W geometrii płaskiej bardzo często wykorzystuje się własności trójkątów prostokątnych, o kątach wewnętrznych:
,,,
,,.
Istnieje charakterystyczna relacja między długościami boków w każdym z tych trójkątów, w zależności od tego, jakie są miary kątów wewnętrznych trójkąta.
Trójkąt o kątach wewnętrznych ,,
Zauważmy, że taki trójkąt możemy otrzymać poprzez poprowadzenie wysokości o długości w trójkącie równobocznym o boku długości .
RT8NlM3tAdHGi
Długość wysokości możemy uzależnić od długości boku trójkąta równobocznego.
W tym celu użyjemy twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta o bokach długości , .
RjfHbGgSkNwwX
Otrzymujemy zatem:
W związku z tym, trójkąt o kątach wewnętrznych ,, ma boki odpowiednio o długościach ,,.
Trójkąt podobny do tego trójkąta w skali ma boki odpowiednio równe: , oraz .
Zatem dla trójkąta o kątach wewnętrznychtrójkąty charakterystycznetrójkąta o kątach wewnętrznych ,, zachodzą zależności między długościami jego boków takie, jak na poniższym rysunku.
RfXeLA1Mnuei9
Trójkąt o kątach wewnętrznych ,,
Zauważmy, że taki rodzaj trójkąta możemy otrzymać poprzez narysowanie przekątnej długości w kwadracie o boku długości .
Rx0tAFwr45ipV
Długość przekątnej możemy uzależnić od długości boku kwadratu.
W tym celu użyjemy twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta o bokach długości , oraz .
RQLQ4DfJnR8MZ
Zatem mamy:
Dla trójkąta o kątach wewnętrznychtrójkąty charakterystycznetrójkąta o kątach wewnętrznych ,, zachodzą zależności między długościami jego boków takie, jak na poniższym rysunku.
R10ir0t1H6mEU
Rozważany trójkąt jest prostokątny równoramienny.
Przykład 1
Obliczymy obwody trójkątów o wymiarach, jak na poniższych rysunkach.
Rysunek :
R1WGTSMZPGZLh
Rozwiązanie:
Jeżeli jest długością boku trójkąta, przy którym leżą kąty o miarach i , to do wyznaczenia wartości rozwiązujemy równanie:
, zatem .
W związku z tym .
Zatem obwód tego trójkąta wynosi:
.
Rysunek :
RaZPs1GIVvyhX
Rozwiązanie:
Jeżeli jest długością boku trójkąta, przy którym leżą kąty o miarach i , to do wyznaczenia wartości rozwiązujemy równanie:
, czyli .
Zatem obwód tego trójkąta wynosi:
.
Przykład 2
Wyznaczymy długości boków trójkątów z poniższych rysunków.
Rysunek – obwód trójkąta wynosi .
RyArPVYpMVlt6
Rozwiązanie:
Jeżeli jest długością boku trójkąta, przy którym leżą kąty o miarach i , to do wyznaczenia wartości rozwiązujemy równanie:
, a dalej:
.
Równanie możemy zapisać w postaci:
.
Zatem:
,
,
.
Długości boków tego trójkąta wynoszą odpowiednio: , oraz .
Rysunek – obwód trójkąta wynosi .
R4pbqWGaFeyYa
Rozwiązanie:
Jeżeli jest długością boku trójkąta, przy którym leżą kąty o miarach i , to do wyznaczenia wartości rozwiązujemy równanie:
, a dalej:
.
Równanie możemy zapisać w postaci:
,
.
Zatem:
,
.
Długości boków tego trójkąta wynoszą odpowiednio: , oraz .
Przykład 3
Wiadomo, że obwód trójkąta prostokątnego równoramiennego jest równy . Wyznaczymy pole tego trójkąta.
Rozwiązanie:
Wprowadźmy oznaczenia tak, jak na rysunku:
R1StFaGfhQRMg
Z równania na obwód trójkąta obliczamy wartość :
.
Równanie możemy zapisać w postaci:
,
.
Zatem:
.
W związku z tym pole tego trójkąta jest równe:
.
Zależności między bokami w trójkątach charakterystycznych możemy wykorzystać do rozwiązywania różnych problemów matematycznych.
Przykład 4
Wyznaczymy obwód trójkąta, jeżeli kąty przy jego podstawie mają miary i , a jego pole wynosi .
Rozwiązanie:
Wykonajmy rysunek pomocniczy do zadania. Jeżeli narysujemy wysokość tego trójkąta, to otrzymujemy dwa trójkąty charakterystyczne, jak na poniższym rysunku:
R1NmrhPR0uI9v
Jeżeli pole tego trójkąta wynosi , to do wyznaczenia wartości rozwiązujemy równanie:
Równanie przekształcamy do postaci
Zatem:
lub
Ponieważ , zatem .
Boki trójkąta mają długości:
,
,
.
Zatem obwód tego trójkąta wynosi:
.
Przykład 5
W trapezie kąty ostre przy podstawie mają miary i . Obliczymy długości ramion tego trapezu, jeżeli krótsza podstawa trapezu ma długość , a suma długości podstaw jest równa sumie długości ramion tego trapezu.
Rozwiązanie:
Narysujmy trapez i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.
R1HRRu0A7PEmj
Korzystając z zależności pomiędzy bokami w trójkącie o kątach ,, mamy:
Ponieważ suma długości podstaw tego trapezu jest równa sumie długości jego ramion, zatem do wyznaczenia wartości rozwiązujemy równanie:
Zatem ramiona trapezu mają długości:
Słownik
trójkąty charakterystyczne
trójkąty charakterystyczne
trójkąt prostokątny o kątach wewnętrznych ,, lub trójkąt prostokątny o kątach wewnętrznych ,,