Wyrażeniem wymiernym zmiennej rzeczywistej $x$ nazywamy wyrażenie algebraiczne postaci $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$, w którym $P\left(x\right)$ i $Q\left(x\right)$ są wielomianami zmiennej $x$, przy czym $Q\left(x\right)$ nie jest wielomianem zerowymwielomian zerowywielomianem zerowym.

Dziedziną wyrażenia wymiernego $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$ jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem pierwiastków wielomianupierwiastek wielomianupierwiastków wielomianu $Q\left(x\right)$.

Wyznaczmy dziedzinę wyrażeń:

Wyznaczmy dziedzinę wyrażeniadziedzina wyrażenia wymiernego dziedzinę wyrażenia $\frac{1}{x^4-9}$.

• Szukamy rozwiązań równania $x^4-9=0$.

• Używając wzorów skróconego mnożenia (różnica kwadratów) możemy zapisać
  $\left(x^2-3\right)\left(x^2+3\right)=0$
  $\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)\left(x^2+3\right)=0$
  Zatem rozwiązaniami rzeczywistymi są $x=-\sqrt{3}$, $x=\sqrt{3}$.

• Dziedzina wyrażenia to zatem zbiór $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-\sqrt{3};\sqrt{3}\right\}$.

Wyrażenia wymiernewyrażenie wymierneWyrażenia wymierne są równe, gdy mają tą samą dziedzinę i dla każdego argumentu z dziedziny przyjmują odpowiednio te same wartości.

Porównajmy wyrażenia wymiernerówność wyrażeń wymiernychPorównajmy wyrażenia wymierne $\frac{2x}{3x^2}$, $\frac{2}{3x}$ i $\frac{2x+6}{3x^2+9x}$.

• Na początek określmy dziedzinę wyrażenia $\frac{2x}{3x^2}$:
  ze względu na mianownik $x\in \mathbb{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.
  Ułamek możemy skrócić przez $x$:
  Zatem $\frac{2x}{3x^2}=\frac{2}{3x}$; $x\in ℝ\setminus \{0\}$.

• Drugie wyrażenie to ułamek nieskracalny, po określeniu dziedziny możemy zapisać
  $\frac{2}{3x}$; $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$.

• Określmy dziedzinę wyrażenia $\frac{2x+6}{3x^2+9x}$ rozwiązując równanie
  $3x^2+9x=0$
  $3x\left(x+3\right)=0$
  $x=0$ lub $x=-3$ - te liczby nie należą do dziedziny wyrażenia.
  Zauważmy, że ułamek można skrócić przez $x+3$.
  Zatem
  $\frac{2x+6}{3x^2+9x}=\frac{2\left(x+3\right)}{3x\left(x+3\right)}=\frac{2}{3x}$; $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{-3;0\right\}$.

• Podsumowując: wszystkie trzy wyrażenia da się sprowadzić do postaci $\frac{2}{3x}$, trzecie z nich ma jednak inną dziedzinę, niż dwa poprzednie.

• Możemy powiedzieć, że wyrażenia $\frac{2x}{3x^2}$ i $\frac{2}{3x}$ są równe.

• Możemy też stwierdzić, że wyrażenia $\frac{2x}{3x^2}$, $\frac{2}{3x}$ i $\frac{2x+6}{3x^2+9x}$ są równe dla $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{-3;0\right\}$.

Wykażemy, że wyrażenia $\frac{x-4}{x+4}$, $\frac{x^2-16}{x^2+8x+16}$, $\frac{x^3-4x^2+x-4}{x^3+4x^2+x+4}$ są równe.

• Wyrażenie $\frac{x-4}{x+4}$ jest nieskracalne, jego dziedzina to $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-4\right\}$.

• Zapiszmy drugie wyrażenie używając wzorów skróconego mnożenia:
  $\frac{x^2-16}{x^2+8x+16}=\frac{\left(x-4\right)\left(x+4\right)}{{\left(x+4\right)}^2}$.
  Wyrażenie z mianownika przyjmuje wartość $0$ tylko dla $x=-4$, po skróceniu przez $x+4$ mamy
  $\frac{x^2-16}{x^2+8x+16}=\frac{\left(x-4\right)\left(x+4\right)}{{\left(x+4\right)}^2}=\frac{x-4}{x+4}$; $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{-4\right\}$.

• Sprowadźmy licznik i mianownik ostatniego wyrażenia do postaci iloczynowej przez odpowiednie pogrupowanie wyrazów:
  $\frac{x^3-4x^2+x-4}{x^3+4x^2+x+4}=\frac{x^2\left(x-4\right)+\left(x-4\right)}{x^2\left(x+4\right)+\left(x+4\right)}=\frac{\left(x-4\right)\left(x^2+1\right)}{\left(x+4\right)\left(x^2+1\right)}$.
  Zauważmy, że jedynym rzeczywistym mejscem zerowym mianownika $\left(x+4\right)\left(x^2+1\right)$ jest $x=-4$, bo wyrażenie $x^2+1$ nie przyjmuje wartości $0$ dla żadnej liczby rzeczywistej. Ponadto możemy ułamek skrócić przez $x^2+1$. Zatem
  $\frac{x^3-4x^2+x-4}{x^3+4x^2+x+4}=\frac{x^2\left(x-4\right)+\left(x-4\right)}{x^2\left(x+4\right)+\left(x+4\right)}=\frac{\left(x-4\right)\left(x^2+1\right)}{\left(x+4\right)\left(x^2+1\right)}=\frac{x-4}{x+4}$; $x\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{-4\right\}$.

• Wszystkie trzy wyrażenia można zatem sprowadzić do postaci $\frac{x-4}{x+4}$, wszystkie mają taką samą dziedzinę $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-4\right\}$, są więc równe.

dla wielomianu $W\left(x\right)$ jednej zmiennej $x$ to liczba $x_0$ taka, że $W\left(x_0\right)=0$

wyrażenia wymierne są równe, gdy mają tą samą dziedzinę i dla każdego argumentu z dziedziny przyjmują odpowiednio te same wartości

wielomian określony wzorem $W\left(x\right)=0$ (czyli funkcja stała przyjmująca wartość $0$ dla każdej liczby rzeczywistej); wielomian ten nie ma określonego stopnia

zmiennej rzeczywistej $x$ to wyrażenie algebraiczne postaci $\frac{P\left(x\right)}{Q\left(x\right)}$, w którym $P\left(x\right)$ i $Q\left(x\right)$ są wielomianami zmiennej $x$, przy czym $Q\left(x\right)$ nie jest wielomianem zerowym.

to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem pierwiastków wielomianu $Q\left(x\right)$