Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby $r$, zwanej różnicą ciągu.

Sprawdzimy, czy ciąg o kolejnych wyrazach: $3$, $8$, $13$, $19$ jest ciągiem arytmetycznym.

Obliczamy różnice między kolejnymi wyrazami ciągu.

$8-3=5$

$13-8=5$

$19-13=6\ne 5$

Nie wszystkie różnice są równe $5$, zatem dany ciąg nie jest ciągiem arytmetycznym.

Sprawdzimy, czy ciąg czterowyrazowy o kolejnych wyrazach: $10$, $8$, $6$, $4$ jest ciągiem arytmetycznym.

$8-10=-2$

$6-8=-2$

$4-6=-2$

W każdym przypadku różnica między kolejnymi wyrazami jest taka sama, równa $\left(-2\right)$, zatem jest to ciąg arytmetycznyciąg arytmetycznyciąg arytmetyczny.

Zbadamy, czy ciąg $\left(a_n\right)$ określony wzorem $a_n=3n-1$ jest ciągiem arytmetycznym.

Obliczamy cztery początkowe wyrazy ciągu.

$a_1=2$

$a_2=5$

$a_3=8$

$a_4=11$

Wyznaczamy różnice między kolejnymi wyrazami ciągu.

$a_2-a_1=5-2=3$

$a_3-a_2=8-5=3$

$a_4-a_3=11-8=3$

Różnica między kolejnymi wyrazami ciągu jest w każdym przypadku taka sama, równa $3$. Wydaje się zatem, że jest to ciąg arytmetyczny. Jednak jest to ciąg o nieskończenie wielu wyrazach, zatem nie możemy wyznaczyć i porównać wszystkich różnic.

Zatem wyznaczymy $a_{n+1}-a_n$.

$a_{n+1}-a_n=3\left(n+1\right)-1-3n+1$

$a_{n+1}-a_n=3n+3-1-3n+1$

$a_{n+1}-a_n=3$

Dla każdej liczby naturalnej $n\ge 1$ wyznaczona różnica jest stała, nie zależy od $n$. Zatem ciąg $\left(a_n\right)$ jest ciągiem arytmetycznym. Możemy też stwierdzić, że różnica ciągu jest równa $3$.

Pokażemy teraz, że ciąg $\left(c_n\right)$ określony wzorem $c_n=\frac{n-1}{n+1}$ nie jest ciągiem arytmetycznym.

Podobnie, jak w poprzednim przykładzie, zbadamy różnicę między kolejnymi wyrazami ciągu.

$c_{n+1}-c_n=\frac{n}{n+2}-\frac{n-1}{n+1}$

Sprowadzamy otrzymane wyrażenie do najprostszej postaci, wykonując odejmowanie i redukując wyrazy podobne.

$c_{n+1}-c_n=\frac{n^2+n-n^2+n-2n+2}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}$

$c_{n+1}-c_n=\frac{2}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}$

Wyznaczona różnica zależy od $n$, zatem nie jest to ciąg arytmetycznyciąg arytmetycznyciąg arytmetyczny.

Funkcja $f$ określona jest wzorem $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$, gdzie $a\ne 0$.

Sprawdzimy, że ciąg $\left(a_n\right)$ taki, że $a_n=f\left(n+1\right)-f\left(n\right)$ dla $n\ge 1$ i $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$ jest ciągiem arytmetycznym.

Badamy różnicę $a_{n+1}-a_n$.

$a_{n+1}-a_n= f\left(n+2\right)-f\left(n+1\right)-f\left(n+1\right)+f\left(n\right)=$

$= f\left(n+2\right)-2f\left(n+1\right)+f\left(n\right)$

$a_{n+1}-a_n=a{\left(n+2\right)}^2+b\left(n+2\right)+c-2a{\left(n+1\right)}^2-2b\left(n+1\right)-2c+a{n}^2+$

$+bn+c$

Wykonujemy wskazane działania.

$a_{n+1}-a_n=a{n}^2+4an+4a+bn+2b-2a{n}^2-4an-2a-2bn-2b+$

$+a{n}^2+bn$

Redukujemy wyrazy podobne.

$a_{n+1}-a_n=2a$

Dla dowolnej liczby naturalnej dodatniej $n$ badana różnica jest stała, nie zależy od $n$, zatem ciąg $\left(a_n\right)$ jest ciągiem arytmetycznym.

Wiadomo, że ciąg $\left(a_n\right)$ jest ciągiem arytmetycznym. Zbadamy, czy ciąg $\left(c_n\right)$ określony wzorem $c_n=7a_n-4$ jest też ciągiem arytmetycznym.

$c_{n+1}-c_n=7a_{n+1}-4-7a_n+4$

$c_{n+1}-c_n=7\left(a_{n+1}-a_n\right)$

Ponieważ ciąg $\left(a_n\right)$ jest ciągiem arytmetycznym, zatem $a_{n+1}-a_n=r$, gdzie $r$ jest pewną liczbą rzeczywistą (jest to różnica ciągu).

Zatem

$c_{n+1}-c_n=7·r$

Wykazaliśmy, że różnica $c_{n+1}-c_n$ jest stała, nie zależy od $n$. Dowodzi to, że ciąg $\left(c_n\right)$ jest ciągiem arytmetycznym.

ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby $r$, zwanej różnicą ciągu