Przeczytaj

Wiesz już, że operacje algorytmiczne wykonywane przez komputer obarczone są błędami. Wyróżnić możemy kilka źródeł nieprawidłowości w obliczeniach numerycznych, np.:

błędy wejściowe (niedostateczna dokładność danych źródłowych),
błędy reprezentacji (ograniczona liczba bitów na reprezentację danych, konwersja między systemami liczbowymi),
błędy obcięcia (uproszczenia obliczeń),
błędy zaokrągleń (wynikające z reprezentacji danych).

Błędy wejściowe występują w sytuacji, kiedy dane wprowadzone do pamięci komputera odbiegają od dokładnych, rzeczywistych wartości. Innymi słowy, kiedy wyniki obarczone są błędem pomiaru, np. w przypadku mierzenia wielkości fizycznych.

Błędy reprezentacji wynikają z ograniczeń w możliwości przechowywania bitów. Na przykład pi ma nieskończoną liczbę cyfr po przecinku, ale ze względu na ograniczenia precyzji w komputerach można przechowywać tylko część z nich (zależnie od systemu, np. 16, 32, 64, 128 i tak dalej).

Błędy obcięcia wynikają z procedur numerycznych przy zmniejszaniu liczby działań. Związane są z przybliżaniem obliczeń nieskończonych. Mamy z nimi do czynienia przy obliczaniu całek oznaczonych.

Błędy zaokrągleń występują, ponieważ komputery mają ograniczoną zdolność do reprezentowania liczb. Zaokrąglając daną liczbę, nie podajemy zatem jej dokładnej wartości, a jej przybliżenie.

Polecenie 1

Zastanów się, czy są problemy, w których nie możemy stosować przybliżeń i zaokrągleń.

Błędy przybliżeń

Przybliżając liczbę (czyli wykonując działania za pomocą komputera, ponieważ uzyskane wyniki zawsze są przybliżeniami), popełniamy błąd przybliżenia. Wyróżniamy błąd bezwzględny oraz błąd względny przybliżenia.

Ważne!

Błąd przybliżenia to różnica między wartością przybliżoną (tą, którą obliczyliśmy, oszacowaliśmy lub zmierzyliśmy) a wartością dokładną (oczekiwaną).

Błąd bezwzględny

Błąd bezwzględny wyraża bezwzględną różnicę pomiędzy wartością zmierzoną a dokładną. Obliczamy go zgodnie ze wzorem:

Δ x = | x - x_{0} |

gdzie $x$ to dokładna wartość, $x_{0}$ oznacza zmierzoną wartość, a $Δ x$ – błąd bezwzględny.

Ważne!

Błąd bezwzględny jest zawsze liczbą nieujemną. Wyrażamy go w takich samych jednostkach jak wartość, którą przybliżamy.

Przykład 1

Martyna i Grzegorz postanowili kupić nową grę planszową. Jednak pozycja, którą wybrali, była dostępna jedynie w zagranicznym sklepie, a jej cenę podano w euro. Martyna oszacowała, że za grę kosztującą 50 euro zapłacą 250 złotych. Grzegorz się z nią nie zgadzał i twierdził, że wydadzą 225 złotych. Ostatecznie zapłacili 242 złote. Jaki błąd przybliżenia popełniła Martyna, a jaki Grzegorz?

$x_{M} = 250 z ł$

$x_{G} = 225 z ł$

Wartość dokładna: $x = 242 z ł$

Przybliżenie wykonane przez Martynę to przybliżenie z nadmiarem. Błąd tego przybliżenia wynosi $8 z ł$ .

Przybliżenie wykonane przez Grzegorza to przybliżenie z niedomiarem. Błąd tego przybliżenia wynosi $17 z ł$ .

Przykład 2

Przybliżenie pewnej liczby $x$ jest równe $3, 83$ . Błąd bezwzględny tego przybliżenia wynosi $\frac{1}{300}$ . Oblicz dokładną wartość liczby $x$ .

Korzystając ze wzoru na błąd bezwzględny przybliżenia, możemy zapisać:

|x - 3, 83| = \frac{1}{300}

Rozważamy zatem dwie możliwości:

x - 3, 83 = \frac{1}{300}

lub

x - 3, 83 = - \frac{1}{300}

x = \frac{1}{300} + 3, 83

lub

x = - \frac{1}{300} + 3, 83

x = \frac{1}{300} + \frac{383}{100}

lub

x = - \frac{1}{300} + \frac{383}{100}

x = \frac{1 + 1149}{300}

lub

x = \frac{- 1 + 1149}{300}

x = \frac{1150}{300}

lub

x = \frac{1148}{300}

x = 3 \frac{5}{6}

lub

x = 3 \frac{62}{75}

W pierwszym przypadku $x > p$ , więc liczba $3, 83$ to przybliżenie z niedomiarem.

W drugim przypadku $x < p$ , zatem liczba $3, 83$ to przybliżenie z nadmiarem.

Więcej przykładów znajdziesz w e‑materiale Błąd przybliżenia. Błąd bezwzględny przybliżeniaP1HbZF1liBłąd przybliżenia. Błąd bezwzględny przybliżenia.

Błąd względny

Błąd względny to stosunek błędu bezwzględnego do oczekiwanego wyniku. Obliczamy go zgodnie ze wzorem:

\partial_{x} = \frac{|x - x_{0}|}{|x|} = \frac{∆ x}{x}

gdzie $x$ to dokładna wartość, $x_{0}$ oznacza zmierzoną wartość, $Δ x$ – błąd bezwzględny, a za pomocą $δ$ określamy błąd względny.

Błąd względny najczęściej jest wyrażany w procentach i nazywany wtedy błędem procentowym:

\partial_{x} = \frac{∆ x}{x} \times 100 %

Ważne!

Błąd względny jest wielkością niemianowaną, czyli nie ma jednostki miary. Błąd procentowy podajemy w procentach.

Przeanalizujmy omówiony wcześniej przykład, tym razem jednak obliczymy błąd względny.

Przykład 3

Wiemy, że gra Martyny i Grzegorza kosztowała $242 z ł$ , błąd bezwzględny przybliżenia Martyny wynosił $∆ x_{M} = 8 z ł$ , a Grzegorza $∆ x_{G} = 17 z ł$ . Ile zatem wynoszą błędy względne?

Błąd Martyny wynosi:

\partial_{M} = \frac{8}{242} = 0, 033

Błąd Grzegorza wynosi:

\partial_{G} = \frac{17}{242} = 0, 070

Popełnione przez nich błędy procentowe to:

\partial_{M} = \frac{8}{242} \times 100 % = 3, 3 %

\partial_{G} = \frac{17}{242} \times 100 % = 7 %

Przykład 4

Jeśli podamy przybliżenie odległości z Warszawy do Krakowa, dla którego błąd bezwzględny to $25 km$ oraz przybliżenie długości trasy z Warszawy do Londynu z błędem bezwzględnym wynoszącym $25 km$ , to otrzymane błędy bezwzględne są sobie równe. Widzimy jednak, że ich znaczenie jest zupełnie inne.

Rzeczywista odległość z Warszawy do Krakowa wynosi $x = 320 km$ .

Błąd bezwzględny $∆_{x}$ wynosi $25 km$ , więc błąd względny przybliżenia wynosi:

δ_{x} = \frac{∆_{x}}{|x|} = \frac{25}{320} \approx 0, 078

Błąd procentowy to:

δ_{x} = \frac{∆_{x}}{|x|} \cdot 100 % \approx 0, 078 \cdot 100 % = 7, 8 %

Z kolei rzeczywista odległość z Warszawy do Londynu wynosi $y = 1625 k m$ .

Jeżeli błąd bezwzględny $∆_{y}$ wyniesie $25 km$ , to błąd względny przybliżenia wynosi:

δ_{y} = \frac{∆_{y}}{|y|} = \frac{25}{1625} \approx 0, 015

Natomiast błąd procentowy to:

δ_{y} = \frac{∆_{y}}{|y|} \cdot 100 % \approx 0, 015 \cdot 100 % = 1, 5 %

Podsumowując, chociaż w obu szacunkach błąd bezwzględny wynosi $25 km$ , to w przypadku drogi z Warszawy do Krakowa pomyliliśmy się o około $8 %$ , a w kwestii trasy Warszawa‑Londyn tylko o około $1, 5 %$ .

Więcej przykładów znajdziesz w e‑materiale Błąd względny przybliżeniaPIgTpdQqOBłąd względny przybliżenia.

Słownik

błąd bezwzględny

wyraża bezwzględną różnicę pomiędzy wartością zmierzoną a dokładną; obliczamy go zgodnie ze wzorem:

Δ x = | x - x_{0} |

gdzie $x$ to dokładna wartość, $x_{0}$ oznacza zmierzoną wartość, a $Δ x$ – błąd bezwzględny

błąd względny

stosunek błędu bezwzględnego do oczekiwanego wyniku; obliczamy go zgodnie ze wzorem:

δ = \frac{| x - x_{0} |}{x} \cdot 100 % = \frac{Δ x}{x} \cdot 100 %

gdzie $x$ to dokładna wartość, $x_{0}$ oznacza zmierzoną wartość, $Δ x$ – błąd bezwzględny, a za pomocą $δ$ określamy błąd względny

przybliżenie

operacja zmniejszająca dokładność, z jaką prezentujemy liczbę; odbywa się poprzez pozbycie się z wartości ustalonej liczby miejsc po przecinku, przy założeniu, że ostatnią cyfrę przybliżenia (ostatnie zachowane miejsce po przecinku) zwiększamy o 1, gdy następuje po niej cyfra większa lub równa 5

Wprowadzenie

Animacja

Błędy przybliżeń

Błąd bezwzględny

Błąd względny

Słownik