Przeczytaj
Na początek przypomnienie definicji ciągu arytmetycznego.
Będziemy przy tym zakładać, że dany ciąg, np. ciąg , jest określony dla i .
Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby , zwanej różnicą ciągu.
Na podstawie definicji ciągu arytmetycznego wnioskujemy, że różnica między kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego jest stała.
Sprawdzimy, czy ciąg o kolejnych wyrazach: , , , jest ciągiem arytmetycznym.
Obliczamy różnice między kolejnymi wyrazami ciągu.
Nie wszystkie różnice są równe , zatem dany ciąg nie jest ciągiem arytmetycznym.
Sprawdzimy, czy ciąg czterowyrazowy o kolejnych wyrazach: , , , jest ciągiem arytmetycznym.
W każdym przypadku różnica między kolejnymi wyrazami jest taka sama, równa , zatem jest to ciąg arytmetycznyciąg arytmetyczny.
Aby zbadać, czy ciąg jest arytmetyczny, należy określić, czy różnica między każdymi kolejnymi wyrazami ciągu jest stała.
Zauważmy, że każdy ciąg stały jest ciągiem arytmetycznym.
Zbadamy, czy ciąg określony wzorem jest ciągiem arytmetycznym.
Obliczamy cztery początkowe wyrazy ciągu.
Wyznaczamy różnice między kolejnymi wyrazami ciągu.
Różnica między kolejnymi wyrazami ciągu jest w każdym przypadku taka sama, równa . Wydaje się zatem, że jest to ciąg arytmetyczny. Jednak jest to ciąg o nieskończenie wielu wyrazach, zatem nie możemy wyznaczyć i porównać wszystkich różnic.
Zatem wyznaczymy .
Dla każdej liczby naturalnej wyznaczona różnica jest stała, nie zależy od . Zatem ciąg jest ciągiem arytmetycznym. Możemy też stwierdzić, że różnica ciągu jest równa .
Pokażemy teraz, że ciąg określony wzorem nie jest ciągiem arytmetycznym.
Podobnie, jak w poprzednim przykładzie, zbadamy różnicę między kolejnymi wyrazami ciągu.
Sprowadzamy otrzymane wyrażenie do najprostszej postaci, wykonując odejmowanie i redukując wyrazy podobne.
Wyznaczona różnica zależy od , zatem nie jest to ciąg arytmetycznyciąg arytmetyczny.
Funkcja określona jest wzorem , gdzie .
Sprawdzimy, że ciąg taki, że dla i jest ciągiem arytmetycznym.
Badamy różnicę .
Wykonujemy wskazane działania.
Redukujemy wyrazy podobne.
Dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej badana różnica jest stała, nie zależy od , zatem ciąg jest ciągiem arytmetycznym.
Wiadomo, że ciąg jest ciągiem arytmetycznym. Zbadamy, czy ciąg określony wzorem jest też ciągiem arytmetycznym.
Ponieważ ciąg jest ciągiem arytmetycznym, zatem , gdzie jest pewną liczbą rzeczywistą (jest to różnica ciągu).
Zatem
Wykazaliśmy, że różnica jest stała, nie zależy od . Dowodzi to, że ciąg jest ciągiem arytmetycznym.
Słownik
ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby , zwanej różnicą ciągu