Przeczytaj
Stożkiem nazywamy bryłę geometryczną, która powstała przez obrót trójkąta prostokątnego wokół prostej zawierającej przyprostokątną lub poprzez obrót trójkąta równoramiennego wokół prostej zawierającej jego oś symetrii.
Prostą, wokół której obracamy trójkąt, nazywamy osią obrotu stożka. Bok trójkąta prostopadły do osi obrotuosi obrotu zakreśla koło, które nazywamy podstawą stożka. Z kolei bok trójkąta znajdujący się na przeciwko osi obrotu zakreśla powierzchnię boczną stożkapowierzchnię boczną stożka. Wspólny koniec przeciwprostokątnej i przyprostokątnej zawartej w osi obrotu nazywamy wierzchołkiem stożka. Odcinek, którego jednym końcem jest wierzchołekwierzchołek, a drugim dowolny punkt okręgu podstawy nazywamy tworzącą stożka. Wysokość stożka to odcinek (a także jego długość), którego jednym końcem jest wierzchołek, a drugim rzut prostokątny wierzchołka na płaszczyznę podstawy.
Patrząc przekrój osiowy stożka widzimy trójkąt równoramienny, którego ramiona to tworzące stożka a podstawa to średnica podstawy.
Zaznaczony na rysunku kąt nazywamy kątem rozwarcia stożka.
Rysunek poniżej przedstawia siatkę składającą się w stożek.
Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyznę jest wycinkiem koła o promieniu .
Mamy trójkąt prostokątny, którego przyprostokątne mają długość oraz . Obliczymy pole podstawy stożkapodstawy stożka otrzymanego w wyniku obrotu tego trójkąta wokół:
a) dłuższej przyprostokątnej,
b) krótszej przyprostokątnej.
Obliczymy długość tworzącej w obydwu przypadkach.
Rozwiązanie
Zauważmy, że .
a) Jeśli stożek powstaje w wyniku obrotu wokół dłuższej przyprostokątnej, to jego wymiary są takie jak na rysunku poniżej.
Pole podstawy jest wówczas równe:
.
Z kolei długość tworzącej wynosi:
.
b) W tym przypadku nasz stożek wygląda tak:
Zatem nasze pole podstawy wynosi:
.
Z kolei długość naszej tworzącej się nie zmienia, więc ponownie wynosi .
Rozważmy trójkąt prostokątny. Pola podstaw stożków powstałych w wyniku obrotu tego trójkąta wokół jego przyprostokątnych wynoszą oraz . Obliczymy długość tworzących obu stożków.
Rozwiązanie
Z pierwszego rysunku widzimy, że:
.
Z drugiego mamy:
.
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, otrzymujemy tworzącątworzącą równą:
.
Zauważmy, że długość tworzącej nie zależy od wyboru przyprostokątnej wokół której obracamy trójkąt prostokątny.
Stożek powstaje w wyniku obrotu trójkąta równoramiennego, którego ramię ma długość , wokół osi symetrii. Kąt pomiędzy ramionami wynosi . Obliczymy promień podstawy oraz wysokośćwysokość tego stożka.
Rozwiązanie
Widzimy, że trójkąt jest trójkątem o stopniach , , . Niech . Wtedy z prostej trygonometrii wiemy, że:
.
Zatem mamy, że wysokość i promień mają taką samą długość wynoszącą .
Promień wycinka kołowego o kącie jest równy . Wycinek zwinięto i utworzono w ten sposób powierzchnię boczną stożka. Obliczymy wysokość i promień podstawy stożka.
Rozwiązanie
Zauważmy, że wycinek kołowy o kącie jest całego koła. Zatem ze wzoru na obwód okręgu mamy:
.
Zwinąwszy powierzchnie w stożek, można przypuszczać, że będzie on wyglądał tak:
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, obliczymy wysokość:
.
Słownik
prosta, wokół której obracamy trójkąt
koło wykreślone przez bok trójkąta prostopadły do osi obrotu
powierzchnia zakreślona przez tworzącą podczas obrotu wokół osi obrotu, po rozwinięciu przyjmuje kształt wycinka koła
punkt wspólny tworzącej i wysokości stożka
odcinek, którego jednym końcem jest wierzchołek stożka, a drugim dowolny punkt okręgu podstawy
odcinek (a także jego długość), którego jednym końcem jest wierzchołek, a drugim rzut prostokątny wierzchołka na płaszczyznę podstawy