Przeczytaj

Dane są dwa niepuste zbiory $X$ i $Y$ .

Funkcją $f$ ze zbioru $X$ w zbiór $Y$ nazywamy przyporządkowanie, które każdemu elementowi zbioru $X$ przyporządkowuje dokładnie jeden element zbioru $Y$ .

Symbolicznie oznaczamy $f : X \to Y$ i czytamy „funkcja $f$ odwzorowuje zbiór $X$ w zbiór $Y$ ”.

Zbiór $X$ nazywamy dziedziną funkcji, a jego elementy argumentami funkcji $f$

Przyjrzyjmy się sytuacjom z życia codziennego, które można opisać za pomocą funkcji:

każdemu obywatelowi Polski przyporządkowany jest numer PESEL,
każdemu uczniowi w klasie przyporządkowany jest numer w dzienniku lekcyjnym,
każdej książce w bibliotece przyporządkowany jest numer ewidencyjny,
każdemu towarowi na półce przyporządkowana jest jego cena sprzedaży,
godzinie $6 : 00$ każdego dnia danego miesiąca przyporządkowana jest temperatura powietrza w danej chwili w danym miejscu.

Funkcją jest też zależność długości pokonanej drogi od czasu trwania ruchu.

Podobnych sytuacji można odnaleźć bardzo dużo, w tym materiale będziemy je wspólnie analizowali i interpretowaliinterpretować daneinterpretowali. Ważne jest, aby mieć na uwadze fakt, że nie wszystkie sytuacje z życia codziennego można interpretować jako funkcje w rozumieniu matematycznym. Oto kilka przykładów.

Pralka i jej programy do prania.
Każdej pralce przyporządkowanych jest kilka programów, np.: do prania firanek, do prania tkanin delikatnych, do bawełny itp.

Użytkownik komputera i adres jego poczty e–mailowej.
Nie każdy użytkownik komputera ma adres e–mailowy, a niektórzy użytkownicy posiadają więcej niż jeden taki adres.

Nauczyciel w szkole i funkcje, które pełni.
Okazuje się, że zazwyczaj każdy nauczyciel w szkole pełni więcej niż jedną funkcję, ponieważ oprócz tego, że jest nauczycielem konkretnego przedmiotu, np.: pełni funkcję wychowawcy klasy, opiekuna samorządu szkolnego, przewodniczącego zespołu przedmiotowego nauczycieli, opiekuna koła wolontariatu itp.

Jednym ze sposobów określania funkcji jest wykres. To przejrzysty i klarowny sposób przedstawienia i uporządkowania pewnych zależności. Przenalizujemy je na przykładach.

Przykład 1

Pani Natalia dojeżdża do pracy autobusem i tramwajem. Wykres przedstawia, jak zmieniała się długość drogi przebyta przez nią (wyrażona w kilometrach) w zależności od czasu wyrażonego w minutach.

RieelXbfowDK3

Pani Natalia wyszła z domu o godzinie $6 : 45$ , pracę rozpoczynała o $7 : 30$ , ale potrzebowała $10 \min$ , aby przygotować się do pracy. Najpierw pieszo dotarła do przystanku, jechała autobusem $6$ minut, później wysiadła i z tego samego przystanku pojechała tramwajem. Ostatni odcinek drogi do pracy pokonała pieszo.

Na podstawie wykresu odpowiedz na pytania:

Ile czasu Pani Natalia czekała na autobus, a ile na tramwaj?

Jaką odległość Pani Natalia pokonała autobusem, a jaką tramwajem?

Miejsce pracy Pani Natalii znajduje się w odległości $9, 25 km$ od domu. Jaką część drogi do pracy Pani Natalia pokonała pieszo?

Z jaką średnią prędkością jechał autobus, a z jaką tramwaj?

Czy Pani Natalia zdążyła przygotować się do pracy i rozpocząć ją punktualnie?

Rozwiązanie

Ad 1)
Pani Natalia czekała na autobus $2$ minuty oraz $4$ minuty na tramwaj.
Uzasadnienie: odnajdujemy na wykresie fragmenty funkcji stałej: w czasie od $10$ do $12$ minuty Pani Natalia oczekiwała na autobus oraz w czasie od $18$ do $22$ minuty, Pani Natalia oczekiwała na tramwaj.

Ad 2)
Pani Natalia pokonała autobusem $3, 5 km$ , a tramwajem $5 km$ .

Ad 3)
Pani Natalia pokonała pieszo $750 m$ .

Ad 4)
Średnia prędkość autobusu wynosiła $V_{A} = 35 \frac{km}{h}$ , a średnia prędkość, z jaką poruszał się tramwaj: $V_{T} = 60 \frac{km}{h}$ .
Uzasadnienie $V_{ś r} = \frac{s}{t}$ , zatem: $V_{A} = \frac{3, 5 km}{\frac{1}{10} h} = 35 \frac{km}{h}$ .
$6 \min = \frac{6}{60} h = \frac{1}{10} h$ ,
$V_{T} = \frac{5 km}{\frac{1}{12} h} = 60 \frac{km}{h}$ ,
$5 \min = \frac{5}{60} h = \frac{1}{12} h$ .

Ad 5)
Tak, pani Natalia zdążyła przygotować się do pracy i rozpocząć ją punktualnie.
Uzasadnienie: podróż zajęła $30 \min$ , $10 \min$ przygotowanie, więc Pani Natalii zostało $5 \min$ wolnego czasu.

Przykład 2

Wykresy funkcji bardzo często stosowane są w meteorologii. Przeanalizuj wykres zmian temperatury powietrza w pewnej miejscowości w marcu i odpowiedz na pytania zamieszczone pod wykresem.

ReVNpES0SuYnZ

Ilustracja interaktywna przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią podpisaną: dni, na której wartości sięgają od jeden do trzydzieści jeden z podziałką co trzy i pionową osią podpisaną: temperatura, gdzie jednostką są stopnie Celsjusza, a wartości sięgają od minus 5 do 10 z podziałką co pięć. W układzie zaznaczono wykres, który ma swój początek w punkcie nawias jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do punktu nawias dwa średnik pięć zamknięcie nawiasu, dalej biegnie do punktu nawias cztery średnik cztery zamknięcie nawiasu, skąd biegnie ukośnie do punktu nawias pięć średnik trzy zamknięcie nawiasu. Dalej wykres biegnie ukośnie do punktu nawias siedem średnik minus i dalej ukośnie do punktu nawias dziewięć średnik minus cztery. Dalej biegnie do punktu nawias jedenaście średnik cztery zamknięcie nawiasu i dalej do punktu nawias dwanaście średnik pięć zamknięcie nawiasu. Z tego punktu wykres biegnie ukośnie do punktu nawias trzynaście średnik dziewięć. Dale wykres biegnie do punktu nawias czternaście średnik pięć zamknięcie nawiasu i dalej biegnie do punktu nawias szesnaście średnik zero zamknięcie nawiasu. Dalej biegnie ukośnie do punktu nawias siedemnaście średnik jeden zamknięcie nawiasu, stąd biegnie poziomo do punktu nawias dwadzieścia średnik jeden zamknięcie nawiasu. Dalej biegnie znów ukośnie do punktu nawias dwadzieścia dwa średnik trzy zamknięcie nawiasu, tu znów biegnie poziomo do punktu nawias dwadzieścia cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu. Dalej biegnie ukośnie do punktu nawias dwadzieścia sześć średnik pięć zamknięcie nawiasu, stąd dalej biegnie ukośnie do punktu nawias dwadzieścia siedem średnik dwa przecinek dwadzieścia pięć setnych zamknięcie nawiasu. Dalej wykres biegnie ukośnie do punktu nawias dwadzieścia osiem średnik jeden. Z tego punktu wykres biegnie ukośnie do punktu nawias dwadzieścia dziewięć średnik trzy przeciek siedemdziesiąt pięć setnych zamknięcie nawiasu. Dalej wykres biegnie ukośnie do punktu nawias trzydzieści jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu. Kursor wskazuje na wykresie dzień oraz wartość temperatury w zależności od jego położenia.

Na podstawie wykresu odpowiedz na pytania:

Jaka była najwyższa a jaka najniższa temperatura powietrza?

W jakim przedziale czasu temperatura wzrastała?

Jaka temperatura była ostatniego marca?

W jakim okresie temperatura była niedodatnia?

W jakim okresie temperatura wynosiła co najmniej $5 ° C$ ?

Rozwiązanie

Ad 1)
Najniższa temperatura wyniosła: $- 4 ° C$ , zaś najwyższa: $9 ° C$ .
Uzasadnienie: to pytanie dotyczy wartości najmniejszej i największej funkcji.

Ad 2)
Temperatura wzrastała: od $1$ do $2$ marca, od $9$ do $13$ marca, od $16$ do $26$ marca, od $28$ do $29$ marca.
Uzasadnienie: to pytanie o zbiór argumentów, dla których funkcja jest rosnąca.
Symboliczny zapis $f ↗ ⟨1, 2⟩$ ; $⟨9, 13⟩$ ; $⟨16, 26⟩$ ; $⟨28, 29⟩$ .

Ad 3)
Ostatniego dnia marca temperatura wynosiła $3 ° C$ .
Uzasadnienie: to pytanie o wartość funkcji dla argumentu $31$ .

Ad 4)
Temperatura była niedodatnia od $6$ do $10$ marca.
Uzasadnienie: to pytanie o zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości niedodatnie.

Ad 5)
Temperatura wynosiła co najmniej $5 ° C$ : $2$ marca, od $12$ do $14$ marca, $26$ marca.
Uzasadnienie: to pytanie o zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartość $5$ lub więcej.
Symboliczny zapis: $f (x) \geq 5$ dla $x \in ⟨12, 14⟩ \cup \{2, 26\}$ .

Przykład 3

Funkcje mają zastosowanie w chemii przy badaniu własności substancji. Poniższy wykres przedstawia zależność masy (w g) rozpuszczonego w wodzie pierwiastka od temperatury w $[° C]$ .

R1Ur6dwpAFn0y

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią od zera do stu stopni Celsjusza z podziałką co dziesięć i pionową osią g od zera do 500 z podziałką co pięćdziesiąt. W układzie zaznaczono wykres, który rozpoczyna się w punkcie nawias zero średnik pięćdziesiąt i biegnie po łuku przez punkty: nawias siedemdziesiąt średnik dwieście zamknięcie nawiasu, nawias osiemdziesiąt średnik dwieście pięćdziesiąt, nawias dziewięćdziesiąt średnik trzysta zamknięcie nawiasu i wychodzi poza płaszczyznę układu.

Na podstawie wykresu odpowiedz na pytania:

Czy $150 g$ pierwiastka można rozpuścić w $100 g$ wody po ogrzaniu jej do $60 ° C$ ?

Do jakiej temperatury trzeba ogrzać $100 g$ wody, aby rozpuścić w niej $300 g$ pierwiastka?

Ile gram pierwiastka rozpuszcza się w $65 g$ wody po podgrzaniu jej do $70 ° C$ ?

Rozwiązanie

Ad 1)
$150 g$ pierwiastka można rozpuścić w $100 g$ wody po ogrzaniu jej do $60 ° C$ .

Ad 2)
Wodę należy ogrzać do temperaury $90 ° C$ .

Ad 3)
W $65 g$ wody, po podgrzaniu jej do $70 ° C$ , można rozpuścić $130 g$ pierwiastka.
Uzasadnienie:
Nich $x$ będzie szukaną wielkością. Tworzymy proporcję $200 g$ pierwiastka – $100 g$ wody (podgrzanej do $70 ° C$ )
$x - 65$
Zatem $x = \frac{200 \cdot 65}{100} = 130 (g)$ .

Przykład 4

Na poniższych wykresach przedstawiono notowania średnich kursów euro i dolara amerykańskiego. Dane odczytano $02.03.2021$ r.

R18XRefYq82QI

Ilustracja przedstawia wykres kursów średnich euro w ostatnich 31 dniach. Na ilustracji jest układ współrzędnych z poziomą osią od dnia pierwszego lutego do dnia 2 marca z podziałką co cztery dni, na pionowej osi znajdują się średnie kursy euro w złotówkach od 4,4700 do 4,5500 z podziałką co jedną setną i dokładnością do czterech miejsc po przecinku. Wykres rozpoczyna się na pionowej osi przy wartości 4,5400, dalej wykres biegnie ukośnie do punktu leżącego pomiędzy pionową osią a pionową linią przerywaną z datą drugiego lutego, wartość, odcięta tego punktu ma wartość pomiędzy 4,5100 a 4,2500, wykres biegnie dalej ukośnie i w dniu drugiego lutego osiągnięta zostaje wartość niewiele większa od 4,5000, dalej wykres również biegnie ukośnie do punktu, leżącego pomiędzy datą drugiego lutego i szóstego lutego, wartość euro w tym dniu wyniosła 4,4900, dalej wykres biegnie z znów ukośnie by przed dniem szóstego lutego osiągną wartość niewiele mniejszą od 4,5000 i a następnie również przed datą szóstego lutego podrosnąć, nie przekraczając wartości cztery i pięć dziesięciotysięcznych. Dalej wykres biegnie poziomo i po dacie szóstego lutego zaczyna bieg ukośnie do punktu znajdującego się pomiędzy datą szóstego lutego i dziesiątego lutego i pomiędzy wartością euro 4,4800 i 4,4900, jeszcze przed dziesiątym lutym kurs euro spada poniżej 4,4800 by dziesiątego lutego osiągnąć wartość cztery i czterdzieści osiem dziesięciotysięcznych. Zaraz po dziesiątym lutym wartość średnia euro wzrosła do wartości powyżej 4,5000 następnie wzrosła jeszcze trochę i ustabilizowała się aż do dnia czternastego lutego, dalej wartość spadła do niewiele większej od 4,4800, by w okolicach szesnastego lutego osiągnąć wartość 4,4900, jeszcze przed osiemnastym lutym średnik kurs euro wyniósł 4,5000, a w dniu osiemnastego lutego wynosił mniej niż cztery i czterdzieści dziewięć dziesięciotysięcznych. Następnie wartość podniosła się do 4,4900 i wykres niemal do dnia dwudziestego drugiego lutego przebiegał poziomo, następnie zaczął rosnąć i w dniu dwudziestego drugiego lutego wartość euro wyniosła niewiele mniej niż 4,5000, dalej wartość również rosła, w okolicach dwudziestego trzeciego lutego wyniosła wartość 4,5100 w okolicach dnia dwudziestego czwartego lutego osiągnęła wartość równą niemal 4,5200, następnie jeszcze przed 26 lutego wartość zmalała do wartości około 4,5150, by w dniu dwudziestego szóstego lutego osiągnąć wartość bliską cztery i pięćdziesiąt dwie setne. Dalej wykres biegł poziomo, do dnia dwudziestego ósmego lutego, następnie wartość euro zaczęła rosnąć, przed drugim marca miała wartość większą od 4,5200, a drugiego marca wartość ta wynosiła więcej niż cztery i pięćdziesiąt trzy dziesięciotysięczne. Linia trendu jest ukośna, przechodzi przez punkty nawias drugi luty średnik cztery i pięć dziesięciotysięcznych zamknięcie nawiasu i nawias dwudziesty szósty luty, średnik cztery i pięćdziesiąt jeden dziesięciotysięcznych zamknięcie nawiasu.

R1GdX8K90kRQP

Ilustracja przedstawia wykres kursów średnich dolara w ostatnich 31 dniach. Na ilustracji jest układ współrzędnych z poziomą osią od dnia pierwszego lutego do dnia 2 marca z podziałką co cztery dni, na pionowej osi znajdują się średnie kursy dolara w złotówkach od 3,6900 do 3,7900 z podziałką co jedną setną i dokładnością do czterech miejsc po przecinku. Wykres rozpoczyna się od pionowej osi pomiędzy wartością dolara w złotówkach równą 3,4700 a 3,7525, następnie jeszcze przed drugim lutym wartość ta spada do niewiele większej od 3, 7275, w dniu drugiego lutego wartość dolara jest niewiele większa od 3,7275, dalej wartość dolara rośnie, około czwartego lutego osiąga wartość 3, 7525, a jeszcze przed szóstym lutym przekracza tą wartość, następnie biegnie poziomo i w okolicach siódmego lutego zaczyna spadać , około ósmego lutego ma już wartość niewiele większą od 3,7275 i dalej spada, jeszcze przed dziesiątym lutym osiąga wartość mniejszą niż 3,7025 a dziesiątego lutego ma wartość niewiele większą. Dalej wartość dolara zaczyna rosnąć, około jedenastego lutego ma wartość niewiele mniejszą od 3,7150 a dwunastego lutego ma już wartość większą od 3,7150 i do dania czternastego lutego wartość ta się nie zmienia, następnie wartość dolara spada i w dniach piętnastego i szesnastego lutego ma wartość niewiele większą od 3,6900, następnie wartość dolara rośnie i przed osiemnastym lutym osiąga wartość 3,7275, by w dniu osiemnastego lutego mieć wartość trzy i siedemset pięćdziesiąt jeden dziesięciotysięcznych. Po osiemnastym lutym wartość dolara dalej spadała aż do wartości mniejszej od 3,7025, następni wykres biegł poziomo, by przed dwudziestym drugim lutym zacząć rosnąć. W dniu dwudziestego drugiego lutego wartość dolara wynosiła 3,7150, następnie dwudziestego trzeciego lutego niewiele się zmniejszyła, dzień później znów wróciła do wartości 3,7150 by jeszcze przed dwudziestym szóstym lutym osiągnąć wartość niewiele większą od 3,6900, dalej wartość dolara rosła i już dwudziestego szóstego lutego osiągnęła wartość niewiele mniejszą od 3,7275, do dnia dwudziestego ósmego lutego wartość dolara nie zmieniała się i dalej zaczęła rosnąć, około pierwszego marca wartość dolara przekroczyła 3,7525 a drugiego marca miała już wartość bliską 3,7775, linia trendu tego wykresu jest pozioma i znajduje się pomiędzy wartością 3,7510 i trzy i siedemdziesiąt dwa tysiące siedemdziesiąt pięć dziesięciotysięcznych.

Na postawie wykresów odpowiedz na pytania:

Którego dnia odnotowano najwyższy spadek cen każdej z walut?
W jakich dniach kurs euro nie malał w okresie dłuższym niż tydzień?

Na podstawie wykresów rozwiąż problem:
Maciej i jego kolega Karol zainwestowali oszczędności w walutę. Obaj $3$ lutego mieli taką ilość dolarów amerykańskich, która równała się $10000 zł$ . Maciej potrzebował pilnie większej kwoty pieniędzy. Podjął ryzykowną decyzję. Zdecydował się tego dnia sprzedać dolary i tego samego dnia za całą kwotę kupić euro. Obaj koledzy $2$ marca wymienili swoje oszczędności na złotówki. Który z nich zarobił więcej i o ile procent?

Wykonując obliczenia liczbę $EUR$ oraz $USD$ , zaokrąglij do części całkowitych, a kursy walut z dokładnością do części setnych.

Rozwiązanie

Ad 1)

Najwyższy spadek ceny dolara odnotowano $9$ lutego, zaś euro – $1$ lutego.
Kurs euro nie malał w okresie dłuższym niż tydzień od $18$ do $24$ lutego.

Ad 2)

Maciej:
$3$ lutego – $1 EUR$ – $4, 49 zł$
$10000 : 4, 49 = 2227 (EUR)$
$2$ marca – $1 EUR$ – $4, 53 zł$
$2227 \cdot 4, 53 zł = 10088, 31 zł$
Zatem Maciej zarobił $88, 31 zł$ .
Karol:
$3$ lutego – $1 USD$ – $3, 74 zł$
$10000 : 3, 74 = 2674 (USD)$
$2$ marca – $1 USD$ – $3, 78 zł$
$2674 \cdot 3, 78 zł = 10107, 72 zł$
Zatem Karol zarobił $107, 72 zł$ .

$107, 72 zł - 88, 31 zł = 19, 41 zł$ .

Karol zarobił więcej o $19, 41 zł$ , czyli o około $22 %$ .

Słownik

interpretować dane

wykorzystać pojęcia, zapisy i własności matematyczne do analizy zjawisk, procesów i odpowiedzi na zadane pytania lub problemy

Wprowadzenie

Film edukacyjny

Słownik