Funkcję $f:D\to \mathrm{ℝ}$ określoną w zbiorze $D$ nazywamy parzystą, jeżeli dla każdego $x\in D$ liczba $\left(-x\right)\in D$ oraz zachodzi równość:

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f:\mathrm{ℝ}\to \mathrm{ℝ}$ danej za pomocą wzoru $f\left(x\right)=\left|x\right|$. W tabeli mamy wartości funkcji $f$ dla wybranych argumentów.

Na podstawie tabeli obserwujemy, że dla argumentów przeciwnych $\left(–2\right)$ oraz $2$ należących do dziedziny funkcji mamy spełniony warunek $f\left(–2\right)=f\left(2\right)=2$.

RuB0NpSZvgcJW

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji y równa się moduł z x. Wykres tej funkcji składa się z dwóch ukośnych półprostych o wspólnym początku. Pierwsza półprosta znajduje się w drugiej ćwiartce, biegnie od punktu $\left(0;0\right)$ do minus nieskończoności, przebiega przez wyróżniony punkt $\left(-2;2\right)$. Druga półprosta znajduje się w pierwszej ćwiartce i ma swój początek w tym samym punkcie, czyli w $\left(0;0\right)$. Przebiega przez punkt $\left(2;2\right)$ i biegnie dalej do plus nieskończoności. Oba wyróżnione punkty półprostych zostały zrzutowane na osie.

Wykres tej funkcji jest symetryczny względem osi $Y$.

Zbadamy parzystość funkcji $f\left(x\right)={\left(\left|x\right|-1\right)}^2$.

Rozwiązanie

Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, więc zapiszemy $D=\mathrm{ℝ}$.

Jeśli liczba $x\in \mathrm{ℝ}$ to również liczba $\left(-x\right)\in \mathrm{ℝ}$.

Sprawdzamy teraz, czy zachodzi równość $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$.

Obliczamy wartość funkcji dla argumentu $\left(–x\right)$ i mamy:

$f\left(–x\right)={\left(\left|-x\right|-1\right)}^2={\left(\left|x\right|-1\right)}^2=f\left(x\right)$.

Warunek powyższy jest spełniony, stąd wniosek, że funkcja jest parzysta. Wykres tej funkcji jest symetryczny względem osi $Y$.

RcG0q4lNQ9Zzx

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji y przypominający kształtem zaokrągloną literę W. Wykres znajduje się w drugiej i w pierwszej ćwiartce. W drugiej ćwiartce wykres jest kawałkiem paraboli o ramionach skierowanych do góry i o wierzchołku w punkcie $\left(-1;0\right)$. Prawe ramię paraboli jest obcięte w punkcie $\left(0;1\right)$. Część wykresu znajdująca się w pierwszej ćwiartce to symetryczny względem osi Y kawałek paraboli o ramionach skierowanych do góry i wierzchołku w punkcie $\left(1;0\right)$. Lewe ramię tej paraboli jest obcięte w punkcie $\left(0;1\right)$. Jest to punkt wspólny obu części wykresu.

Zbadamy parzystość funkcji $f\left(x\right)=\left|x\right|-3$.

Rozwiązanie

Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, więc zapiszemy $D=\mathrm{ℝ}$.

Jeśli liczba $x\in \mathrm{ℝ}$ to również liczba $\left(-x\right)\in \mathrm{ℝ}$.

Sprawdzamy teraz, czy zachodzi równość $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$.

Obliczamy wartość funkcji dla argumentu $\left(–x\right)$ i mamy:

$f\left(–x\right)=\left|–x\right|-3=\left|x\right|-3=f\left(x\right)$.

Warunek powyższy jest spełniony, stąd wniosek, że funkcja jest parzysta.

Wykres tej funkcji jest symetryczny względem osi $Y$.

R6dapuLNgna5S

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus czterech do trzech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji y składający się z dwóch ukośnych półprostych o wspólnym początku. Pierwsza półprosta znajduje się w drugiej i w trzeciej ćwiartce, biegnie od punktu $\left(0;-3\right)$ do minus nieskończoności, przebiegając również na przykład przez punkt $\left(-3;0\right)$. Druga półprosta znajduje się w czwartej i w pierwszej ćwiartce i ma swój początek w tym samym punkcie, czyli w $\left(0;-3\right)$. Przebiega między innymi przez punkt $\left(3;0\right)$ i biegnie dalej do plus nieskończoności.

Niech dana będzie funkcja $f\left(x\right)=-2x^4+3x^2+1$. Zbadamy parzystość tej funkcji.

Rozwiązanie

Najpierw wyznaczamy dziedzinę funkcji $D_f=\mathrm{ℝ}$.

Jeśli liczba $x\in \mathrm{ℝ}$ to również liczba $\left(-x\right)\in \mathrm{ℝ}$.

Sprawdzamy, czy $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$.

Mamy:

$f\left(-x\right)=-2{\left(–x\right)}^4+3{\left(–x\right)}^2+1=-2x^4+3x^2+1=f\left(x\right)$.

Tak, więc funkcja jest funkcją parzystą, oznacza to również, że wykres funkcji jest symetryczny względem osi $Y$.

Warto zauważyć, że wykładniki zmiennych  w wyrażeniu określającym funkcję są  liczbami parzystymi.

R1dzSVTHqkpZJ

Ilustracja przestawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią Y od minus dwóch do czterech. Na płaszczyźnie narysowano wykres funkcji wielomianowej symetryczny względem pionowej osi. Wykres biegnie niemal pionowo od minus nieskończoności do punktu leżącego obok punktu $\left(-1;2\right)$. Stąd wykres biegnie w dół do punktu $\left(0;1\right)$ i w punkcie tym odbija znowu w górę do punktu leżącego obok punktu $\left(1;2\right)$, a następnie biegnie niemal pionowo w dół

Niech dana będzie funkcja $f\left(x\right)=\frac{x^2\left(4-x^2\right)}{x^2-9}$. Zbadamy parzystość tej funkcji.

Rozwiązanie

Najpierw wyznaczamy dziedzinę funkcji $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-3, 3\right\}$.

Jeśli liczba $x\in D_f$ to również liczba $\left(-x\right)\in D_f$.

Sprawdzamy, czy $f\left(-x\right)=f\left(x\right)$:

$f\left(-x\right)=\frac{{\left(-x\right)}^2\left(4-{\left(-x\right)}^2\right)}{{\left(-x\right)}^2-9}=\frac{x^2\left(4-x^2\right)}{x^2-9}=f\left(x\right)$.

Tak, więc funkcja jest funkcją parzystą, oznacza to również, że wykres funkcji jest symetryczny względem osi $Y$.

Dane są funkcje parzyste $f\left(x\right)=x^4+\left|x\right|$ oraz $g\left(x\right)=\frac{9}{x^6}$.

Zbadamy czy funkcja $h\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)$, która jest sumą funkcji parzystych, jest funkcją parzystą.

Rozwiązanie

Wyznaczamy wzór funkcji $h$:

$h\left(x\right)=x^4+\left|x\right|+\frac{9}{x^6}=\frac{x^{10}+\left|x\right|·x^6+9}{x^6}$.

Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby $0$, więc zapiszemy $D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

Jeśli liczba $x\in D$, to również liczba $\left(-x\right)\in D$.

Sprawdzamy teraz, czy zachodzi równość $h\left(-x\right)=h\left(x\right)$.

Obliczamy wartość funkcji dla argumentu $\left(–x\right)$ i mamy:

$h\left(-x\right)=\frac{{\left(-x\right)}^{10}+\left|-x\right|·{\left(-x\right)}^6+9}{{\left(-x\right)}^6}=\frac{x^{10}+\left|x\right|·x^6+9}{x^6}=h\left(x\right)$.

Warunek powyższy jest spełniony, stąd wniosek, że funkcja jest parzysta.

Dane są funkcje parzyste $f\left(x\right)=x^2$ oraz $g\left(x\right)=\frac{1}{x^2+1}$.

Zbadamy czy funkcja $h\left(x\right)=f\left(x\right)+g\left(x\right)$, która jest sumą funkcji parzystych, jest funkcją parzystą.

Rozwiązanie

Wyznaczamy wzór funkcji $h$:

$h\left(x\right)=x^2+\frac{1}{x^2+1}$.

Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, więc zapiszemy $D=\mathrm{ℝ}$.

Jeśli liczba $x\in \mathrm{ℝ}$, to również liczba $\left(-x\right)\in \mathrm{ℝ}$.

Sprawdzamy teraz, czy zachodzi równość: $h\left(-x\right)=h\left(x\right)$.

Obliczamy wartość funkcji dla argumentu $\left(–x\right)$ i mamy:

$h\left(-x\right)={\left(-x\right)}^2+\frac{1}{{\left(-x\right)}^2+1}=x^2+\frac{1}{x^2+1}=h\left(x\right)$.

Warunek powyższy jest spełniony, stąd wniosek, że funkcja jest parzysta.

Dane są funkcje parzyste $f\left(x\right)=\left|x\right|+6$ oraz $g\left(x\right)=\frac{1}{x^2-16}$.

Zbadamy,czy funkcja $h\left(x\right)=f\left(x\right)·g\left(x\right)$, która jest iloczynem funkcji parzystych, jest funkcją parzystą.

Rozwiązanie

Wyznaczamy wzór funkcji $h$:

$h\left(x\right)=\left(\left|x\right|+6\right)·\frac{1}{x^2-16}=\frac{\left|x\right|+6}{x^2-16}$.

Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczb $\left(–4\right)$ oraz $4$, więc zapiszemy $D=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-4, 4\right\}$.

Jeśli liczba $x\in D$, to również liczba $\left(-x\right)\in D$.

Sprawdzamy teraz, czy zachodzi równość $h\left(-x\right)=h\left(x\right)$.

Obliczamy wartość funkcji dla argumentu $\left(–x\right)$ i mamy:

$h\left(-x\right)=\frac{\left|-x\right|+6}{{\left(-x\right)}^2-16}=\frac{\left|x\right|+6}{x^2-16}=h\left(x\right)$.

Warunek powyższy jest spełniony, stąd wniosek, że funkcja jest parzysta.

Dane są funkcje parzyste $f\left(x\right)=x^2-1$ oraz $g\left(x\right)=\frac{1}{x^2+4}$.

Zbadamy czy funkcja $h\left(x\right)=f\left(x\right)·g\left(x\right)$, która jest iloczynem funkcji parzystych, jest funkcją parzystą.

Rozwiązanie

Wyznaczamy wzór funkcji $h$:

$h\left(x\right)=\left(x^2-1\right)·\frac{1}{x^2+4}=\frac{x^2-1}{x^2+4}$.

Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, więc zapiszemy $D=\mathrm{ℝ}$.

Jeśli liczba $x\in \mathrm{ℝ}$, to również liczba $\left(-x\right)\in \mathrm{ℝ}$.

Sprawdzamy teraz, czy zachodzi równość $h\left(-x\right)=h\left(x\right)$.

Obliczamy wartość funkcji dla argumentu $\left(–x\right)$ i mamy:

$h\left(-x\right)=\frac{{\left(-x\right)}^2-1}{{\left(-x\right)}^2+4}=\frac{x^2-1}{x^2+4}=h\left(x\right)$.

Warunek powyższy jest spełniony, stąd wniosek, że funkcja jest parzysta.

Zauważmy, że w liczniku i mianowniku funkcji $h$ są funkcje parzyste, zatem iloraz tych  funkcji parzystych jest funkcją parzystą.

funkcja określona w zbiorze $D$ spełniająca warunki: dla każdego $x\in D$ liczba $\left(-x\right)\in D$ oraz