Przeczytaj
Dwa punkty i są symetryczne względem prostej , jeżeli spełnione są warunki:
punkty te leżą na prostej prostopadłej do prostej ,
punkty te leżą po przeciwnych stronach prostej ,
punkty te leżą w równych odległościach od prostej .
Prostą nazywamy osią symetrii.
Rozpatrzmy kilka podstawowych przypadków wyznaczania współrzędnych punktu , symetrycznego do punktu względem podanych prostych.
Symetria względem osi , czyli prostej
Punktem symetrycznym do punktu względem prostej jest punkt .
Symetria względem prostej
Punktem symetrycznym do punktu względem prostej jest punkt .
Symetria względem prostej
Punktem symetrycznym do punktu względem prostej jest punkt .
Symetria względem prostej
Punktem symetrycznym do punktu względem prostej jest punkt .
Jeżeli punkt leży na prostej, która jest osią symetrii, wówczas jego obrazem jest ten sam punkt.
Omówimy sposób znajdowania punktu symetrycznego względem podanej prostejpunktu symetrycznego względem podanej prostej . Wykorzystamy do tego:
równanie prostej prostopadłej do osi symetrii,
wzór na środek odcinka,
wzór na długość odcinka.
Wyznaczymy współrzędne punktu symetrycznego do punktu względem prostej .
Rozwiązanie:
Punkt leży na prostej prostopadłej do prostej .
Równanie prostej prostopadłej jest postaci: .
Ponieważ punkt należy do prostej prostopadłej, podstawiając współrzędne punktu do równania tej prostej, otrzymujemy: .
Wyznaczamy teraz punkt przecięcia tych dwóch prostych: i oznaczmy jako .
Punkt przecięcia ma współrzędne .
Zauważmy, że punkt jest środkiem odcinka .
Oznaczmy współrzędne punktu .
Korzystając ze wzoru na środek odcinka, otrzymujemy równania:
i .
Z równań otrzymujemy, że punkt .
Wyznaczymy współrzędne punktu symetrycznego do punktu względem prostej .
Rozwiązanie:
Punkt leży na prostej prostopadłej do prostej .
Prosta prostopadła jest postaci: .
Punkt należy do prostej prostopadłej, rozwiązując powyższe równanie dla współrzędnych punktu , otrzymujemy równanie .
Obliczamy współrzędne punktu przecięcia tych prostych: i oznaczamy jako .
Otrzymujemy, że .
Z własności punktów symetrycznych względem prostej wiemy, że odległość punktu od jest taka sama jak odległość punktu od .
Wprowadźmy oznaczenie: .
Wykorzystamy równanie: .
Po podstawieniu współrzędnych punktów otrzymujemy, że:
.
Po przekształceniu otrzymujemy równanie: , którego pierwiastkami są liczby oraz .
Odpowiadające im wartości to oraz . Zauważmy, że drugi punkt jest taki sam, jak punkt , zatem .
Wyznaczymy równanie prostej, względem której punkty i są symetryczne.
Rozwiązanie:
Prosta, względem której te punkty są symetryczne jest prostopadła do prostej .
Współczynnik kierunkowy prostej wynosi , zatem dla prostej prostopadłej .
Prosta ta przechodzi przez punkt, który jest środkiem odcinka .
Wobec tego .
Po podstawieniu współrzędnych tego punktu do równania otrzymujemy, że:
Zatem .
Szukana prosta jest postaci .
Słownik
odwzorowanie geometryczne, które każdemu punktowi przyporządkowuje taki punkt , że oba punkty leżą po przeciwnych stronach tej prostej, na prostej prostopadłej i w równych odległościach od tej prostej