Przekrojem bryły nazywamy figurę płaską, która powstaje przez przecięcie bryły płaszczyzną – jest to część wspólna bryły i płaszczyzny.

Będziemy zajmować się przekrojami sześcianu. Dokonamy klasyfikacji przekrojów sześcianu ze względu na kształt przekroju.

Podział przekrojów sześcianu ze względu na kształt

Przekrójprzekrój bryłyPrzekrój sześcianu może być trójkątem, czworokątem, pięciokątem lub sześciokątem.

Przekrój trójkątny

Wśród wierzchołków trójkąta, który jest przekrojem sześcianu, znajduje się jeden, dwa lub trzy wierzchołki sześcianu lub też nie znajduje się żaden wierzchołek sześcianu – przy czym, jeśli są to dwa wierzchołki, to nie są one końcami tej samej krawędzi sześcianu.

RCyvmT6es4hDm

Ilustracja przedstawia cztery takie same sześciany A, B, C, D, E, F, G, H. W każdym zaznaczony trójkątny przekrój na cztery różne sposoby. W pierwszy poprowadzony jest on w punktach B, D, G. W drugim łączy bok DA, CD i DH. W trzecim łączy boki EF, HE i punkt A. Czwarty łączy bok DA z punktem E i B.

Przykład 1

Sześcian $ABCDEFGH$ przecinamy płaszczyzną $JLM$ jak na rysunku:

RAYhYro6yrZi7

Ilustracja przedstawia sześcian A, B, C, D, E, F, G, H. Wyznaczono punkty L, M, J. L tak, że jest umieszczony w jednej trzeciej długości boku DH. J w jednej trzeciej długości odcinka DA. M w jednej trzeciej długości boku DC. Punkty te połączono trójkątną płaszczyzną.

Pokażemy, że jeśli $\left|DL\right|=\left|DJ\right|$, to przekrój $JLM$ jest trójkątem równoramiennym.

Rozwiązanie

Wprowadźmy oznaczenie $\left|DL\right|=\left|DJ\right|=x$ oraz $\left|DM\right|=y$. Z twierdzenia Pitagorasa mamy ${\left|JM\right|}^2=x^2+y^2$ oraz ${\left|LM\right|}^2=x^2+y^2$. A zatem $\left|JM\right|=\left|LM\right|$. Czyli trójkąt $JLM$ jest równoramienny.

Przykład 2

Pokażemy, korzystając z uwagi powyżej, że przekrójprzekrój bryłyprzekrój sześcianu nie może być trójkątem prostokątnym.

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $x$, $y$, $z$ odległości wierzchołków trójkąta od wspólnego wierzchołka krawędzi, na których leżą wierzchołki trójkąta (przy czym $x, y, z>0$, bo w przeciwnym przypadku trójkąt nie byłby przekrojem) oraz przez $a$, $b$, $c$ długości boków tego trójkąta.

R8g5itt3Xk3z8

Ilustracja przedstawia sześcian A, B, C, D, E, F, G, H. Wyznaczono punkty L, M, J. L tak, że jest umieszczony w y długości boku DH. J w x długości odcinka DA. M w z długości boku DC. Punkty te połączono trójkątną płaszczyzną o bokach a łączącym L z J. Boku b łączącym J z M. Boku c łączącym L z M.

Z twierdzenia Pitagorasa mamy:

$c^2=y^2+z^2$

$b^2=x^2+z^2$

$a^2=x^2+y^2$

Zauważmy, że:

$a^2+b^2=x^2+y^2+x^2+z^2=2x^2+y^2+z^2>c^2$

$b^2+c^2=x^2+z^2+y^2+z^2=2z^2+x^2+y^2>a^2$

$a^2+c^2=x^2+y^2+y^2+z^2=2y^2+x^2+z^2>b^2$

A zatem z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Pitagorasa żaden z kątów w tym trójkącie nie jest prosty.

Wnioski

1. Przekrój trójkątny w sześcianie jest trójkątem ostrokątnym o dowolnych miarach kątów ostrych.

2. Przekrój trójkątny w sześcianie może być trójkątem równobocznym. Największym trójkątem równobocznym, który może być przekrojem sześcianu jest trójkąt, którego wierzchołki są wierzchołkami sześcianu, a boki są przekątnymi ścian bocznych.

Przekrój czworokątny

Mamy wiele przekrojówprzekrój bryłyprzekrojów sześcianu w kształcie czworokąta.

Kwadrat

Przekrój, którego wszystkie boki są prostopadłe do odpowiednich krawędzi sześcianu, jest kwadratem.

Ry5G4sBndL6bn

Zdjęcie przedstawia sześcian w którym umieszczono kwadratową płaszczyznę prostopadłą do podstawy owej figury.

Prostokąt niebędący kwadratem

R1WNts7EfFbmp

Zdjęcie przedstawia trzy sześciany A, B, C, D, E, F, G, H. W każdym umieszczono prostokątne płaszczyzny na różne sposoby tak aby nie były one kwadratami. Na przykład płaszczyzna wychodząca z boku AB do środków boku HE i GH.

Przekrój w kształcie prostokąta otrzymamy przecinając sześcian płaszczyzną prostopadłą do ściany sześcianu. Przy czym, jeśli płaszczyzna ta będzie równoległa do płaszczyzny zawierającej krawędź tej ściany, to prostokąt ten będzie kwadratem.

Ważne!

Największym przekrojem w kształcie prostokąta, jaki otrzymamy, jest prostokąt, którego bokami są przeciwległe krawędzie sześcianu oraz przekątne jego ścian.

RVnidYumUGAPb

Zdjęcie przedstawia sześcian A, B, C, D, E, F, G, H. W figurze wyznaczono płaszczyznę będącą prostokątem o największym możliwym polu powierzchni. Poprowadzono ją między punktami B, D, F, H.

Równoległobok

Przekrój czworokątny sześcianu, którego po dwa wierzchołki znajdują się na równoległych ścianach, jest równoległobokiem.

R1IUwvik3JtxZ

Zdjęcie przedstawia dwa sześciany A, B, C, D, E, F, G, H. W każdym umieszczono płaszczyzny w kształcie równoległoboków. Na przykład płaszczyzna wychodząca z punkt D łącząca punkt F i boki GH i AB.

Przykład 3

Pokażemy, że jeśli punkty $J$ i $M$ są środkami odcinków $AD$ i $FG$ w sześcianie na rysunku, to równoległobok $HJBM$ jest rombem.

RkfmUDtiHZwaI

Zdjęcie przedstawia sześcian A, B, C, D, E, F, G, H. Umieszczono w nim płaszczyznę w kształcie równoległoboku. Płaszczyzna łączy punkt H z B. Dodatkowo tworzy dwa nowe punkty J i M znajdujące się kolejno na boku DA i GF.

Rozwiązanie

Wprowadźmy oznaczenia na rysunku.

Rq9UlNtKW8jY7

Zdjęcie przedstawia sześcian o boku 2x A, B, C, D, E, F, G, H. Umieszczono w nim płaszczyznę w kształcie równoległoboku. Płaszczyzna łączy punkt H z B. Dodatkowo tworzy dwa nowe punkty J i M znajdujące się kolejno w połowie boku DA i połowie boku GF.

Zauważmy, że trójkąty $GHM$, $MFB$, $BAJ$, $JDH$ są trójkątami prostokątnymi o tych samych długościach przyprostokątnych, a zatem są przystające. Czyli $\left|HM\right|=\left|MB\right|=\left|BJ\right|=\left|JH\right|$. A zatem równoległobok $BJHM$ jest rombem.

Trapez

Przekrój czworokątny sześcianu, którego dokładnie jedna para boków leży na równoległych ścianach, jest trapezem, który nie jest równoległobokiem.

R5zG82tWmXXmn

Zdjęcie przedstawia dwa sześciany A, B, C, D, E, F, G, H. W każdym umieszczono płaszczyzny w kształcie trapezów. Na przykład płaszczyzna wychodząca ze środków boków EH i HG poprowadzona do punktu A i C.

Wniosek:

Aby przekrój był czworokątem, co najmniej jedna para boków tego przekroju musi leżeć na płaszczyznach równoległych. Przecięcie dwóch ścian równoległych trzecią płaszczyzną daje dwa równoległe boki przekroju. Zatem każdy przekrój sześcianu w kształcie czworokąta jest trapezem.

Przekrój pięciokątny

Jeżeli płaszczyzna przetnie pięć ścian sześcianu, to jest on pięciokątem.

R17nwoA4NC8yf

Zdjęcie przedstawia sześcian A, B, C, D, E, F, G, H. Umieszczono płaszczyznę o kształcie pięciokąta. Wierzchołki płaszczyzny znajdują się na bokach HG, EF, AE, AB, BC.

Przekrój sześciokątny

RQF7px0p35pqb

Zdjęcie przedstawia sześcian A, B, C, D, E, F, G, H. Umieszczono płaszczyznę o kształcie sześciokąta. Wierzchołki płaszczyzny znajdują się na bokach HG, GF, DH, DA, AB, BF.

Przykład 5

Sprawdź, czy istnieje przekrój sześcianu w kształcie sześciokąta foremnego.

Rozwiązanie

Przekrój sześciokątny przechodzący przez środki krawędzi $AD$, $AB$, $BF$, $FG$, $GH$, $HD$ na rysunku poniżej jest sześciokątem foremnym. Wszystkie boki tego sześciokąta mają długość $\frac{\left|AB\right|\sqrt{2}}{2}$.

R1KskrbrhFIhY

Zdjęcie przedstawia sześcian A, B, C, D, E, F, G, H. Umieszczono w nim płaszczyznę w kształcie sześciokąta foremnego. Wierzchołki płaszczyzny znajdują się w połowach boków HG, GF, BF, BA, AD, DH.

Słownik