Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

W tym materiale, analizując wykresy wybranych funkcji elementarnych, określimy ich granice w nieskończoności a następnie wykorzystamy poznane wiadomości do obliczenia granic innych funkcji.

Niech: fx=x2n, Df= i n+.

Wykresy funkcji fx=x2n, gdzie Df= i n+, wyglądają następująco:

R1VXB8CXAc4v4

Widzimy, że gdy:

  1. argumenty x dążą do plus nieskończoności, to wartości funkcji też dążą do plus nieskończoności, co zapisujemy następująco:

    limx+x2n=+,
  1. argumenty x dążą do minus nieskończoności, to wartości funkcji dążą do plus nieskończoności, co zapisujemy następująco:

    limx-x2n=+.

Analizowane funkcje są parzyste, więc

limx-x2n=limx+x2n=+.

Wniosek

Jeżeli funkcja f jest postaci fx=x2n, gdzie xn+, to limx-x2n=limx+x2n=+.

Niech: fx=x2n+1, Df= i n+.

Wykresy funkcji fx=x2n+1, Df= i n+ wyglądają następująco:

RES97Yx945rcV

Na podstawie wykresów możemy stwierdzić, że dla każdego n+:

limx-x2n+1=-limx+x2n+1=+.

Analizowane funkcje są nieparzyste, więc

limx-x2n+1=-limx+x2n+1.

Wniosek

Jeżeli funkcja f jest postaci fx=x2n+1, gdzie xn+ to limx-x2n+1=-limx+x2n+1=+.

Niech: fx=ax, Df= i a+1.

Wykres funkcji fx=ax, Df= dla a1,+ wygląda następująco:

R6qGKPQ8GlnRm

Widzimy, że gdy:

  1. argumenty x dążą do plus nieskończoności, to wartości funkcji też dążą do plus nieskończoności, co zapisujemy następująco

    limx+ax=+,
  1. argumenty x dążą do minus nieskończoności, to wartości funkcji zbliżają się do osi X, czyli dążą do zera, co zapisujemy

    limx-ax=0.

Wykres funkcji fx=ax, Df= dla a0,1 wygląda następująco:

R1WqagInoppoI

Z wykresu odczytujemy:

limx-ax=+limx+ax=0.

Wniosek

Jeżeli funkcja f jest postaci fx=ax, gdzie x, to

  1. limx-ax=0limx+ax=+, gdy a1,,

  1. limx-ax=+limx+ax=0, gdy a0,1.

Niech fx=logax, Df=+, gdzie a>0a1.

Gdy a1,+ wykres funkcji fx=logax wygląda następująco:

R1b4MtIJqfONZ

Gdy argumenty x dążą do plus nieskończoności, wartości funkcji też zmierzają do plus nieskończoności: limx+logax=+.

Możemy również zauważyć, że wykres tej funkcji ma asymptotę pionową prawostronną x=0, ponieważ limx0+logax=-.

Wykres funkcji fx=logax, gdy a0,1:

R1YTovXlYvf4q

Widzimy, że gdy a0,1, to limx+logax=-.

Możemy również zauważyć, że wykres tej funkcji ma asymptotę pionową prawostronną x=0 ponieważ limx0+logax=.

Wniosek

Jeżeli funkcja f jest postaci fx=logax, gdzie x+, to

  1. limx+loga=+, gdy a1,,

  1. limx+logax=-, gdy a0,1.

Niech fx=1x, Df=0.

Wykres tej funkcji wygląda następująco:

RBM1MbXPm0oLi

Możemy podać granicę tej funkcji w plus i minus nieskończoności.

Widzimy, że zarówno przy x zmierzającym do plus jak i minus nieskończoności wykres zbliża się do osi X, czyli:

limx-1x=0limx+1x=0.

Możemy również zauważyć, że wykres tej funkcji ma asymptotę pionową obustronną x=0, bo istnieją granice niewłaściwegranica niewłaściwa funkcjiniewłaściwe:

limx0-1x=-limx0+1x=+.

Wniosek

Jeżeli funkcja f jest postaci fx=1x, gdzie x0, to

limx-1x=0limx+1x=0.

Niech fx=sinx, Df=

Narysujemy teraz wykres funkcji fx=sinx

R1AxvsUzxOpcY

Z wykresu tej funkcji wynika, że nie istnieje granica tej funkcji w plus i minus nieskończoności. Aby to wykazać skorzystamy z definicji Heinego granicy funkcji.

Załóżmy, że przedział c,+, gdzie c, zawiera się w dziedzinie funkcji f. Granicą funkcji f w plus nieskończoności jest liczba g, jeżeli dla każdego ciągu xn argumentów funkcji f rozbieżnego do + odpowiadający mu ciąg fxn wartości funkcji f jest zbieżny do liczby g.

Weźmy dwa ciągi rozbieżne do nieskończoności: xn oraz x'n określone wzorami:

xn=2πn oraz x'n=12π+2πn.

Ponieważ funkcja fx=sinx jest funkcją okresową o okresie zasadniczym T=2π, to sinx0+2πn=sinx0, więc:

limnsinxn=limnsin2πn=limn0=0limnsinxn'=limnsin12π+2πn=limnsin12π=1.

limnsinxnlimnsinx'n co oznacza, że nie istnieje granica limxsinx.

Podobnie można wykazać, że nie istnieje granica tej funkcji, gdy x-.

Przykład 1

Obliczymy granicegranica funkcjigranice funkcji fx=-2x4-3x3-6, gdy x dąży do + i gdy x dąży do -.

Rozwiązanie

Dziedziną funkcji określonej wzorem fx=-2x4-3x3-6 jest zbiór .

W przypadku, gdy liczymy granicę wielomianu, wyłączamy przed nawias zmienną w najwyższej potędze: -2x4-3x3-6=x4-2-3x-6x4.

Zauważmy, że granica funkcji zarówno przy x dążącym do +, jaki i przy x dążącym do -, zależy jedynie od granicy wyrażenia -2x4.

Ponadto:

limxx4=+

limx3x=0=limx6x4

limx-2-3x-6x4=-2-limx3x-limx6x4=-2.

Zatem:

limx-2x4-3x3-6=limxx4-2-3x-6x4=+·-2=-.

Analogicznie liczymy granicę przy x-.

Ponieważ

limx-x4=+

limx-3x=0=limx-6x4,

limx--2-3x-6x4=-2-limx-3x-limx-6x4=-2,

więc

limx--2x4-3x3-6=limx-x4-2-3x-6x4=+·-2=-.

Wniosek

Jeżeli f jest wielomianem stopnia parzystego zmiennej x, to zarówno przy x dążącym do + jak i przy x dążącym do - funkcja ta dąży do nieskończoności o takim znaku, jak znak współczynnika przy najwyższej potędze zmiennej x.

Przykład 2

Obliczymy granicę funkcji fx=-3x3+2x2+4x-2, gdy x dąży do + i gdy x dąży do -.

Rozwiązanie

Dziedziną funkcji określonej wzorem fx=-3x3+2x2+4x-2 jest zbiór .

W przypadku, gdy liczymy granicę wielomianu, wyłączamy przed nawias zmienną w najwyższej potędze: -3x3+2x2+4x-2=x3-3+2x+4x2-2x3.

Zauważmy, że granica funkcji zarówno przy x dążącym do + jak i przy x dążącym do - zależy jedynie od granicy wyrażenia -3x3.

Mamy:

limxx3=+

limx2x=limx4x2=limx2x3=0

zatem: limx-3+2x+4x2-2x3=-3+limx2x+limx4x2-limx2x3=-3

i stąd: limx-3x3+2x2+4x-2=limxx3-3+2x+4x2-2x3==+·-3=-.

Liczymy teraz granicę limx--3x3+2x2+4x-2.

Ponieważ:

limx-x3=-

limx-2x=limx-4x2=limx-2x3=0

limx--3+2x+4x2-2x3=-3+limx-2x+limx-4x2-limx-2x3=-3,

więc limx--3x3+2x2+4x-2=limx-x3-3+2x+4x2-2x3==-·-3=+.

Wniosek

Gdy x dąży do +, to wielomian stopnia nieparzystego zmiennej x dąży do nieskończoności z takim znakiem, jaki ma współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej x, a gdy x dąży do -, to wielomian dąży do nieskończoności ze znakiem przeciwnym do znaku współczynnika przy najwyższej potędze zmiennej x.

Przykład 3

Obliczymy granicę limxx2+1x2-4.

Rozwiązanie

Dziedziną funkcji określonej wzorem fx=x2+1x2-4 jest zbiór -2,2 gdyż  x2-4=x-2x+2.

Dla x dążącego do + funkcja fx=x2+1 dąży do + i funkcja fx=x2-4 też zmierza do +, zatem otrzymujemy symbol nieoznaczony.

W przypadku, gdy liczymy granicę funkcji wymiernej, wyłączamy przed nawias, w liczniku i mianowniku, zmienną w najwyższej potędze, w której występuje ona  w mianowniku – w tym przypadku x2.

Wyrażenie x2+1x2-4 zapisujemy zatem następująco:

x2+1x2-4=x2x2x2+1x2x2x2x2-4x2=x2x2+1x2x2x2-4x2=1+1x21-4x2.

Ponieważ

limx1x2=0, limx4x2=0limx1=1,to  

limxx2+1x2-4=limxx2x2+1x2x2x2-4x2=limx1+1x21-4x2=11=1.

Zauważmy, że dla x dążącego do - nasze rozumowanie dotyczące granicy funkcji f się powtórzy. Taką samą sytuację będziemy mieli w każdym przypadku, gdy stopień licznika i stopień mianownika funkcji wymiernej będą równe.

Wniosek

Jeśli stopnie licznika i mianownika funkcji wymiernej są równe, to granica tej funkcji, gdy x dąży do + i gdy x dąży do -, jest równa ilorazowi współczynników przy zmiennych w najwyższej potędze.

Przykład 4

Obliczymy granicę funkcji fx=3xx2+2-x2+1 w nieskończoności.

Rozwiązanie

Liczymy następującą granicęgranica funkcjigranicę limx3xx2+2-x2+1.

Ponieważ obliczenie na tym etapie granicy jest niemożliwe, bo otrzymujemy wyrażenie nieoznaczone, mnożymy i dzielimy funkcję fx przez x2+2+x2+1 i stosujemy wzór a-ba+b=a2-b2.

Mamy zatem:

x2+2-x2+1·x2+2+x2+1x2+2+x2+1=x2+22-x2+12x2+2+x2+1=

=x2+2-x2-1x2+2+x2+1=1x2+2+x2+1

i stąd:

limx3xx2+2-x2+1=limx3x1x2+2+x2+1=limx3xx2+2+x2+1.

Ponownie otrzymaliśmy symbol nieoznaczony, dlatego wyrażenie przekształcamy dalej i wyłączamy x z licznika i mianownika:

limxxx·3x2x2+2x2+x2x2+1x2=limx3x2x2+2x2+x2x2+1x2=

=limx31+2x2+1+1x2=31+1=32.

Słownik

granica niewłaściwa funkcji
granica niewłaściwa funkcji

funkcja f ma dla x dążącego do + granicę niewłaściwą +, jeżeli dla dowolnego ciągu xn argumentów funkcji f rozbieżnego do + odpowiadający mu ciąg fxn wartości funkcji f jest rozbieżny do +, co zapisujemy następująco limx+fx=+

granica funkcji
granica funkcji

granicą funkcji f dla x dążącego do + jest liczba g, jeżeli dla każdego ciągu xn argumentów funkcji f rozbieżnego do + odpowiadający mu ciąg fxn wartości funkcji f jest zbieżny do liczby g