Film samouczek

Nowe spojrzenie na iloczyn wektorowy

Znasz zapewne wzory na pola powierzchni różnych figur płaskich: trójkąta, prostokąta, trapezu. A czy znasz wzór na pole powierzchni równoległoboku, gdy dane są długości jego boków i kąt pomiędzy nimi?
Jeśli nie, to samouczek jest w sam raz dla Ciebie.
Jeśli znasz, to i tak warto go obejrzeć, bo dowiesz się, jaki związek z iloczynem wektorowym ma ten wzór.

Znasz zapewne wzory na pola powierzchni różnych figur płaskich: trójkąta, prostokąta, trapezu. A czy znasz wzór na pole powierzchni równoległoboku, gdy dane są długości jego boków i kąt pomiędzy nimi?
Jeśli nie, to samouczek jest w sam raz dla Ciebie.
Jeśli znasz, to i tak warto go posłuchać, bo dowiesz się, jaki związek z iloczynem wektorowym ma ten wzór.

R18aX8C6250Vu

Film dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DFgiEpaII

Zapoznaj się z treścią samouczka.

Polecenie 1

Istnieje równoważny do podawanego np. w e‑materiale Iloczyn wektorowy wektorów sposób na wyznaczenie współrzędnych iloczynu $\vec a \times \vec b$ dla danych wektorów $\vec a$ i $\vec b$ , korzystający z ich współrzędnych. W wersji prostszej, jeśli oba te wektory leżą w płaszczyźnie $x-y$ , to jedyną niezerową składową ich iloczynu wektorowego jest składowa wzdłuż osi $Z$ i wynosi ona $a_x b_y - a_y b_x$ .

Sprawdź bezpośrednim rachunkiem, że gdy $\vec a\ ||\ \vec b$ , to $\vec a \times\vec b = 0$

Wystarczy założyć, że wektory te są proporcjonalne. Niech $\vec a = [a_x;a_y]$ , a $\vec b = \alpha \vec a = [\alpha a_x; \alpha a_y]$ , gdzie $\alpha\neq 0$ jest jakąkolwiek liczbą. Mamy wtedy $a_x b_y - a_y b_x = a_x \alpha a_y - a_y \alpha a_x = 0.$

Polecenie 2

Znajdź, stosując wzór z Polecenia 1., pole równoległoboku rozpiętego przez wektory $\vec A = [1;2],\ \vec B = [3;-1]$ . Znajdź przybliżoną wartość kąta między tymi wektorami.

Stosując poprzednio podany wzór znajdujemy składową $z$ iloczynu $\vec A\times \vec B$ , wynosi ona $1\cdot(-1) - 2\cdot 3 = -7$ , stąd $S = | \vec A \times \vec B | = 7.$ Znajdujemy ponadto, że $|\vec A| = \sqrt{5}$ oraz $|\vec B| = \sqrt{10}$ , wobec tego z faktu, że $|\vec A| |\vec B| \sin\alpha = 7$ wynika $\sin\alpha = \frac{7}{5\sqrt{2}} \approx 0.99$ . Oznacza to, jeśli skorzystamy z funkcji arcus sinus (odwrotnej do sinusa), że kąt między bokami równoległoboku utworzonego z tych wektorów wynosi ok. $82^\circ$ .

Polecenie 3

Oblicz pole powierzchni trójkąta równoramiennego, którego ramiona mają długość $a = 10 cm$ i tworzą kąt $α = 30 °$ .

Opisana we wskazówce figura to romb, czyli równoległobok, którego wszystkie boki mają jednakową długość. Jego powierzchnia to dwukrotność szukanej powierzchni $S$ trójkąta. Zatem:

S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \cdot \sin α = \frac{1}{2} \cdot {(10 cm)}^{2} \cdot \sin 30 ° = 25 {cm}^{2}

Przeczytaj

Sprawdź się

Nowe spojrzenie na iloczyn wektorowy