Warto przeczytać

R1JjlASGzFGKM

Rys. 1. Na ilustracji widoczne jest zdjęcie mężczyzny żaglującego trzema piłkami. Piłki oraz postać mężczyzny są ciemne ponieważ widoczne są na tle horyzontu i Słońca.

Rzut pionowy to ruch, w którym

• ciało porusza się w jednorodnym polu grawitacyjnym – czyli takim, w którym przyspieszeniePrzyspieszenieprzyspieszenie grawitacyjne jest stałe,

• prędkość początkowa jest skierowana pionowo w górę (przeciwnie do przyspieszenia grawitacyjnego),

• pomijamy wszystkie opory ruchu.

Torem takiego ruchu jest linia prosta, zatem do opisu wszystkich wielkości wektorowych charakteryzujących ruch wystarczy jedna współrzędna. Umieśćmy oś $y$ tak, jak na Rys. 2. – skierowaną pionowo w górę, z miejscem zerowym na powierzchni Ziemi. Oznaczenie drugiej osi nie ma tu znaczenia.

RBu3y16Zmofqp

Rys. 2. Na ilustracji widoczny jest wykres narysowany czarnymi strzałkami. Pionowa oś wykresu opisana jest małą literą y i oznacza kierunek pionowy. Pozioma oś skierowana jest w prawo ale nie jest oznaczona. Początek układu współrzędnych opisano jako punkt cyfra zero. Po prawej stronie osi pionowej na wysokości równej mała litera y równa się zero widoczne jest ciało narysowane w postaci niebieskiego kółka. Z ciała wychodzi pionowy wektor prędkości początkowej małą litera v z indeksem dolnym zero i strzałką oznaczającą wektor, skierowany pionowo w górę i narysowany w postaci czarnej strzałki.

Na ciało działa wyłącznie siła grawitacji, przyspieszenie grawitacyjne skierowane jest pionowo w dół, a zatem składowa pionowa przyspieszeniaPrzyspieszenieprzyspieszenia wynosi

gdzie $g$ to wartość przyspieszenia grawitacyjnego.

Z kolei prędkośćPrędkośćprędkość początkowa skierowana jest pionowo w górę, a zatem jej współrzędna to

gdzie $v_0$ to wartość prędkościPrędkośćprędkości początkowej.

Ruch ciała będzie zatem ruchem jednostajnie zmiennymRuch jednostajnie zmiennyruchem jednostajnie zmiennym. Jeśli przyjmiemy, że współrzędna położenia początkowego wynosi 0, to równania opisujące ruch będą wyglądały następująco

Zależność $y\left(t\right)$ jest zależnością kwadratową, jej wykresem jest parabola; zależność $v_y\left(t\right)$ jest zależnością liniową, więc jej wykresem jest linia prosta.

Rys. 3. przedstawia obie zależności.

R4d5bON0PnDzd

Rys. 3. Na ilustracji widoczne są dwa wykresy, jeden obok drugiego, narysowane czarnymi strzałkami. Na lewym wykresie oś pionowa skierowana w górę przedstawia położenie mała litera y w pionie, a oś pozioma skierowana w prawo opisana jest jako czas małą litera t. Na wykresie widoczna jest funkcja przedstawiająca odwróconą parabolę, narysowana niebieską linią. Funkcja zaczyna się w początku układu współrzędnych i rośnie do wartości maksymalnej mała litera y z indeksem dolnym max, którą osiąga dla czasu mała litera t z indeksem dolnym jeden. Od tego punktu funkcja maleje aż do osiągnięcia wartości mała litera y równa się zero dla czasu mała litera t z indeksem dolnym dwa. Czas małą litera t z indeksem dolnym jeden jest dwukrotnie krótszy niż czas mała litera t z indeksem dolnym dwa. Na prawym wykresie oś pionowa skierowana w górę przedstawia prędkość w kierunku pionowym małą litera v z indeksem dolnym mała litera y w funkcji czasu mała litera t. Na osi położenia zaznaczono wartość mała litera v z indeksem dolnym zero, która reprezentuje wartość prędkości początkowej. Z tego punktu wychodzi czerwona funkcja liniowa, która maleje i osiąga wartość zero dla czasu mała litera t z indeksem dolnym jeden. Następnie funkcja dalej maleje liniowo i osiąga wartość równą minus mała litera v z indeksem dolnym zero dla czasu równego mała litera t z indeksem dolnym dwa. Czas mała litera t z indeksem dolnym jeden jest dwukrotnie krótszy niż czas mała litera t z indeksem dolnym dwa.

Analizując wykres zależności współrzędnej położeniaPołożeniepołożenia od czasu widać, że ciało najpierw się wznosi ruchem jednostajnie opóźnionym, osiąga pewną maksymalną wysokość w chwili $t_1$, a następnie spada ruchem jednostajnie przyspieszonym, by w chwili $t_2$ zakończyć swój ruch na powierzchni Ziemi. Wartość prędkościPrędkośćprędkości początkowo maleje, w chwili $t_1$ osiąga wartość 0, a następnie rośnie, ale ponieważ ciało porusza się przeciwnie do zwrotu osi, składowa prędkościPrędkośćprędkości jest ujemna.

Wyznaczymy teraz chwile $t_1$ i $t_2$, oraz maksymalną wysokość, na jaką wzniesie się ciało, oznaczaną przez $y_{max}$.

$t_1$ to czas, w którym współrzędna prędkości wynosi 0. Zatem spełnia równanie

czyli $t_1=\frac{v_0}{g}$.

W chwili $t_1$ ciało osiąga maksymalną wysokość, zatem po podstawieniu tego argumentu do zależności współrzędnej pionowej otrzymamy

Z kolei czas $t_2$ to czas, w którym współrzędna $y$ położenia ciała osiągnie wartość równą 0. Wyznaczamy go zatem z równania

To równanie ma dwa rozwiązania. Pierwsze z nich to $t$ = 0, odpowiada ono chwili początkowej, w której ciało znajduje się na powierzchni gruntu i rozpoczyna swój ruch, natomiast drugie rozwiązanie: $t_2=\frac{2v_0}{g}$ to właśnie szukany przez nas czas powrotu na ziemię. Zauważmy, że $t_2 = 2 t_1$.

Słowniczek