Przeczytaj
Aby określić miarę kąta, należy zdefiniować kąt jednostkowy, a następnie stwierdzić, ile razy kąt jednostkowy mieści się w danym kącie. Przypomnijmy podstawowe informacje dotyczące miary stopniowej kąta.
Miara stopniowa
Kąt pełny ma równych części zwanych stopniami; stopień to część kąta pełnego. Stopnie dzielimy na minuty minuty na sekundy .
W mierze stopniowej:
kąt zerowy ma miarę ;
kąt ostry ma miarę ;
kąt prosty ma miarę ;
kąt rozwarty ma miarę ;
kat półpełny ma miarę ;
kąt wklęsły ma miarę ;
kąt pełny ma miarę .
Kąty, o których wspominaliśmy wyżej, mają miary z przedziału .
Liczby, np. , , nie były miarami żadnych kątów.
Rozszerzamy więc pojęcie kąta, wprowadzając kąt jako miarę obrotu.
Kąt jako miara obrotu
Kąt płaski, którego jedno ramię wyróżniamy jako początkowe, a drugie jako końcowe, nazywamy kątem skierowanym. Kąt skierowanyKąt skierowany otrzymujemy przez obrót na płaszczyźnie półprostej o początku w punkcie . Obrót dookoła punktu może odbywać się w dwóch kierunkach. Kierunek przeciwny do ruchu wskazówek zegara przyjmujemy za dodatni, kierunek zgodny z ruchem wskazówek zegara przyjmujemy za ujemny.
Niech będzie kątem skierowanym. Wybierzmy układ współrzędnych tak, aby wierzchołek kąta był początkiem tego układu a dodatnia półoś początkowym ramieniem kąta skierowanego. Półprosta jest ramieniem końcowym kąta skierowanego.
Przyjmujemy, że miara kąta skierowanego jest liczbą dodatnią, gdy półprosta zakreśliła kąt w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara:
Przyjmujemy, że miara kąta skierowanego jest liczbą ujemną, gdy półprosta zakreśliła kąt w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara:
Półprostą możemy obrócić całkowitą ilość razy w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara i dodatkowo jeszcze o kąt ostry .
Każdy całkowity obrót to obrót o . Jeżeli wykonano obrotów, to półprosta zakreśliła kąt: , .
Gdy półprostą obrócimy całkowitą ilość razy w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara i dodatkowo jeszcze o kąt ostry , to przy pełnych obrotach półprosta zakreśli kąt: , .
Każdy kąt o mierze stopniowej można przedstawić w postaci: , gdzie i .
Kąt , gdzie i , jest miarą pełnych obrotów półprostej wokół punktu i obrotu o kąt (w kierunku: zgodnym z ruchem wskazówek zegara, gdy , a w przeciwnym, gdy ). Ramiona kąta , gdzie , pokrywają się z ramionami kąta , więc kąty te możemy ze sobą utożsamiać.
Narysujemy kąt o mierze
Rozwiązanie
Narysujemy kąt o mierze .
Rozwiązanie
Przedstawimy kąty o miarach i w postaci , gdzie i .
Rozwiązanie
Zauważmy, że miarę kąta możemy traktować jako resztę z dzielenia liczb i przez .
Sprawdzimy, czy:
ramiona kąta o mierze pokrywają się z ramionami kąta o mierze .
ramiona kąta o mierze pokrywają się z ramionami kąta o mierze .
Rozwiązanie
, zatem ramiona kąta o mierze pokrywają się z ramionami kąta o mierze .
, zatem ramiona kąta o mierze nie pokrywają się z ramionami kąta o mierze .
Wyznaczymy miarę kąta, jaki wskazówka minutowa zegara zakreśliła od godziny do .
Rozwiązanie
Zgodnie z określeniem kąta skierowanegokąta skierowanego wskazówki zegara zakreślają kąty o mierze będącej liczbą ujemną
Wskazówka minutowa w ciągu godziny zakreśla kąt , a w ciągu minuty kąt: .
Od godziny do minęły godziny i minut.
Obliczamy miarę kąta, jaki zakreśliła wskazówka minutowa:
Odp. Wskazówka minutowa zegara od godziny do zakreśliła kąt o mierze .
Obliczymy, którą godzinę wskaże zegar, jeżeli o jego wskazówkę minutową obrócimy o kąt:
;
.
Rozwiązanie
W czasie godziny wskazówka minutowa zakreśla kąt o mierze , czyli w ciągu minuty zakreśla kąt o mierze .
, zatem miara tego kąta odpowiada minutom.
Obróciliśmy wskazówkę minutową o kąt , więc zakreśliliśmy kąt zgodnie z ruchem wskazówek zegara: dodajemy minut do .
Odp. Zegar wskaże godzinę .Zauważmy, że , zatem miara tego kąta odpowiada również minutom.
Obróciliśmy wskazówkę minutową o kąt , więc zakreśliliśmy kąt przeciwnie do ruchu wskazówek zegara: odejmujemy minut od .
Odp. Zegar wskaże godzinę .
Określimy miarę kąta, o jaki obróci się Ziemia wokół własnej osi w ciągu godzin.
Rozwiązanie
Ruch obrotowy Ziemi to obrót Ziemi wokół własnej osi. Czas jednego obrotu wynosi godziny minut i sekundy. Dla obliczeń czasu przyjmuje się dobę -godzinną. Ruch obrotowy Ziemi odbywa się z zachodu na wschód. Patrząc z rzutu na biegun północny, Ziemia porusza się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, zatem miara zakreślonego przez nią kąta jest liczbą dodatnią.
Jeżeli Ziemia wykonuje pełen obrót: w ciągu -godzinnej doby, to w ciągu godziny zakreśla kąt , czyli w ciągu godzin: .
Odp. W ciągu godzin Ziemia obróci się wokół własnej osi o kąt o mierze .
Miara główna kąta skierowanego
Najmniejszą nieujemną miarę kąta skierowanego nazywamy miarą główną tego kąta.
Ponieważ każdy kąt skierowany możemy zapisać w postaci , gdzie i , to miarą głównąmiarą główną tego kąta jest . Miara główna kąta .
Wyznaczymy miarę główną kątów skierowanych o miarach oraz .
Rozwiązanie
Zauważmy, że , zatem miarą główną tego kąta jest .
Wyznaczymy teraz miarę główną kąta . Mamy zatem: , co oznacza, że miarą główną tego kąta jest .
Obliczymy różnicę miar głównych kątów o miarach oraz .
Rozwiązanie
Wyznaczymy najpierw miary główne kątów oraz :
, zatem miara główna tego kąta wynosi ,
, zatem miara główna tego kąta wynosi .
Ostatecznie: .
Miara kąta wynosi , zaś kąt . Miara główna kąta jest o mniejsza od miary głównej kąta . Wyznaczymy miarę kąta .
Rozwiązanie
Wyznaczymy miarę główną kąta : , zatem .
Miara główna kąta wynosi więc: .
Skoro , to .
Słownik
para uporządkowanych półprostych o wspólnym początku, z których pierwszą nazywamy ramieniem początkowym, a drugą ramieniem końcowym kąta skierowanego. Ramię początkowe kąta skierowanego to dodatnia półoś . Ramię końcowe kąta skierowanego to półprosta o początku w punkcie
najmniejsza nieujemna miara kąta skierowanego