Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.

Zauważmy, że: $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{5x^2-1}{2x^2+5}=\left\{\frac{+\infty }{+\infty }\right\}$.

Jeśli $x$ dąży do $+\infty$, to $f\left(x\right)=5x^2-1$ dąży do $+\infty$. Analogicznie: $f\left(x\right)=2x^2+5$ dąży do $+\infty$.

Uzyskaliśmy symbol nieoznaczony, dlatego licznik i mianownik należy podzielić przez najwyższą potęgę mianownika – w tym przypadku przez $x^2$.

$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{5x^2-1}{2x^2+5}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\frac{5x^2}{x^2}-\frac{1}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2}+\frac{5}{x^2}}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{5-\frac{1}{x^2}}{2+\frac{5}{x^2}}=\frac{5}{2}$.

Rozważmy dwa ciągi rozbieżne do nieskończoności określone wzorami:

$x_n=2\pi n$ oraz $x{\text{'}}_n=\frac{1}{2}\pi +2\pi n$.

Ponieważ funkcja $\cos x$ jest funkcją okresową o okresie zasadniczym $T=2\pi$, to $\left(x_0+2\pi n\right)=\cos x_0$, zatem:

$\underset{n\to \infty }{\lim }\cos x_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\cos 2\pi n=\underset{n\to \infty }{\lim }1=1$,

$\underset{n\to \infty }{\lim }\cos x{\text{'}}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\cos \left(\frac{1}{2}\pi +2\pi n\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }\cos \frac{1}{2}\pi =0$.

$\underset{n\to \infty }{\lim }\cos x_n\ne \underset{n\to \infty }{\lim }\cos x{\text{'}}_n$, co oznacza, że nie istnieje granica $\underset{x\to \infty }{\lim }\cos x$.