Przeczytaj
Zaprezentujemy kilka charakterystycznych przykładów zastosowań szeregu geometrycznego do rozwiązywania zadań geometrycznych.
Odcinek długości dzielimy na równe części i usuwamy środkowy odcinek otwarty. Sumę długości odcinków, które pozostały oznaczamy przez . Następnie każdy z tych odcinków ponownie dzielimy na równe części i usuwamy z każdego z nich środkowy odcinek otwarty, otrzymując cztery odcinki, których sumę długości oznaczamy przez . Konstrukcję tę powtarzamy nieskończenie wiele razy. Obliczymy sumę
Rozwiązanie
Zaznaczmy na osi liczbowej odcinek o długości : .
Wykonujemy pierwszy krok.
Podzielmy odcinek na równe części i usuńmy środkowy odcinek otwarty.
Otrzymujemy zbiór
.
Stąd otrzymujemy
.
Wykonajmy drugi krok.
Otrzymujemy zbiór
.
A więc mamy odcinki, a każdy ma długość , czyli .
Możemy dokonać następującej obserwacji:
W kroku powstaje dwa razy więcej odcinków niż powstało w kroku , ale każdy odcinek ma długości odcinka z poprzedniego kroku. Zatem ciąg jest ciągiem geometrycznym o pierwszym wyrazie i ilorazie .
Stąd suma szeregu geometrycznegosuma szeregu geometrycznego jest równa
.
W kwadrat o boku długości wpisano drugi kwadrat, którego wierzchołkami są środki boków danego kwadratu. W ten sam sposób w drugi kwadrat wpisano trzeci itd. Wyznaczymy sumę obwodów i sumę pól otrzymanego nieskończonego ciągu kwadratów.
Rozwiązanie
Jeżeli bok pierwszego kwadratu ma długość , to możemy obliczyć długość boku drugiego kwadratu korzystając z twierdzenia Pitagorasa
.
Zatem .
Zauważmy, że długość boku trzeciego kwadratu w stosunku do długości boku drugiego kwadratu ma się tak, jak długość boku drugiego kwadratu w stosunku do długości boku , czyli .
Zatem długości boków kolejnych kwadratów tworzą ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie i ilorazie .
Suma obwodów wszystkich kwadratów jest zatem równa
.
Suma pól wszystkich kwadratów jest zatem równa
.
W trójkąt równoboczny o boku długości wpisano koło. Następnie wpisano trzy koła styczne do wpisanego koła i boków danego trójkąta. Następnie wpisano trzy koła, z których każde jest styczne do jednego koła powstałego w poprzednim kroku i dwóch boków. Czynność tę powtórzono nieskończenie wiele razy. Obliczymy sumę pól wszystkich tak wpisanych kół.
Rozwiązanie
Promień pierwszego okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku długości ma długość .
Następne trzy okręgi styczne do okręgu i dwóch boków trójkąta, to w istocie okręgi wpisane w trójkąt równoboczny o boku długości . Zatem promień każdego z tych okręgów jest równy
.
Zauważamy, że promienie kolejnych okręgów stanowią promienia okręgu z poprzedniego kroku.
Zatem zapiszmy sumę pól kół
.
Zauważmy, że począwszy od drugiego składnika suma stanowi szereg geometryczny o ilorazie .
Zatem .
Na bokach , , trójkąta równobocznego o boku długości , wyznaczamy punkty odpowiednio: , , w taki sposób, że , gdzie jest pewną liczbą dodatnią mniejszą od . Na bokach , , trójkąta równobocznego wyznaczamy punkty odpowiednio: , , w taki sposób, że . W taki sposób postępujemy w nieskończoność. Obliczymy sumę obwodów tych wszystkich trójkątów , , , ...
Rozwiązanie
Najpierw ustalimy związek między bokami trójkąta i .
Przeanalizujmy trójkąt , , .
Korzystając z twierdzenia cosinusów, obliczamy długość odcinka :
Zatem otrzymujemy:
Zatem długości boków kolejnych trójkątów tworzą ciąg geometryczny o ilorazie .
Zatem suma długości obwodów jest równa: .
Słownik
jeżeli lub , to szereg geometryczny jest zbieżny.
Jeżeli , to .
Jeżeli , to