Wektor jest to uporządkowana para punktów, którą graficznie przedstawiamy jako strzałkę. Ponieważ mamy dwa sposoby przedstawienia wektora: za pomocą współrzędnych i graficznie, to również działania na wektorach możemy wykonywać na dwa sposoby: za pomocą współrzędnych oraz graficznie. Wektor możemy oznaczyć zarówno małą literą ze strzałką nad nią, np. , jak i dwoma dużymi literami (oznaczającymi początek i koniec wektora) ze strzałką nad nimi, np. .
Jakie działania możemy wykonywać na wektorach? Przede wszystkim są to dodawanie i odejmowanie, mnożenie i dzielenie wektora przez liczbę, iloczyn wektorowy oraz skalarny wektorów.
Dodawanie i odejmowanie wektorów
Jeśli znane są współrzędne początku oraz końca wektora, to metoda rachunkowa jest zawsze najprostszą możliwą do zastosowania.
W metodzie rachunkowej, aby dodawać wektory, w pierwszej kolejności należy podać ich współrzędne (więcej na temat wyznaczania współrzędnych wektora przeczytasz w e‑materiale „Jak posługiwać się współrzędnymi wektora?”). Następnie dodajemy do siebie współrzędne obu wektorów wzdłuż osi x oraz dodajemy do siebie współrzędne obu wektorów wzdłuż osi y. W ten sposób otrzymujemy współrzędne wektorawspółrzędne wektorawspółrzędne wektora będącego sumą dwóch wektorów.
Wektory możemy dodawać i odejmować również za pomocą metody graficznej. Mamy dwie takie metody: metodę wieloboku oraz metodę równoległoboku.
Metoda wieloboku
Aby dodać do siebie dwa wektory i , rysujemy wektor , a następnie początek wektora umieszczamy w punkcie końcowym wektora . Potem z punktu początkowego wektora wyprowadzany wektor o grocie w punkcie końcowym wektora .
R16UflWXIyD3d
Dodawanie wektorów jest przemienne, tzn. + = + .
Aby od wektora odjąć wektor : wykreślamy wektor , następnie z początku wektora wykreślamy wektor . Po czym z końca wektora wykreślamy wektor w kierunku końca wektora (jak pokazano na Rys. 2).
R1YXDBi4gY2nP
Istnieje też drugi sposób, aby odjąć wektory. Podobnie jak w przypadku działania na liczbach 5 – 2 = 5+(–2), zamiast odejmować wektor , możesz do wektora dodać wektor przeciwny do , czyli wektor .
Metoda równoległoboku
Aby dodać do siebie dwa wektory i , narysuj wektor , a następnie początek wektora umieść w tym samym punkcie co początek wektora . Narysuj proste równoległe przechodzące przez końce obu wektorów, następnie z punktu początkowego wektorów i wykreśl wektor, którego grot znajduje się w punkcie przecięcia prostych równoległych (jak na Rys. 3). Wyznaczony w ten sposób wektor jest sumą wektorów i .
R1IqalijSmwb5
Mnożenie i dzielenie wektora przez skalar
Mnożenie wektora przez skalar (liczbę) powoduje zwiększenie jego długości, jeśli liczba jest większa od 1 lub mniejsza od -1. Jeśli liczba jest mniejsza od -1, wtedy długość wektora się zwiększa tyle razy, ile wynosi moduł z liczby, przez którą mnożymy. Jeśli mnożymy wektor przez liczbę k taką, że -1 < k < 1, to długość wektora będzie zmniejszona tyle razy, ile wynosi moduł odwrotności k:
.
Wynikiem takiego działania jest zawsze wektor. Zwrot wektora jest taki sam jak wektora , jeśli k jest większe od zera. Gdy k jest mniejsze od zera, zwrot wektora jest przeciwny niż zwrot wektora .
R1bvtWaGSyjqx
Mnożenie wektora przez skalar możemy również zapisać w postaci współrzędnych. Zapiszmy wektor w postaci współrzędnych wzdłuż poszczególnych osi . W wyniku działania otrzymamy wektor o współrzędnych .
Iloczyn skalarny
Gdy mnożymy wektory skalarnie , wartość jest równa iloczynowi wartości tych wektorów oraz kosinusa kąta między nimi: . Wynikiem mnożenia skalarnego jest zawsze skalar.
Działając na współrzędnych, iloczyn skalarny zapisujemy następująco:
,
,
,
.
Iloczyn wektorowy
Wynikiem iloczynu wektorowego dwóch wektorów jest zawsze wektor, nazwijmy go i zapiszmy tę operację następująco:
.
Znak ⨯ jest symbolem iloczynu wektorowego.
Wektor jest skierowany pod kątem 90 stopni do płaszczyzny utworzonej przez wektory i . Zwrot wektora ustalamy w oparciu o regułę śruby prawoskrętnej: gdy mnożymy wektor przez wektor, to (w wyobraźni) przekręcamy śrubę w taki sposób, aby kręcić nią od wektora do wektora (po mniejszym kącie). Wtedy czubek śruby wskazuje zwrot wektora.
R1azkEuSY1gj7
RK35eH1aTDbTR
Wartość wektora będącego wynikiem iloczynu wektorowego wektora przez wektor jest równa iloczynowi wartości wektorów oraz sinusa kąta między nimi.
Dla iloczynu wektorowego:
,
.
Słowniczek
współrzędne wektora
współrzędne wektora
(ang. vector coordinates) określają jego przesunięcie wzdłuż osi x i wzdłuż osi y. Współrzędne wektora o początku w punkcie o współrzędnych (aIndeks dolny xx; aIndeks dolny yy) i końcu w punkcie o współrzędnych (bx; by) wyznaczamy korzystając ze wzoru