Przeczytaj
Funkcję określoną w zbiorze nazywamy parzystą, jeżeli dla każdego liczba oraz zachodzi równość:
Wykresy funkcji parzystych są symetryczne względem osi .
Rozważmy przykład funkcji parzystejfunkcji parzystej.
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji danej za pomocą wzoru . W tabeli mamy wartości funkcji dla wybranych argumentów.
Argumenty i wartości funkcji | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Na podstawie tabeli obserwujemy, że dla argumentów przeciwnych oraz należących do dziedziny funkcji mamy spełniony warunek .
Wykres tej funkcji jest symetryczny względem osi .
Wykażemy na podstawie definicji, że funkcja ta jest parzysta.
Dziedziną funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, więc zapiszemy .
Jeśli liczba , to również liczba .
Sprawdzamy teraz, czy zachodzi równość: .
Obliczamy wartość funkcji dla argumentu i mamy:
Warunek powyższy jest spełniony, więc funkcja jest parzysta.
Zajmiemy się teraz badaniem parzystości funkcji.
Należy pamiętać, że badając parzystość funkcji będziemy często korzystać z następujących własności:
dla każdego , oraz
.
Zbadamy parzystość funkcji .
Rozwiązanie
Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, więc zapiszemy .
Jeśli liczba to również liczba .
Sprawdzamy teraz, czy zachodzi równość .
Obliczamy wartość funkcji dla argumentu i mamy:
.
Warunek powyższy jest spełniony, stąd wniosek, że funkcja jest parzysta. Wykres tej funkcji jest symetryczny względem osi .
Zbadamy parzystość funkcji .
Rozwiązanie
Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, więc zapiszemy .
Jeśli liczba to również liczba .
Sprawdzamy teraz, czy zachodzi równość .
Obliczamy wartość funkcji dla argumentu i mamy:
.
Warunek powyższy jest spełniony, stąd wniosek, że funkcja jest parzysta.
Wykres tej funkcji jest symetryczny względem osi .
Niech dana będzie funkcja . Zbadamy parzystość tej funkcji.
Rozwiązanie
Najpierw wyznaczamy dziedzinę funkcji .
Jeśli liczba to również liczba .
Sprawdzamy, czy .
Mamy:
.
Tak, więc funkcja jest funkcją parzystą, oznacza to również, że wykres funkcji jest symetryczny względem osi .
Warto zauważyć, że wykładniki zmiennych w wyrażeniu określającym funkcję są liczbami parzystymi.
Niech dana będzie funkcja . Zbadamy parzystość tej funkcji.
Rozwiązanie
Najpierw wyznaczamy dziedzinę funkcji .
Jeśli liczba to również liczba .
Sprawdzamy, czy :
.
Tak, więc funkcja jest funkcją parzystą, oznacza to również, że wykres funkcji jest symetryczny względem osi .
Dane są funkcje parzyste oraz .
Zbadamy czy funkcja , która jest sumą funkcji parzystych, jest funkcją parzystą.
Rozwiązanie
Wyznaczamy wzór funkcji :
.
Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczby , więc zapiszemy .
Jeśli liczba , to również liczba .
Sprawdzamy teraz, czy zachodzi równość .
Obliczamy wartość funkcji dla argumentu i mamy:
.
Warunek powyższy jest spełniony, stąd wniosek, że funkcja jest parzysta.
Dane są funkcje parzyste oraz .
Zbadamy czy funkcja , która jest sumą funkcji parzystych, jest funkcją parzystą.
Rozwiązanie
Wyznaczamy wzór funkcji :
.
Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, więc zapiszemy .
Jeśli liczba , to również liczba .
Sprawdzamy teraz, czy zachodzi równość: .
Obliczamy wartość funkcji dla argumentu i mamy:
.
Warunek powyższy jest spełniony, stąd wniosek, że funkcja jest parzysta.
Dane są funkcje parzyste oraz .
Zbadamy,czy funkcja , która jest iloczynem funkcji parzystych, jest funkcją parzystą.
Rozwiązanie
Wyznaczamy wzór funkcji :
.
Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem liczb oraz , więc zapiszemy .
Jeśli liczba , to również liczba .
Sprawdzamy teraz, czy zachodzi równość .
Obliczamy wartość funkcji dla argumentu i mamy:
.
Warunek powyższy jest spełniony, stąd wniosek, że funkcja jest parzysta.
Należy pamiętać, że własność parzystości funkcji nie jest równoznaczna z własnością nieparzystości funkcji i odwrotnie.
Dziedzina funkcji parzystych jest symetryczna: jeżeli należy do dziedziny, to również.
Wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi .
Dane są funkcje parzyste oraz .
Zbadamy czy funkcja , która jest iloczynem funkcji parzystych, jest funkcją parzystą.
Rozwiązanie
Wyznaczamy wzór funkcji :
.
Dziedziną tej funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, więc zapiszemy .
Jeśli liczba , to również liczba .
Sprawdzamy teraz, czy zachodzi równość .
Obliczamy wartość funkcji dla argumentu i mamy:
.
Warunek powyższy jest spełniony, stąd wniosek, że funkcja jest parzysta.
Zauważmy, że w liczniku i mianowniku funkcji są funkcje parzyste, zatem iloraz tych funkcji parzystych jest funkcją parzystą.
Funkcje parzyste:
funkcja stała;
funkcja trygonometryczna cosinus;
wartość bezwzględna;
funkcja potęgowa o parzystym wykładniku;
wielomiany zawierające niezerowe współczynniki tylko przy parzystych potęgach zmiennej.
Słownik
funkcja określona w zbiorze spełniająca warunki: dla każdego liczba oraz