatem równanie ${\left(x-1\right)}^2=\left|x\right|-3$ jest sprzeczne. Nie posiada rozwiązania.

Rozwiążemy graficznie równanie ${\left(x-2\right)}^2-2=-x^2+2$.

W układzie współrzędnych narysujemy wykres funkcji $f\left(x\right)={\left(x-2\right)}^2-2$ oraz  wykres funkcji $g\left(x\right)=-x^2+2$.

Wykres funkcji $f\left(x\right)$ otrzymamy przez przesunięcie wykresu funkcji  $h\left(x\right)=x^2$ o wektor $\left[2, -2\right]$.

Współczynnik $a=1>0$ zatem ramiona paraboli skierowane są „do góry”, a wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie $\left(2, -2\right)$.

Wykres funkcji $g\left(x\right)$ otrzymamy przez przesunięcie wykresu funkcji  $h\left(x\right)=-x^2$ o wektor $\left[0, 2\right]$.

Współczynnik $a=-1<0$ zatem ramiona paraboli skierowane są „do dołu”, a wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie $\left(0, 2\right)$.

RPWm6iDrCyVHZ

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz pionową osią Y od minus czterech do czterech. Na płaszczyźnie narysowane są dwie parabole. Pierwsza określona funkcją f o wierzchołku w punkcie$\left(-2;-2\right)$ z ramionami skierowanymi w górę. Parabola ta przecina oś Y w punkcie $\left(0;2\right)$. Druga parabola określona jest funkcją g. Jej wierzchołek znajduje się w punkcie $\left(0;2\right)$, a jej ramiona skierowane są do dołu. Z rysunku wynika, że parabole mają dwa miejsca przecięcia.

Parabole $f\left(x\right)={\left(x-2\right)}^2-2$ i $g\left(x\right)=-x^2+2$ przecinają się w punktach $\left(0, 2\right)$ i $\left(2, -2\right)$.

Równanie ${\left(x-2\right)}^2-2=-x^2+2$ ma dwa rozwiązania:   $x=0$, $x=2$.

Znajdziemy taką wartość parametrów $m$ i $b$, dla których poniższy rysunek przedstawia interpretację graficzną równania $-x^2+mx-1=x+b$.

RSLs72QnONEzg

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz pionową osią Y od minus czterech do trzech. Na płaszczyźnie narysowane są parabola i prosta. Parabola określona jest funkcją f. Jej wierzchołek znajduje się w punkcie $\left(0;2\right)$, a jej ramiona skierowane są w dół. Jej lewe ramię przecina oś Y w punkcie $\left(0;-1\right)$. Wykres funkcji g, który jest ukośną prostą określoną wzorem $f\left(x\right)=x-1$. Prosta określona jest funkcją g i przechodzi przez punkty $\left(0;-1\right)$ oraz $\left(1;0\right)$. Z rysunku wynika, że oba wykresy funkcji mają dwa miejsca przecięcia.

W układzie współrzędnych narysowane są wykresy funkcji $f\left(x\right)=-x^2+mx-1$ oraz $g\left(x\right)=x+b$.

Współczynnik a paraboli jest równy $\left(-1\right)$, a wierzchołek znajduje się w punkcie o współrzędnych $\left(2, 3\right)$. Zatem odpowiadającą paraboli  funkcję możemy zapisać w postaci kanonicznej $f\left(x\right)=-{\left(x-2\right)}^2+3$.

Przekształcimy wzór funkcji $f$ do postaci ogólnej.

$f\left(x\right)=-{\left(x-2\right)}^2+3=-\left(x^2-4x+4\right)+3=-x^2+4x-4+3=$

$=-x^2+4x-1$

Zatem $m=1$.

Wykres funkcji liniowej $g\left(x\right)=x+b$ przecina oś $Y$ w punkcie o współrzędnych $\left(0, -1\right)$ zatem $b=-1$.

Na podstawie interpretacji graficznej równania $-{\left(x-2\right)}^2+3=\left|2x\right|$ określimy liczbę jego rozwiązań.

W układzie współrzędnych narysowane są wykresy funkcji

$f\left(x\right)=-{\left(x-2\right)}^2+3$ oraz $g\left(x\right)=\left|2x\right|$.

Wykres funkcji $f\left(x\right)$ otrzymamy przez przesunięcie wykresu funkcji  $h\left(x\right)=-x^2$ o wektor $\left[2, 3\right]$.

Współczynnik $a=-1<0$ zatem ramiona paraboli skierowane są „do dołu”, a wierzchołek znajduje się w punkcie $\left(2, 3\right)$.

Funkcję $g\left(x\right)=\left|2x\right|$ zapiszemy w postaci:

$g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}-2x& \mathrm{dla} x\ge 0\\ 2x& \mathrm{dla} x<0\end{array}\right.$

Zatem możemy przedstawić interpretację graficzna równania $-{\left(x-2\right)}^2+3=\left|2x\right|$.

R1rK8Ev9IyE1y

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz pionową osią Y od minus czterech do trzech. Na płaszczyźnie narysowane są parabola będąca wykresem funkcji f i wykres funkcji g. Wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie $\left(2;3\right)$, a jej ramiona skierowane są w dół. Jej lewe ramię przecina oś Y w punkcie $\left(0;-1\right)$. Wykres funkcji g ma kształt litery V. Funkcja g opisana jest wzorem $g\left(x\right)=\left|2x\right|$. Z rysunku wynika, że oba wykresy funkcji mają jedno miejsce przecięcia.

Wykresy funkcji $f\left(x\right)=-{\left(x-2\right)}^2+3$ oraz $g\left(x\right)=\left|2x\right|$ przecinają się w jednym punkcie o współrzędnych $\left(1, 2\right)$. Zatem równanie ma jedno rozwiązanie.

wykres funkcji kwadratowej $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$, dla $a\ne 0$