Przeczytaj
Z własności potęgowania wynika, że jeśli jest liczbą dodatnią, różną od i jest liczbą rzeczywistą, to w sposób jednoznaczny możemy obliczyć potęgę , czyli znaleźć taką liczbę , że .
Zastanowimy się teraz, czy można w sposób jednoznaczny określić wykładnik potęgi , gdy znana jest podstawa i wartość potęgi.
W niektórych przypadkach odpowiedź na to pytanie jest łatwa.
Na przykład jeśli , to od razu odpowiemy, że .
Podobnie, jeśli , to .
Znacznie trudniej jest odgadnąć liczbę , gdy liczba ta nie jest liczbą całkowitą.
Na przykład jeśli , czyli gdy .
Sytuacja się jeszcze bardziej komplikuje, gdy jest liczbą niewymierną.
Na przykład, jeśli .
Określenie przybliżonej wartości takiego wykładnika ułatwią nam logarytmy.
Logarytmowanie jest zatem działaniem polegającym na obliczaniu wykładnika potęgi, gdy dana jest podstawa oraz wartość tej potęgi.
Wykładnik spełniający równanie nazywamy logarytmem liczby przy podstawie .
Wykładnik spełniający równanie nazywamy logarytmem liczby przy podstawie .
Logarytmem liczby dodatniej przy podstawie dodatniej i różnej od jedności, nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść , aby otrzymać .
LogarytmLogarytm oznaczamy symbolem .
Liczbę nazywamy podstawą logarytmu
, liczbę – liczbą logarytmowaną
.
Zapis oznacza, że .
Szukanie rozwiązania równania , gdy , , , jest więc szukaniem logarytmu liczby przy podstawie .
Rozwiązaniem równania jest , zatem .
Rozwiązaniem równania jest , zatem .
Rozwiązaniem równania jest , zatem .
Rozwiązaniem równania jest , zatem .
Zapiszemy potęgowanie za pomocą logarytmowania.
możemy zapisać jako
możemy zapisać jako
możemy zapisać jako
Każda liczba dodatnia ma dokładnie jeden logarytmlogarytm przy danej podstawie dodatniej i różnej od . Dla liczb ujemnych i zera logarytmów nie określamy.
Podamy teraz przykłady wyznaczania wartości logarytmów, korzystając z definicji.
Obliczamy .
Oznaczamy:
Stąd , czyli .
Odpowiedź:
Obliczamy .
Oznaczamy:
Stąd , czyli .
Odpowiedź:
Obliczamy .
Oznaczamy:
.
Stąd , czyli .
Odpowiedź:
Obliczamy .
Oznaczamy:
.
Stąd , czyli .
Odpowiedź:
Zapiszemy w najprostszej postaci wyrażenie .
Obliczamy najpierw każdy z logarytmów.
, bo
, bo
, bo
Wyznaczamy teraz wartość danego wyrażenia
Słownik
liczby dodatniej przy podstawie dodatniej i różnej od jedności, to wykładnik potęgi, do której należy podnieść , aby otrzymać