Przeczytaj

Aby określić miarę kąta, należy zdefiniować kąt jednostkowy, a następnie stwierdzić, ile razy kąt jednostkowy mieści się w danym kącie. Przypomnijmy podstawowe informacje dotyczące miary stopniowej kąta.

Miara stopniowa

Kąt pełny ma $360$ równych części zwanych stopniami; $1$ stopień to $\frac{1}{360}$ część kąta pełnego. Stopnie dzielimy na minuty $(1 ° = 60')$ minuty na sekundy $(1 ’ = 60 ’ ’)$ .

W mierze stopniowej:

kąt zerowy ma miarę $α = 0 °$ ;
kąt ostry ma miarę $α \in (0 °; 90 °)$ ;
kąt prosty ma miarę $α = 90 °$ ;
kąt rozwarty ma miarę $α \in (90 °; 180 °)$ ;
kat półpełny ma miarę $α = 180 °$ ;
kąt wklęsły ma miarę $α \in (180 °; 360 °)$ ;
kąt pełny ma miarę $α = 360^{\circ}$ .

Kąty, o których wspominaliśmy wyżej, mają miary z przedziału $⟨0 °; 360 °⟩$ .
Liczby, np. $2330^{\circ}$ , $(- 6320 °)$ , $1260 °$ nie były miarami żadnych kątów.
Rozszerzamy więc pojęcie kąta, wprowadzając kąt jako miarę obrotu.

Kąt jako miara obrotu

Kąt płaski, którego jedno ramię wyróżniamy jako początkowe, a drugie jako końcowe, nazywamy kątem skierowanym. Kąt skierowanyKąt skierowanyKąt skierowany otrzymujemy przez obrót na płaszczyźnie półprostej o początku w punkcie $O$ . Obrót dookoła punktu $O$ może odbywać się w dwóch kierunkach. Kierunek przeciwny do ruchu wskazówek zegara przyjmujemy za dodatni, kierunek zgodny z ruchem wskazówek zegara przyjmujemy za ujemny.

RevXZqrKytiP9

Ilustracja przedstawia dwa takie same ramiona tworzące kąt przy wierzchołku O. W pierwszym poprowadzono kąt α z dolnego ramienia do górnego, w drugim poprowadzono kąt -α z górnego ramienia do dolnego.

Niech $α$ będzie kątem skierowanym. Wybierzmy układ współrzędnych $X O Y$ tak, aby wierzchołek kąta $α$ był początkiem tego układu a dodatnia półoś $X$ początkowym ramieniem kąta skierowanego. Półprosta $O P$ jest ramieniem końcowym kąta skierowanego.

R4AHYVdtrLa8D

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z punktu O będącego początkiem układu współrzędnych poprowadzono prostą do punktu A znajdującego się w trzeciej ćwiartce układu. Od osi X do odcinka poprowadzono kąt o mierze -α.

Przyjmujemy, że miara kąta skierowanego jest liczbą dodatnią, gdy półprosta $O P$ zakreśliła kąt w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara:

R11smvLbQKU9A

Przyjmujemy, że miara kąta skierowanego jest liczbą ujemną, gdy półprosta $O P$ zakreśliła kąt w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara:

RUFOC16piUSrB

Półprostą $O P$ możemy obrócić całkowitą ilość razy w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara i dodatkowo jeszcze o kąt ostry $α$ .
Każdy całkowity obrót to obrót o $360 °$ . Jeżeli wykonano $k$ obrotów, to półprosta zakreśliła kąt: $k \cdot 360 ° + α$ , $k \in ℤ$ .

Gdy półprostą $O P$ obrócimy całkowitą ilość razy w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara i dodatkowo jeszcze o kąt ostry $α$ , to przy $k$ pełnych obrotach półprosta zakreśli kąt: $- k \cdot 360 ° - α$ , $k \in ℤ$ .

Każdy kąt o mierze stopniowej można przedstawić w postaci: $k \cdot 360 ° + α$ , gdzie $α \in <0 °, 360 °)$ i $k \in ℤ$ .

Kąt $k \cdot 360 ° + α$ , gdzie $α \in <0 °, 360 °)$ i $k \in ℤ$ , jest miarą pełnych obrotów półprostej $O P$ wokół punktu $O$ i obrotu o kąt $α$ (w kierunku: zgodnym z ruchem wskazówek zegara, gdy $k < 0$ , a w przeciwnym, gdy $k > 0$ ). Ramiona kąta $k \cdot 360 ° + α$ , gdzie $k \in ℤ$ , pokrywają się z ramionami kąta $α$ , więc kąty te możemy ze sobą utożsamiać.

Przykład 1

Narysujemy kąt o mierze $135 °$

Rozwiązanie

RlwZ9PYl3nogb

Przykład 2

Narysujemy kąt o mierze $(-135 °)$ .

Rozwiązanie

RgY53J4vnPUNa

Przykład 3

Przedstawimy kąty o miarach $1100 °$ i $(- 1060 °)$ w postaci $k \cdot 360 ° + α$ , gdzie $α \in (0 °; 360 °)$ i $k \in ℤ$ .

Rozwiązanie

$1100 ° = 360 ° + 360 ° + 360 ° + 20 ° = 3 \cdot 360 ° + 20 °$
$- 1060 ° = - 360 ° + - 360 ° + (- 360 °) + 20 ° = - 3 \cdot 360 ° + 20 °$

Zauważmy, że miarę kąta $20 °$ możemy traktować jako resztę z dzielenia liczb $1100 °$ i $(- 1060 °)$ przez $360 °$ .

Przykład 4

Sprawdzimy, czy:

ramiona kąta o mierze $930 °$ pokrywają się z ramionami kąta o mierze $210 °$ .
ramiona kąta o mierze $(- 1560 °)$ pokrywają się z ramionami kąta o mierze $70 °$ .

Rozwiązanie

$930 ° = 2 \cdot 360 ° + 210 °$ , zatem ramiona kąta o mierze $930 °$ pokrywają się z ramionami kąta o mierze $210 °$ .
$- 1560 ° = - 5 \cdot 360 ° + 240 °$ , zatem ramiona kąta o mierze $(- 1560 °)$ nie pokrywają się z ramionami kąta o mierze $70 °$ .

Przykład 5

Wyznaczymy miarę kąta, jaki wskazówka minutowa zegara zakreśliła od godziny $14^{30}$ do $18^{40}$ .

Rozwiązanie

Zgodnie z określeniem kąta skierowanegoKąt skierowanykąta skierowanego wskazówki zegara zakreślają kąty o mierze będącej liczbą ujemną

Wskazówka minutowa w ciągu godziny zakreśla kąt $(- 360 °)$ , a w ciągu minuty kąt: $(- 360 °) : 60 = - 6 °$ .

Od godziny $14^{30}$ do $18^{40}$ minęły $4$ godziny i $10$ minut.

Obliczamy miarę kąta, jaki zakreśliła wskazówka minutowa: $4 \cdot (- 360 °) + 10 \cdot (- 6 °) = - 1440 ° - 60 ° = - 1500 °$

Odp. Wskazówka minutowa zegara od godziny $14^{30}$ do $18^{40}$ zakreśliła kąt o mierze $(- 1500 °)$ .

Przykład 6

Obliczymy, którą godzinę wskaże zegar, jeżeli o $8^{15}$ jego wskazówkę minutową obrócimy o kąt:

$α = - 90 °$ ;
$α = 90 °$ .

Rozwiązanie

W czasie $1$ godziny wskazówka minutowa zakreśla kąt o mierze $360 °$ , czyli w ciągu minuty zakreśla kąt o mierze $\frac{360^{\circ}}{6} = 6^{\circ}$ .
$- 90 ° = 0 \cdot (- 360 °) + 15 \cdot (- 6 °)$ , zatem miara tego kąta odpowiada $15$ minutom.
Obróciliśmy wskazówkę minutową o kąt $α = - 90 °$ , więc zakreśliliśmy kąt zgodnie z ruchem wskazówek zegara: dodajemy $15$ minut do $8^{15}$ .
Odp. Zegar wskaże godzinę $8^{30}$ .
Zauważmy, że $90 ° = 0 \cdot 360 ° + 15 \cdot 6 °$ , zatem miara tego kąta odpowiada również $15$ minutom.
Obróciliśmy wskazówkę minutową o kąt $α = 90 °$ , więc zakreśliliśmy kąt przeciwnie do ruchu wskazówek zegara: odejmujemy $15$ minut od $8^{15}$ .
Odp. Zegar wskaże godzinę $8^{00}$ .

Przykład 7

Określimy miarę kąta, o jaki obróci się Ziemia wokół własnej osi w ciągu $5$ godzin.

Rozwiązanie

Ruch obrotowy Ziemi to obrót Ziemi wokół własnej osi. Czas jednego obrotu wynosi $23$ godziny $56$ minut i $4$ sekundy. Dla obliczeń czasu przyjmuje się dobę $24$ -godzinną. Ruch obrotowy Ziemi odbywa się z zachodu na wschód. Patrząc z rzutu na biegun północny, Ziemia porusza się przeciwnie do ruchu wskazówek zegara, zatem miara zakreślonego przez nią kąta jest liczbą dodatnią.

Jeżeli Ziemia wykonuje pełen obrót: $360 °$ w ciągu $24$ -godzinnej doby, to w ciągu $1$ godziny zakreśla kąt $360 ° : 24 = 15 °$ , czyli w ciągu $5$ godzin: $15 ° \cdot 5 = 75 °$ .

Odp. W ciągu $5$ godzin Ziemia obróci się wokół własnej osi o kąt o mierze $75 °$ .

Miara główna kąta skierowanego

miara główna kąta skierowanego

Definicja: miara główna kąta skierowanego

Najmniejszą nieujemną miarę kąta skierowanego nazywamy miarą główną tego kąta.

Ponieważ każdy kąt skierowany możemy zapisać w postaci $k \cdot 360 ° + α$ , gdzie $α \in ⟨0 °, 360 °)$ i $k \in ℤ$ , to miarą głównąmiara główna kąta skierowanegomiarą główną tego kąta jest $α$ . Miara główna kąta $α \in ⟨0 °, 360 °)$ .

Przykład 8

Wyznaczymy miarę główną kątów skierowanych o miarach $1358 °$ oraz $(- 890 °)$ .

Rozwiązanie

Zauważmy, że $1358 ° = 3 \cdot 360 ° + 278 °$ , zatem miarą główną tego kąta jest $α = 278 °$ .

Wyznaczymy teraz miarę główną kąta $(- 685 °)$ . Mamy zatem: $- 685 ° = - 2 \cdot 360 ° + 35 °$ , co oznacza, że miarą główną tego kąta jest $α = 35 °$ .

Przykład 9

Obliczymy różnicę miar głównych kątów o miarach $(- 600 °)$ oraz $1505 °$ .

Rozwiązanie

Wyznaczymy najpierw miary główne kątów $(- 600 °)$ oraz $1205 °$ :

$- 600 ° = - 2 \cdot 360 ° + 120 °$ , zatem miara główna tego kąta wynosi $α_{1} = 120 °$ ,

$1505 ° = 4 \cdot 360 ° + 65 °$ , zatem miara główna tego kąta wynosi $α_{2} = 65 °$ .

Ostatecznie: $α_{1} - α_{2} = 120 ° - 65 ° = 55 °$ .

Przykład 10

Miara kąta $β$ wynosi $1958 °$ , zaś kąt $γ \in (- 2000 °; - 1800 °)$ . Miara główna kąta $β$ jest o $39 °$ mniejsza od miary głównej kąta $γ$ . Wyznaczymy miarę kąta $γ$ .

Rozwiązanie

Wyznaczymy miarę główną $α$ kąta $β$ : $1958 ° = 5 \cdot 360 ° + 158 °$ , zatem $α = 158 °$ .

Miara główna kąta $γ$ wynosi więc: $α_{2} = 158 ° + 39 ° = 197 °$ .

Skoro $γ \in (- 2000 °; - 1800 °)$ , to $γ = - 6 \cdot 360 ° + 197 ° = - 1963 °$ .

Słownik

kąt skierowany

para uporządkowanych półprostych o wspólnym początku, z których pierwszą nazywamy ramieniem początkowym, a drugą ramieniem końcowym kąta skierowanego. Ramię początkowe kąta skierowanego to dodatnia półoś $X$ . Ramię końcowe kąta skierowanego to półprosta o początku w punkcie $O$

miara główna kąta skierowanego

najmniejsza nieujemna miara kąta skierowanego

Wprowadzenie

Animacja

Miara stopniowa

Kąt jako miara obrotu

Miara główna kąta skierowanego

Słownik