Przeczytaj
Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy argumentów
Podstawowym wzorem, z którego będziemy korzystać w tej lekcji, to wzór na sinus sumysinus sumy argumentów:
, dla .
Przedstawimy sposób wykorzystania tego wzoru:
Obliczymy .
Korzystając ze wzoru
otrzymujemy:
.
Korzystając ze wzoru na sinus sumysinus sumy argumentów wyprowadzimy wszystkie potrzebne wzory na sinus, cosinus, tangens sumy lub różnicy argumentów.
Różnica to inaczej suma .
Zatem , i korzystając ze wzoru na sinus sumy otrzymujemy:
.
Ponieważ funkcja jest funkcją nieparzystą i funkcja jest funkcją parzystą otrzymujemy:
.
, dla .
Wyznaczymy teraz wzór na cosinus sumy argumentów. W tym celu wykorzystamy wzór redukcyjny: .
A zatem:
.
, dla .
Analogicznie wyprowadzimy wzór na cosinus różnicy:
, dla .
Obliczymy .
Rozwiązanie
.
Obliczymy, jaki zbiór wartości ma funkcja .
Rozwiązanie
Zauważmy, że dla każdej wartości rzeczywistej zachodzi równość
oraz że .
Zapiszmy wyrażenie jako:
.
Zauważmy, że liczby i mają tę własność, że suma ich kwadratów jest równa . Zatem liczby te są odpowiednio sinusem i cosinusem pewnego argumentu . Wobec tego wzór funkcji można zapisać następująco:
,
czyli .
Zatem zbiorem ich wartości funkcji jest przedział .
Przedstawimy teraz wzory na tangens sumy oraz różnicy argumentów. W odróżnieniu od poprzednich wzorów, niezbędne będą założenia dotyczące wartości argumentów.
Załóżmy, że , , , gdzie .
Wówczas: .
Dowód
.
Załóżmy, że , , , gdzie .
Wówczas .
Dowód
Obliczymy .
Rozwiązanie
Korzystając ze wzoru na tangens sumy argumentów otrzymujemy:
.
Uzasadnimy, że .
Rozwiązanie
Wykorzystamy fakt, że . Wówczas zachodzi równość:
.
Słownik
wzór na sinus sumy argumentów, na podstawie którego można wyprowadzić wszystkie wzory na funkcje trygonometryczne sumy i różnicy argumentów.