Przeczytaj

W geometrii płaskiej bardzo często wykorzystuje się własności trójkątów prostokątnych, o kątach wewnętrznych:

$30 °$ , $60 °$ , $90 °$ ,
$45 °$ , $45 °$ , $90 °$ .

Istnieje charakterystyczna relacja między długościami boków w każdym z tych trójkątów, w zależności od tego, jakie są miary kątów wewnętrznych trójkąta.

Trójkąt o kątach wewnętrznych $30 °$ , $60 °$ , $90 °$

Zauważmy, że taki trójkąt możemy otrzymać poprzez poprowadzenie wysokości o długości $h$ w trójkącie równobocznym o boku długości $a$ .

RT8NlM3tAdHGi

Ilustracja przedstawia trójkąt równoboczny o boku a i kątach wewnętrznych o równej mierze sześćdziesięciu stopni. Z górnego wierzchołka upuszczono wysokość h na podstawę. Podstawa trójkąta została w ten sposób podzielona na dwa odcinki o długości a2 każdy. Między podstawą a wysokością zaznaczono kąt prosty. Między podstawą i bokami trójkąta zaznaczono kąty wewnętrzne o mierze sześćdziesięciu stopni. Kąt wewnętrzny przy górnym trójkąta został podzielony na pół przez wysokość h. Przy wierzchołku tym zaznaczono więc dwa kąty o mierze trzydziestu stopni.

Długość wysokości możemy uzależnić od długości boku trójkąta równobocznego.

W tym celu użyjemy twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta o bokach długości $h$ $, \frac{1}{2} a$ , $a$ .

RjfHbGgSkNwwX

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o pionowej przyprostokątnej h, o przeciwprostokątnej a oraz o podstawie a2. W trójkącie oznaczono wszystkie trzy kąty wewnętrzne. Między bokami h oraz a2 oznaczono kąt prosty, między bokami a2 oraz a oznaczono kąt o mierze sześćdziesięciu stopni, a między bokami a oraz h oznaczono kąt o mierze trzydziestu stopni.

Otrzymujemy zatem:

$h^{2} + {(\frac{1}{2} a)}^{2} = a^{2}$

$h^{2} + \frac{1}{4} a^{2} = a^{2}$

$h^{2} = \frac{3}{4} a^{2}$

$h = \frac{\sqrt{3}}{2} a$

W związku z tym, trójkąt o kątach wewnętrznych $30 °$ , $60 °$ , $90 °$ ma boki odpowiednio o długościach $\frac{\sqrt{3}}{2} a$ , $\frac{1}{2} a$ , $a$ .

Trójkąt podobny do tego trójkąta w skali $2$ ma boki odpowiednio równe: $a \sqrt{3}$ , $a$ oraz $2 a$ .

Zatem dla trójkąta o kątach wewnętrznychtrójkąty charakterystycznetrójkąta o kątach wewnętrznych $30 °$ , $60 °$ , $90 °$ zachodzą zależności między długościami jego boków takie, jak na poniższym rysunku.

RfXeLA1Mnuei9

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o pionowej przyprostokątnej a3, o przeciwprostokątnej 2a oraz o podstawie a. W trójkącie oznaczono wszystkie trzy kąty wewnętrzne. Między bokami a oraz a3 oznaczono kąt prosty, między bokami a oraz 2a oznaczono kąt o mierze sześćdziesięciu stopni, a między bokami 2a oraz a3 oznaczono kąt o mierze trzydziestu stopni.

Trójkąt o kątach wewnętrznych $45 °$ , $45 °$ , $90 °$

Zauważmy, że taki rodzaj trójkąta możemy otrzymać poprzez narysowanie przekątnej długości $d$ w kwadracie o boku długości $a$ .

Rx0tAFwr45ipV

Ilustracja przedstawia kwadrat o boku a z narysowaną przekątną biegnącą od górnego lewego wierzchołka do dolnego prawego wierzchołka figury. Zaznaczono dwa kąty wewnętrze kwadratu, czyli kąty proste: przy prawym górnym wierzchołku oraz przy lewym dolnym wierzchołku. Przekątna podzieliła figurę na dwa równe trójkąty, przy czym jeden z nich opisano. Lewy i dolny bok kwadratu to przyprostokątne równoramiennego trójkąta prostokątnego. Przekątna d stanowi przeciwprostokątną w tym trójkącie. Na rysunku wyróżniono wszystkie trzy kąty wewnętrzne utworzonego trójkąta: kąt prosty między bokami a oraz a i ponad to dwa kąty o mierze czterdziestu pięciu stopni między bokami a i d.

Długość przekątnej możemy uzależnić od długości boku kwadratu.

W tym celu użyjemy twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta o bokach długości $a$ , $a$ oraz $d$ .

RQLQ4DfJnR8MZ

Ilustracja przedstawia równoramienny trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a i przeciwprostokątnej d. W trójkącie zaznaczono trzy kąty wewnętrzne: kąt prosty między przyprostokątnymi oraz dwa kąty o mierze czterdziestu pięciu stopni między przekątną a każdą z przyprostokątnych.

Zatem mamy:

$a^{2} + a^{2} = d^{2}$

$d^{2} = 2 a^{2}$

$d = a \sqrt{2}$

Dla trójkąta o kątach wewnętrznychtrójkąty charakterystycznetrójkąta o kątach wewnętrznych $45 °$ , $45 °$ , $90 °$ zachodzą zależności między długościami jego boków takie, jak na poniższym rysunku.

R10ir0t1H6mEU

Ilustracja przedstawia równoramienny trójkąt prostokątny o przyprostokątnych a i przeciwprostokątnej a2. W trójkącie zaznaczono trzy kąty wewnętrzne: kąt prosty między przyprostokątnymi oraz dwa kąty o mierze czterdziestu pięciu stopni między przeciwprostokątną a każdą z przyprostokątnych.

Rozważany trójkąt jest prostokątny równoramienny.

Przykład 1

Obliczymy obwody trójkątów o wymiarach, jak na poniższych rysunkach.

Rysunek $I$ :

R1WGTSMZPGZLh

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o pionowej przyprostokątnej o długości 8. W trójkącie zaznaczono trzy kąty wewnętrzne: kąt prosty między przyprostokątnymi, kąt o mierze trzydziestu stopni między bokiem o długości 8 a przeciwprostokątną oraz kąt o mierze sześćdziesięciu stopni między przeciwprostokątną a podstawą trójkąta.

Rozwiązanie:

Jeżeli $a$ jest długością boku trójkąta, przy którym leżą kąty o miarach $90 °$ i $60 °$ , to do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$a \sqrt{3} = 8$ , zatem $a = \frac{8 \sqrt{3}}{3}$ .

W związku z tym $2 a = \frac{16 \sqrt{3}}{3}$ .

Zatem obwód $L$ tego trójkąta wynosi:

$L = 8 + \frac{8 \sqrt{3}}{3} + \frac{16 \sqrt{3}}{3} = 8 + 8 \sqrt{3}$ .

Rysunek $II$ :

RaZPs1GIVvyhX

Ilustracja przedstawia równoramienny trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej o długości 10. W trójkącie zaznaczono trzy kąty wewnętrzne: kąt prosty między przyprostokątnymi oraz dwa kąty o mierze czterdziestu pięciu stopni między przeciwprostokątną a każdą z przyprostokątnych.

Rozwiązanie:

Jeżeli $a$ jest długością boku trójkąta, przy którym leżą kąty o miarach $90 °$ i $45 °$ , to do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$a \sqrt{2} = 10$ , czyli $a = 5 \sqrt{2}$ .

Zatem obwód $L$ tego trójkąta wynosi:

$L = 5 \sqrt{2} + 5 \sqrt{2} + 10 = 10 \sqrt{2} + 10$ .

Przykład 2

Wyznaczymy długości boków trójkątów z poniższych rysunków.

Rysunek $I$ – obwód trójkąta wynosi $6$ .

RyArPVYpMVlt6

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny o pionowej przyprostokątnej a. W trójkącie zaznaczono trzy kąty wewnętrzne: kąt prosty między przyprostokątnymi, kąt o mierze trzydziestu stopni między podstawą a przeciwprostokątną oraz kąt o mierze sześćdziesięciu stopni między bokiem a a przeciwprostokątną.

Rozwiązanie:

Jeżeli $a$ jest długością boku trójkąta, przy którym leżą kąty o miarach $90 °$ i $60 °$ , to do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$a + a \sqrt{3} + 2 a = 6$ , a dalej:

$3 a + a \sqrt{3} = 6$ .

Równanie możemy zapisać w postaci:

$a (3 + \sqrt{3}) = 6$ .

Zatem:

$a = \frac{6}{3 + \sqrt{3}} = \frac{6 \cdot (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) \cdot (3 - \sqrt{3})} = \frac{6 \cdot (3 - \sqrt{3})}{6} = 3 - \sqrt{3}$ ,

$2 a = 2 (3 - \sqrt{3}) = 6 - 2 \sqrt{3}$ ,

$a \sqrt{3} = (3 - \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} = 3 \sqrt{3} - 3$ .

Długości boków tego trójkąta wynoszą odpowiednio: $3 - \sqrt{3}$ , $3 \sqrt{3} - 3$ oraz $6 - 2 \sqrt{3}$ .

Rysunek $II$ – obwód trójkąta wynosi $4$ .

R4pbqWGaFeyYa

Ilustracja przedstawia równoramienny trójkąt prostokątny o podstawie a. W trójkącie zaznaczono trzy kąty wewnętrzne: kąt prosty między przyprostokątnymi oraz dwa kąty o mierze czterdziestu pięciu stopni między przeciwprostokątną a każdą z przyprostokątnych.

Rozwiązanie:

Jeżeli $a$ jest długością boku trójkąta, przy którym leżą kąty o miarach $90 °$ i $45 °$ , to do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$a + a + a \sqrt{2} = 4$ , a dalej:

$2 a + a \sqrt{2} = 4$ .

Równanie możemy zapisać w postaci:

$a (2 + \sqrt{2}) = 4$ ,

$a = \frac{4}{2 + \sqrt{2}}$ .

Zatem:

$a = \frac{4}{2 + \sqrt{2}} = \frac{4 \cdot (2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2}) \cdot (2 - \sqrt{2})} = \frac{8 - 4 \sqrt{2}}{2} = 4 - 2 \sqrt{2}$ ,

$a \sqrt{2} = (4 - 2 \sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 4 \sqrt{2} - 4$ .

Długości boków tego trójkąta wynoszą odpowiednio: $4 - 2 \sqrt{2}$ , $4 - 2 \sqrt{2}$ oraz $4 \sqrt{2} - 4$ .

Przykład 3

Wiadomo, że obwód trójkąta prostokątnego równoramiennego jest równy $6 \sqrt{2} + 6$ . Wyznaczymy pole tego trójkąta.

Rozwiązanie:

Wprowadźmy oznaczenia tak, jak na rysunku:

R1StFaGfhQRMg

Z równania na obwód trójkąta obliczamy wartość $a$ :

$2 a + a \sqrt{2} = 6 \sqrt{2} + 6$ .

Równanie możemy zapisać w postaci:

$a \cdot (2 + \sqrt{2}) = 6 \sqrt{2} + 6$ ,

$a \cdot (2 + \sqrt{2}) = 3 \sqrt{2} \cdot (2 + \sqrt{2})$ .

Zatem:

$a = 3 \sqrt{2}$ .

W związku z tym pole $P$ tego trójkąta jest równe:

$P = \frac{3 \sqrt{2} \cdot 3 \sqrt{2}}{2} = 9$ .

Zależności między bokami w trójkątach charakterystycznych możemy wykorzystać do rozwiązywania różnych problemów matematycznych.

Przykład 4

Wyznaczymy obwód trójkąta, jeżeli kąty przy jego podstawie mają miary $45 °$ i $30 °$ , a jego pole wynosi $2 + 2 \sqrt{3}$ .

Rozwiązanie:

Wykonajmy rysunek pomocniczy do zadania. Jeżeli narysujemy wysokość tego trójkąta, to otrzymujemy dwa trójkąty charakterystyczne, jak na poniższym rysunku:

R1NmrhPR0uI9v

Ilustracja przedstawia trójkąt podzielony wysokością upuszczoną z górnego wierzchołka. Opiszemy cały trójkąt, a następnie osobno jego dwa trójkąty składowe. Duży trójkąt składa się z lewego boku o długości a2, prawego ramienia o długości 2a oraz podstawy o długości a+a3. Wysokość dużego trójkąta upuszczona na podstawę wynosi a. Kąty wewnętrzen tego trójkąta to: między ramionami a2 i 2a kąt o mierze 105 stopni, między ramieniem a2 a podstawą kąt wynosi 45 stopni oraz między bokiem 2a a podstawą kąt wynosi 30 stopni. Lewy trójkąt jest trójkątem prostokątnym i ma następujące boki: pionowy a, podstawę a i przeciwprostokątną a2. Między przyprostokątnymi a przeciwprostokątnymi zaznaczono kąty 45 stopni oraz kąt prosty między przyprostokątnymi. Składowy trójkąt po prawo również jest trójkątem prostokątnym. Pionowa przyprostokątna to bok a, podstawa trójkąta ma długość a3, a przeciwprostokątna ma długość 2a. Kąty wewnętrzne w tym trójkącie to: przy górnym wierzchołku, czyli między bokami a i 2a kąt ma miarę 60 stopni, między bokiem a i podstawą znajduje się kąt prosty, natomiast między podstawą a bokiem 2a znajduje się kąt 30 stopni.

Jeżeli pole tego trójkąta wynosi $2 + 2 \sqrt{3}$ , to do wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{(a + a \sqrt{3}) \cdot a}{2} = 2 + 2 \sqrt{3}$

Równanie przekształcamy do postaci

$a^{2} + a^{2} \sqrt{3} = 4 + 4 \sqrt{3}$

Zatem:

$a^{2} \cdot (1 + \sqrt{3}) = 4 \cdot (1 + \sqrt{3})$

$a^{2} = 4$

$a = 2$ lub $a = - 2$

Ponieważ $a > 0$ , zatem $a = 2$ .

Boki trójkąta mają długości:

$a + a \sqrt{3} = 2 + 2 \sqrt{3}$ ,

$a \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$ ,

$2 a = 2 \cdot 2 = 4$ .

Zatem obwód $L$ tego trójkąta wynosi:

$L = 2 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{2} + 4 = 6 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{2}$ .

Przykład 5

W trapezie kąty ostre przy podstawie mają miary $60 °$ i $30 °$ . Obliczymy długości ramion tego trapezu, jeżeli krótsza podstawa trapezu ma długość $4$ , a suma długości podstaw jest równa sumie długości ramion tego trapezu.

Rozwiązanie:

Narysujmy trapez i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

R1HRRu0A7PEmj

Ilustracja przedstawia trapez z narysowanymi dwiema wysokościami dzielącymi figurę na dwa trójkąty prostokątne oraz prostokąt. Trapez ma następujące boki: podstawa górna ma długość 4, podstawa dolna ma długość x dodać 4 dodać y. Lewe ramię trapezu ma długość z, a prawe t. Opiszemy teraz trzy wytyczone figury, zaczynając od lewej. Trójkąt prostokątny utworzony z lewego ramienia z i z wysokości h, a jego podstawą jest odcinek x. Między x i ramieniem z zaznaczono kąt wewnętrzny 30 stopni. Dalej mamy prostokąt o poziomych bokach 4 i pionowych bokach h. Przy wysokościach h zaznaczono kąty proste. Prawy trójkąt prostokątny składa się z prawego ramienia trapezu, czyli boku t i wysokości h, a jego podstawa wynosi y. Między bokami t oraz y zaznaczono kąt 60 stopni.

Korzystając z zależności pomiędzy bokami w trójkącie o kątach $30 °$ , $60 °$ , $90 °$ mamy:

$x = h \sqrt{3}$

$z = 2 h$

$y = \frac{h \sqrt{3}}{3}$

$t = \frac{2 h \sqrt{3}}{3}$

Ponieważ suma długości podstaw tego trapezu jest równa sumie długości jego ramion, zatem do wyznaczenia wartości $h$ rozwiązujemy równanie:

$z + t = x + y + 8$

$2 h + \frac{2 h \sqrt{3}}{3} = h \sqrt{3} + \frac{h \sqrt{3}}{3} + 8$

$6 h + 2 h \sqrt{3} = 3 h \sqrt{3} + h \sqrt{3} + 24$

$6 h - 2 h \sqrt{3} = 24$

$h (6 - 2 \sqrt{3}) = 24$

$h = \frac{24}{6 - 2 \sqrt{3}} = \frac{24 \cdot (6 + 2 \sqrt{3})}{(6 - 2 \sqrt{3}) \cdot (6 + 2 \sqrt{3})} = 6 + 2 \sqrt{3}$

Zatem ramiona trapezu mają długości:

$z = 2 \cdot (6 + 2 \sqrt{3}) = 12 + 4 \sqrt{3}$

$t = \frac{2 \cdot (6 + 2 \sqrt{3}) \cdot \sqrt{3}}{3} = \frac{12 \sqrt{3} + 12}{3} = 4 \sqrt{3} + 4$

Słownik

trójkąty charakterystyczne

trójkąt prostokątny o kątach wewnętrznych $30 °$ , $60 °$ , $90 °$ lub trójkąt prostokątny o kątach wewnętrznych $45 °$ , $45 °$ , $90 °$

Wprowadzenie

Infografika

Trójkąt o kątach wewnętrznych $30 °$ , $60 °$ , $90 °$

Trójkąt o kątach wewnętrznych $45 °$ , $45 °$ , $90 °$

Słownik

Wprowadzenie

Infografika

Przeczytaj

Trójkąt o kątach wewnętrznych 30°, 60°, 90°

Trójkąt o kątach wewnętrznych 45°, 45°, 90°

Słownik

Trójkąt o kątach wewnętrznych $30 °$ , $60 °$ , $90 °$

Trójkąt o kątach wewnętrznych $45 °$ , $45 °$ , $90 °$