Równania liniowe nazywamy równoważnymi, gdy mają ten sam zbiór rozwiązań.

• Jeśli w danym równaniu uprościmy wyrażenia znajdujące się po każdej stronie znaku równości (opuścimy nawiasy, wykonamy redukcję wyrazów podobnych), to otrzymane równanie jest równoważne danemu.

• Jeśli do obu stron danego równania dodamy tę samą liczbę (to samo wyrażenie), to otrzymane równanie jest równoważne danemu.

• Jeśli obie strony danego równania pomnożymy przez tę samą liczbę (to samo wyrażenie), która w dziedzinie równania nie przyjmuje wartości równych zeru, to otrzymane równanie jest równoważne danemu.

Układem równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy koniunkcję dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Układ taki przyjmuje postać:

gdzie:
$x$ oraz $y$ – oznaczają niewiadome,
$a_1$, $a_2$, $b_1$ oraz $b_2$ – współczynniki przy niewiadomych odpowiednio $x$ oraz $y$, przy czym przynajmniej jedna z pary liczb $a_1$ i $a_2$ oraz $b_1$ i $b_2$ jest różna od zera,
$c_1$ i $c_1$ – nazywamy wyrazami wolnymi.

Rozwiązaniem takiego układu równań jest każda para liczb spełniających jednocześnie każde równanie danego układu równań.

Przy czym taki układ równań może mieć jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania.

Dwa układy równań liniowych nazywamy równoważnymi, gdy mają ten sam zbiór rozwiązań.

Dany jest układ równań

$\left\{\begin{array}{l}\frac{{\left(x+3\right)}^2}{3}+2·\left(x-2y^2\right)=\frac{1}{3}{x}^2-{\left(2y-1\right)}^2\\ \frac{2x-y}{2}+\frac{3y-4x}{3}=\frac{x-1}{3}\end{array}\right.$

Przekształcimy równoważnie równania wchodzące w jego skład.

$\left\{\begin{array}{ll}\frac{{\left(x+3\right)}^2}{3}+2·\left(x-2y^2\right)=\frac{1}{3}{x}^2-{\left(2y-1\right)}^2& \text{mnożymy obie strony równania przez} 3\\ \frac{2x-y}{2}+\frac{3y-4x}{3}=\frac{x-1}{3}& \text{mnożymy obie strony równania przez} 6\end{array}\right.$

W otrzymanym układzie równoważnym

$\left\{\begin{array}{ll}{\left(x+3\right)}^2+6·\left(x-2y^2\right)=x^2-3·{\left(2y-1\right)}^2& \text{stosujemy wzory skróconego mnożenia}\\ 3·\left(2x-y\right)+2·\left(3y-4x\right)=2·\left(x-1\right)& \text{usuwamy nawiasy}\end{array}\right.$

W otrzymanym układzie równoważnym

$\left\{\begin{array}{ll}{x}^2+6x+9+6·\left(x-2y^2\right)=x^2-3·\left(4y^2-4y+1\right)& \text{usuwamy nawias}\\ 6x-3y+6y-8x=2x-2& \text{redukujemy wyrazy podobne}\end{array}\right.$

W otrzymanym układzie równoważnym

$\left\{\begin{array}{ll}{x}^2+6x+9+6x-12y^2=x^2-12y^2+12y-3& \text{redukujemy wyrazy podobne}\\ -4x+3y=-2& \end{array}\right.$

W otrzymanym układzie równoważnym

$\left\{\begin{array}{ll}12x-12y=-12& \text{dzielimy obie strony równania przez} 12\\ -4x+3y=-2& \end{array}\right.$

Otrzymaliśmy układ równań

$\left\{\begin{array}{l}x-y=-1\\ -4x+3y=-2\end{array}\right.$

równoważny do układu

$\left\{\begin{array}{l}\frac{{\left(x+3\right)}^2}{3}+2·\left(x-2y^2\right)=\frac{1}{3}{x}^2-{\left(2y-1\right)}^2\\ \frac{2x-y}{2}+\frac{3y-4x}{3}=\frac{x-1}{3}\end{array}\right.$

Rozwiązaniem tego układu jest para liczb $\left\{\begin{array}{l}x=5\\ y=6\end{array}\right.$ (sprawdź).

Jeśli z jednego układu równań wyznaczymy jedną niewiadomą jako funkcję drugiej i otrzymane wyrażenie podstawimy do drugiego równania, to układ równań złożony z pierwszego równania i tak przekształconego drugiego równania jest równoważny danemu.

Dane są układy równań $\left\{\begin{array}{l}x+y=15\\ x-y=7\end{array}\right.$ oraz $\left\{\begin{array}{l}x=15-y \\ 15-y-y=7\end{array}\right.$.

Na podstawie powyższego twierdzenia są to układy równoważne.

Sprawdzimy prawdziwość tej tezy.

Z drugiego równania układu równań $\left\{\begin{array}{l}x=15-y \\ 15-y-y=7\end{array}\right.$ możemy łatwo obliczyć, że $y=4$.

Wtedy, podstawiając tę wartość do pierwszego równania, otrzymujemy $x=11$.

Zatem rozwiązaniem drugiego układu równań jest para liczb $\left\{\begin{array}{l}x=11\\ y=4\end{array}\right.$.

Sprawdzimy, czy para ta spełnia pierwszy układ równań $\left\{\begin{array}{l}x+y=15\\ x-y=7\end{array}\right.$.

Podstawiamy podane wartości $\left\{\begin{array}{l}x=11\\ y=4\end{array}\right.$ w miejsca niewiadomych w równaniach składowych i sprawdzamy, czy lewe strony są równe odpowiednio prawym stronom tych równań.

$L_1=x+y=11+4=15=P_1$

$L_2=x-y=11-4=7=P_2$

A więc para liczb $\left\{\begin{array}{l}x=11\\ y=4\end{array}\right.$ spełnia również pierwszy układ równań.

Zgodnie z definicją układy $\left\{\begin{array}{l}x+y=15\\ x-y=7\end{array}\right.$ oraz $\left\{\begin{array}{l}x=15-y\\ 15-y-y=7\end{array}\right.$ są więc równoważne.

Dany jest układ równań $\left\{\begin{array}{l}-3y+x=14\\ 2x+3·\left(x+y\right)=-2\end{array}\right.$.

Przekształcając równoważnie jego równania składowe oraz stosując powyższe twierdzenie, otrzymamy kolejne układy równoważne i znajdziemy spełniającą go parę liczb.

$\left\{\begin{array}{l}-3y+x=14\\ 2x+3·\left(x+y\right)=-2\end{array}\right.$

Z pierwszego równania wyznaczamy niewiadomą $x$.

Drugie równanie przekształcamy równoważnie, opuszczając nawias i redukując wyrażenia podobne po lewej stronie równania.

$\left\{\begin{array}{l}x=14+3y\\ 2x+3x+3y=-2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=14+3y\\ 5x+3y=-2\end{array}\right.$

Wyznaczony w pierwszym równaniu $x$, podstawiamy do drugiego równania. Zgodnie z twierdzeniem, otrzymujemy układ równoważny.

$\left\{\begin{array}{l}x=14+3y\\ 5·\left(14+3y\right)+3y=-2\end{array}\right.$

Pierwsze równanie przepisujemy, a drugie rozwiązujemy, przekształcając równoważnie, opuszczając najpierw nawias, a następnie redukując wyrazy podobne.

$\left\{\begin{array}{l}x=14+3y\\ 70+15y+3y=-2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=14+3y\\ 70+18y=-2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=14+3y\\ 18y=-72 |:18\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=14+3y\\ y=-4\end{array}\right.$

Obliczoną w ten sposób wartość niewiadomej $y$, wstawiamy do pierwszego równania, ponownie korzystając z podanego wyżej twierdzenia.

Rozwiązujemy równanie, obliczając wartość niewiadomej $x$.

$\left\{\begin{array}{l}x=14+3·\left(-4\right)\\ y=-4\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-4\end{array}\right.$

Rozwiązaniem danego w przykładzie układu równań liniowych z dwiema niewiadomymiukład równań liniowych z dwiema niewiadomymiukładu równań liniowych z dwiema niewiadomymi $\left\{\begin{array}{l}-3y+x=14\\ 2x+3·\left(x+y\right)=-2\end{array}\right.$ jest para liczb $\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=-4\end{array}\right.$.

Dane są układy równań $\left\{\begin{array}{l}2x-3y=11\\ -2x+5y=-5\end{array}\right.$ oraz $\left\{\begin{array}{l}2x-3y=11\\ 0x+2y=6 \end{array}\right.$.

Sprawdzimy, czy zgodnie z powyższym twierdzeniem są to układy równoważnerównoważne układy równańukłady równoważne.

Z drugiego równania układu równań $\left\{\begin{array}{l}2x-3y=11\\ 0x+2y=6 \end{array}\right.$ możemy łatwo obliczyć, że $y=3$.

Wtedy, podstawiając tę wartość do pierwszego równania, otrzymujemy

$\left\{\begin{array}{l}2x-3·3=11\\ y=3\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}2x=20\\ y=3\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=10\\ y=3\end{array}\right.$

Zatem rozwiązaniem drugiego układu równań jest para liczb $\left\{\begin{array}{l}x=10\\ y=3\end{array}\right.$.

Sprawdzimy, czy para ta spełnia pierwszy układ równań $\left\{\begin{array}{l}2x-3y=11\\ -2x+5y=-5\end{array}\right.$.

Podstawiamy w tym celu, podane wartości $\left\{\begin{array}{l}x=10\\ y=3\end{array}\right.$ w miejsca niewiadomych w równaniach składowych i sprawdzamy, czy lewe strony są równe odpowiednio prawym stronom tych równań.

$L_1=2x-3y=2·10-3·3=11=P_1$

$L_2=-2x+5y=-2·10+5·3=-5=P_2$

A więc para liczb $\left\{\begin{array}{l}x=10\\ y=3\end{array}\right.$ spełnia również pierwszy układ równań.

Zgodnie z definicją układy równań $\left\{\begin{array}{l}2x-3y=11\\ -2x+5y=-5\end{array}\right.$ oraz $\left\{\begin{array}{l}2x-3y=11\\ 0x+2y=6\end{array}\right.$ są więc równoważne.

Zauważmy, że w powyższym przykładzie drugie równanie w drugim układzie jest sumą równań z pierwszego układu. Zanotujmy spostrzeżenie:

Jeśli obie strony każdego z równań (lub jednego z nich) danego układu równań pomnożymy przez dowolne liczby różne od zera, a następnie równania te dodamy stronami i tak otrzymanym równaniem zastąpimy jedno z równań układu, to otrzymamy układ równań równoważny danemu.

Dany jest układ równań $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x+\sqrt{2}y=\sqrt{2}\\ \sqrt{6}x+y=1\end{array}\right.$.

Przekształcając równoważnie równania składowe oraz stosując powyższe twierdzenie, otrzymamy kolejne układy równoważne i ostatecznie znajdziemy zbiór rozwiązań wyjściowego układu.

Obie strony pierwszego równania mnożymy przez $\left(-\sqrt{2}\right)$.

$\left\{\begin{array}{l}-\sqrt{6}x-2y=-2\\ \sqrt{6}x+y=1\end{array}\right.$

Równania dodamy stronami i tak otrzymanym równaniem zastąpimy pierwsze z równań układu.

Otrzymany układ równań jest, zgodnie z twierdzeniem, równoważny danemu.

$\left\{\begin{array}{l}-2y+y=-2+1\\ \sqrt{6}x+y=1\end{array}\right.$

Redukując wyrazy podobne, rozwiązujemy pierwsze równanie.

$\left\{\begin{array}{l}y=1\\ \sqrt{6}x+y=1\end{array}\right.$

Obliczoną w ten sposób wartość niewiadomej $y$, wstawiamy do drugiego równania i obliczamy wartość niewiadomej $x$.

$\left\{\begin{array}{l}y=1\\ \sqrt{6}x+1=1\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y=1\\ \sqrt{6}x=0\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}y=1\\ x=0\end{array}\right.$

Rozwiązaniem danego w przykładzie układu równań liniowych $\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x+\sqrt{2}y=\sqrt{2}\\ \sqrt{6}x+y=1\end{array}\right.$ jest para liczb $\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=1\end{array}\right.$.

Wróćmy do układu równań z Przykładu 1:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{{\left(x+3\right)}^2}{3}+2·\left(x-2y^2\right)=\frac{1}{3}{x}^2-{\left(2y-1\right)}^2\\ \frac{2x-y}{2}+\frac{3y-4x}{3}=\frac{x-1}{3}\end{array}\right.$

Przekształcając równoważnie jego równania składowe, doprowadziliśmy układ do prostszej postaci:

$\left\{\begin{array}{l}x-y=-1\\ -4x+3y=-2\end{array}\right.$

Stosując przedstawione w materiale twierdzenia możemy znaleźć jego rozwiązanie.

Wyznaczamy z pierwszego równania niewiadomą $x$ i podstawiamy do drugiego równania.

Drugie równanie przekształcamy równoważnie, opuszczając nawias i redukując wyrażenia podobne po lewej stronie równania.

$\left\{\begin{array}{l}x=y-1\\ -4·\left(y-1\right)+3y=-2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=y-1\\ -4y+4+3y=-2\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=y-1\\ -y=-6\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=y-1\\ y=6\end{array}\right.$

Obliczoną w ten sposób wartość niewiadomej $y$, wstawiamy do pierwszego równania i obliczamy wartość niewiadomej $x$.

$\left\{\begin{array}{l}x=6-1\\ y=6\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=5\\ y=6\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x-y=-1\\ -4x+3y=-2\end{array}\right.$

Obie strony pierwszego równania mnożymy przez $4$.

$\left\{\begin{array}{l}4x-4y=-4\\ -4x+3y=-2\end{array}\right.$

Równania dodamy stronami i tak otrzymanym równaniem zastąpimy drugie z równań układu. Otrzymany układ równań jest, zgodnie z twierdzeniem, równoważny danemu.

$\left\{\begin{array}{l}x-y=-1\\ -4y+3y=-4-2\end{array}\right.$

Redukując wyrazy podobne, rozwiązujemy drugie równanie.

$\left\{\begin{array}{l}x-y=-1\\ -y=-6\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x-y=-1\\ y=6\end{array}\right.$

Obliczoną w ten sposób wartość niewiadomej $y$, wstawiamy do pierwszego równania i obliczamy wartość niewiadomej $x$.

$\left\{\begin{array}{l}x-6=-1\\ y=6\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}x=5\\ y=6\end{array}\right.$

Rozwiązaniem układu równań

$\left\{\begin{array}{l}\frac{{\left(x+3\right)}^2}{3}+2·\left(x-2y^2\right)=\frac{1}{3}{x}^2-{\left(2y-1\right)}^2\\ \frac{2x-y}{2}+\frac{3y-4x}{3}=\frac{x-1}{3}\end{array}\right.$ jest para liczb $\left\{\begin{array}{l}x=5\\ y=6\end{array}\right.$.

układ równań postaci:

gdzie przynajmniej jedna z pary liczb $a_1$ i $a_2$ oraz $b_1$ i $b_2$ jest różna od zera

układy równań, które mają ten sam zbiór rozwiązań