Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Na początek przypomnienie definicji ciągu arytmetycznego.

Będziemy przy tym zakładać, że dany ciąg, np. ciąg an, jest określony dla n1n.

Ciąg arytmetyczny
Definicja: Ciąg arytmetyczny

Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby r, zwanej różnicą ciągu.

Na podstawie definicji ciągu arytmetycznego wnioskujemy, że różnica między kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego jest stała.

Przykład 1

Sprawdzimy, czy ciąg o kolejnych wyrazach: 3, 8, 13, 19 jest ciągiem arytmetycznym.

Obliczamy różnice między kolejnymi wyrazami ciągu.

8-3=5

13-8=5

19-13=65

Nie wszystkie różnice są równe 5, zatem dany ciąg nie jest ciągiem arytmetycznym.

Przykład 2

Sprawdzimy, czy ciąg czterowyrazowy o kolejnych wyrazach: 10, 8, 6, 4 jest ciągiem arytmetycznym.

8-10=-2

6-8=-2

4-6=-2

W każdym przypadku różnica między kolejnymi wyrazami jest taka sama, równa -2, zatem jest to ciąg arytmetycznyciąg arytmetycznyciąg arytmetyczny.

Ważne!

Aby zbadać, czy ciąg an jest arytmetyczny, należy określić, czy różnica między każdymi kolejnymi wyrazami ciągu an+1-an jest stała.

Zauważmy, że każdy ciąg stały jest ciągiem arytmetycznym.

Przykład 3

Zbadamy, czy ciąg an określony wzorem an=3n-1 jest ciągiem arytmetycznym.

Obliczamy cztery początkowe wyrazy ciągu.

a1=2

a2=5

a3=8

a4=11

Wyznaczamy różnice między kolejnymi wyrazami ciągu.

a2-a1=5-2=3

a3-a2=8-5=3

a4-a3=11-8=3

Różnica między kolejnymi wyrazami ciągu jest w każdym przypadku taka sama, równa 3. Wydaje się zatem, że jest to ciąg arytmetyczny. Jednak jest to ciąg o nieskończenie wielu wyrazach, zatem nie możemy wyznaczyć i porównać wszystkich różnic.

Zatem wyznaczymy an+1-an.

an+1-an=3n+1-1-3n+1

an+1-an=3n+3-1-3n+1

an+1-an=3

Dla każdej liczby naturalnej n1 wyznaczona różnica jest stała, nie zależy od n. Zatem ciąg an jest ciągiem arytmetycznym. Możemy też stwierdzić, że różnica ciągu jest równa 3.

Przykład 4

Pokażemy teraz, że ciąg cn określony wzorem cn=n-1n+1 nie jest ciągiem arytmetycznym.

Podobnie, jak w poprzednim przykładzie, zbadamy różnicę między kolejnymi wyrazami ciągu.

cn+1-cn=nn+2-n-1n+1

Sprowadzamy otrzymane wyrażenie do najprostszej postaci, wykonując odejmowanie i redukując wyrazy podobne.

cn+1-cn=n2+n-n2+n-2n+2n+2n+1

cn+1-cn=2n+2n+1

Wyznaczona różnica zależy od n, zatem nie jest to ciąg arytmetycznyciąg arytmetycznyciąg arytmetyczny.

Przykład 5

Funkcja f określona jest wzorem fx=ax2+bx+c, gdzie a0.

Sprawdzimy, że ciąg an taki, że an=fn+1-fn dla n1n jest ciągiem arytmetycznym.

Badamy różnicę an+1-an.

an+1-an= fn+2-fn+1-fn+1+fn=

= fn+2-2fn+1+fn

an+1-an=an+22+bn+2+c-2an+12-2bn+1-2c+an2+

+bn+c

Wykonujemy wskazane działania.

an+1-an=an2+4an+4a+bn+2b-2an2-4an-2a-2bn-2b+

+an2+bn

Redukujemy wyrazy podobne.

an+1-an=2a

Dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej n badana różnica jest stała, nie zależy od n, zatem ciąg an jest ciągiem arytmetycznym.

Przykład 6

Wiadomo, że ciąg an jest ciągiem arytmetycznym. Zbadamy, czy ciąg cn określony wzorem cn=7an-4 jest też ciągiem arytmetycznym.

cn+1-cn=7an+1-4-7an+4

cn+1-cn=7an+1-an

Ponieważ ciąg an jest ciągiem arytmetycznym, zatem an+1-an=r, gdzie r jest pewną liczbą rzeczywistą (jest to różnica ciągu).

Zatem

cn+1-cn=7·r

Wykazaliśmy, że różnica cn+1-cn jest stała, nie zależy od n. Dowodzi to, że ciąg cn jest ciągiem arytmetycznym.

Słownik

ciąg arytmetyczny
ciąg arytmetyczny

ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby r, zwanej różnicą ciągu