Przeczytaj

Jeśli chcemy zapisać w postaci sumy iloczyn $(a + b) (a + b)$ lub $(a + b) (a + b) (a + b)$ wystarczy wykonać odpowiednie mnożenie. Jednak w przypadku większej liczby czynników, mnożenie staje się kłopotliwe. Warto więc zastanowić się, czy nie istnieje jakaś uniwersalna metoda na określenie wyrazów sumy, którą otrzymamy.

Zastosowanie trójkąta Pascala

Przyjrzyjmy się kolejnym zapisom wyrażenia ${(a + b)}^{n}$ ( $n$ – liczba naturalna) w postaci sumy.

RtHSbyosWA1N2

Na ilustracji po lewej stronie jest kolumna kolejnych potęg sumy liczb a i b od potęgi zerowej do piątej. Po prawej stronie mamy wzory na kolejne potęgi sum, wzory te, poczynając od góry od jedynki, która odpowiada potędze zerowej, tworzą trójkąt, ponieważ każdy kolejny wiersz jest dłuższy. W górny wierzchołu trójkąta, jak wspomniano znajduje się jeden. Zaczynając od góry i idąc po kolei, te wzory to: Potęga zerowa: 1 Potęga pierwsza: a+b Potęga druga: a2+2ab+b2 Potęga trzecia: a3+3a2b+3ab2+b3 Potęga czwarta: a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 Potęga piąta: a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

Zauważmy, że w każdym ze składników suma wykładników liczb $a$ i $b$ jest równa potędze, do której podniesiony jest dwumian $a + b$ .

W otrzymanej sumie pierwszy wykładnik, do którego podniesiona jest liczba $a$ jest równy potędze rozważanego dwumianu. Każdy kolejny wykładnik jest mniejszy o $1$ od poprzedniego, aż do ostatniego, który jest równy $0$ . Wykładniki liczby $b$ zmieniają się w odwrotnej kolejności – wzrastają od $0$ do wykładnika, do którego podniesiony jest rozważany dwumian.

Aby znaleźć rozwinięcie szóstej potęgi dwumianu $(a + b)$ , wypiszmy najpierw współczynniki liczbowe poprzednich rozwinięć.

REjfJJvH5rqMR

Na ilustracji znajduje się trójkąt, który w każdym swoim wierszu posiada liczby. W pierwszym rzędzie od góry znajduje się cyfra jeden. W drugim rzędzie jeden, jeden. W trzecim rzędzie jeden, dwa, jeden. W czwartym rzędzie jeden, trzy, trzy, jeden. W piątym rzędzie jeden, cztery, sześć, cztery, jeden. W ostatnim rzędzie jeden, pięć, dziesięć, dziesięć, pięć, jeden. Pomiędzy cyframi w ostatnim i przedostatnim rzędzie widnieją plusy. Cyfry z tych dwóch rzędów są również połączone liniami. Jeden oraz cztery połączone są z liczbą pięć. Cztery i sześć połączone są z cyfrą dziesięć. Cyfry cztery i sześć oraz cztery i jeden w przedostatnim rzędzie zaznaczone są czerwonym okręgiem.

Zauważmy, że skrajne liczby w uzyskanym „trójkącie” to jedynki. Liczby w kolejnych wierszach powstają poprzez dodanie dwóch sąsiednich liczb z wiersza stojącego wyżej.

Wyznaczamy w ten właśnie sposób współczynniki rozwinięcia wyrażenia ${(a + b)}^{6}$ .

RS9xQLVBdR5Mr

Pierwszy współczynnik rozwinięcia to: $1$
Drugi współczynnik to: $1 + 5 = 6$
Trzeci współczynnik to: $5 + 10 = 15$
Czwarty współczynnik to: $10 + 10 = 20$
Piąty współczynnik to: $10 + 5 = 15$
Szósty współczynnik to: $5 + 1 = 6$
Siódmy współczynnik to: $1$

Możemy więc zapisać następny wzór.

{(a + b)}^{6} = 1 \cdot a^{6} + 6 a^{5} b + 15 a^{4} b^{2} + 20 a^{3} b^{3} + 15 a^{2} b^{4} + 6 a b^{5} + 1 \cdot b^{6}

Aby znaleźć rozwinięcia kolejnych potęg dwumianu, należy uzupełnić następne wiersze otrzymanej trójkątnej tablicy, zwanej trójkątem Pascala.

RYvPc4oDKLuzn

Stąd:

{(a + b)}^{7} = a^{7} + 7 a^{6} b + 21 a^{5} b^{2} + 35 a^{4} b^{3} + 35 a^{3} b^{4} + 21 a^{2} b^{5} + 7 a b^{6} + b^{7}

Zapiszemy nasze spostrzeżenia w postaci twierdzenia.

n

–ta potęga sumy

Twierdzenie:

n

–ta potęga sumy

Dla każdej liczby naturalnej $n$ i liczb $a$ , $b$

{(a + b)}^{n} = c_{0} a^{n} + c_{1} a^{n - 1} b^{1} + c_{2} a^{n - 2} b^{2} + \dots + c_{n - 1} a^{1} b^{n - 1} + c_{n} b^{n}

gdzie:
liczby $c_{0}$ , $c_{1}$ , $c_{2}$ , $\dots$ , $c_{n - 1}$ , $c_{n}$ są kolejnymi liczbami w $n$ –tym wierszu trójkąta Pascala.

Wniosek:

Przyjmijmy, że kolejne wyrazy rozwinięcia potęgi ${(a + b)}^{n}$ to $x_{0}$ , $x_{1}$ , $x_{2}$ , $\dots$ , $x_{n}$ i $c_{0}$ , $c_{1}$ , $\dots$ , $c_{n}$ , to odpowiadające im współczynniki z $n$ –tego wiersza trójkąta Pascala.

Wtedy:

x_{k + 1} = c_{k} a^{n - k} \cdot b^{k}

gdzie:
$0 \leq k \leq n$ .

Przykład 1

Zapiszemy w postaci sumy wyrażenie ${(1 + t)}^{4}$ .

Rozwiązanie:

R1ZuxLb6c3n9F

Na ilustracji znajduje się tabela posiadająca dwie kolumny. W lewej kolumnie znajdują się wiersze z cyframi w prawej natomiast znajdują się numery wiersza. Pierwszy rząd lewej kolumny posiada liczbę jeden. Drugi posiada jeden i jeden. Trzeci posiada jeden, dwa i jeden. Czwarty posiada jeden, trzy, trzy i jeden. Piąty posiada jeden, cztery, sześć, cztery i jeden. Ostatni posiada liczbę jeden, pięć, dziesięć, dziesięć, pięć i jeden. W prawej kolumnie w pierwszym rzędzie widnieje numer wiersza zero. W drugim jeden, w trzecim dwa, w czwartym trzy, w piątym cztery i w szóstym pięć. Czwarty rząd oznaczony jest innym kolorem.

Korzystamy z powyższego twierdzenia, odczytując potrzebne współczynniki w $4$ wierszu trójkąta Pascala.

${(1 + t)}^{4} = 1^{4} + 4 \cdot 1^{3} \cdot t + 6 \cdot 1^{2} t^{2} + 4 \cdot 1 \cdot t^{3} + t^{4}$

${(1 + t)}^{4} = 1 + 4 t + 6 t^{2} + 4 t^{3} + t^{4}$

Przykład 2

Znajdziemy piąty wyraz rozwinięcia potęgi ${(\sqrt{2} + 2)}^{6}$ .

Rozwiązanie:

Współczynnik liczbowy stojący przy piątym wyrazie rozwinięcia potęgi ${(a + b)}^{6}$ odczytujemy z trójkąta Pascala.

RlMUnyIxUknCH

Jest to liczba $15$ .

W rozwinięciu dwumianu wykładniki potęg liczby $a$ zmniejszają się, a liczby $b$ zwiększają się.

Zatem iloczyn potęg liczb $a$ i $b$ będzie równy $a^{6 - 4} \cdot b^{4} = a^{2} b^{4}$ . W konsekwencji wyraz piąty będzie równy $15 a^{2} b^{4}$ .

W rozpatrywanym przypadku $a = \sqrt{2}$ , $b = 2$ .

Stąd wyraz piąty to:

$15 \cdot {(\sqrt{2})}^{2} \cdot 2^{4} = 30 \cdot 16 = 480$

Zastosowanie dwumianu Newtona

Uzupełnianie kolejnych wierszy trójkąta Pascala nie jest trudne, ale gdybyśmy chcieli zapisać w postaci sumy na przykład ${(a + b)}^{100}$ , znalezienie współczynników liczbowych zajęło by nam sporo czasu. Istnieją więc wzory pozwalające na szybkie wyznaczenie takich liczb. My skorzystamy ze wzoru dwumianowego Newtona, zwanego też dwumianem Newtonadwumian Newtonadwumianem Newtona.

Wzór ten jest podobny, do poznanego już wcześniej wzoru zgodnie, z którym potęgę dwumianu ${(x + y)}^{n}$ można rozwinąć w sumę jednomianów. Kolejne współczynniki liczbowe w dwumianie Newtona są równe kolejnym współczynnikom pozyskanym z trójkąta Pascala, ale zapisane są w nieco inny sposób.

Dwumian Newtona

Twierdzenie: Dwumian Newtona

Jeżeli $x$ , $y$ są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, $n$ jest liczbą naturalną dodatnią, to

{(x + y)}^{n} = (\begin{array}{l} n \\ 0 \end{array}) x^{n} + (\begin{array}{l} n \\ 1 \end{array}) x^{n - 1} y + (\begin{array}{l} n \\ 2 \end{array}) x^{n - 2} y^{2} + \dots + (\begin{array}{l} n \\ n \end{array}) y^{n}

Aby móc korzystać z dwumianu Newtona, przypomnijmy, że $(\begin{array}{l} n \\ k \end{array})$ (czytamy: $n$ nad $k$ lub $n$ po $k$ ) to tzw. symbol Newtona.

$(\begin{array}{l} n \\ k \end{array}) = \frac{n!}{k! (n - k)!}$ dla $0 \leq k \leq n$

Przypomnijmy jeszcze, że zapis $t!$ (czytamy: $t$ silnia) oznacza iloczyn kolejnych liczb naturalnych dodatnich, nie większych od $t$ .

$t! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot t$

Przykład 3

Zapiszemy w postaci sumy jednomianów ${(x + 1)}^{8}$ .

Rozwiązanie:

Korzystamy z dwumianu Newtonadwumian Newtonadwumianu Newtona.

${(x + 1)}^{8} = (\begin{array}{l} 8 \\ 0 \end{array}) x^{8} + (\begin{array}{l} 8 \\ 1 \end{array}) x^{7} \cdot 1 + (\begin{array}{l} 8 \\ 2 \end{array}) x^{6} \cdot 1^{2} + (\begin{array}{l} 8 \\ 3 \end{array}) x^{5} \cdot 1^{3} + (\begin{matrix} 8 \\ 4 \end{matrix}) x^{4} \cdot 1^{4} +$

$+ (\begin{matrix} 8 \\ 5 \end{matrix}) x^{3} \cdot 1^{5} + (\begin{matrix} 8 \\ 6 \end{matrix}) x^{2} \cdot 1^{6} + (\begin{matrix} 8 \\ 7 \end{matrix}) x^{1} \cdot 1^{7} + (\begin{matrix} 8 \\ 8 \end{matrix}) \cdot 1^{8}$

Obliczamy kolejne współczynniki.

$(\begin{array}{l} 8 \\ 0 \end{array}) = \frac{8!}{0! (8 - 0)!} = \frac{8!}{1 \cdot 8!} = 1$

$(\begin{array}{l} 8 \\ 1 \end{array}) = \frac{8!}{1! (8 - 1)!} = \frac{8!}{1 \cdot 7!} = \frac{7! \cdot 8}{7!} = 8$

$(\begin{array}{l} 8 \\ 2 \end{array}) = \frac{8!}{2! (8 - 2)!} = \frac{8!}{2 \cdot 6!} = \frac{6! \cdot 7 \cdot 8}{2 \cdot 6!} = 28$

$(\begin{array}{l} 8 \\ 3 \end{array}) = \frac{8!}{3! (8 - 3)!} = \frac{8!}{6 \cdot 5!} = \frac{5! \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{6 \cdot 5!} = 56$

$(\begin{array}{l} 8 \\ 4 \end{array}) = \frac{8!}{4! (8 - 4)!} = \frac{8!}{24 \cdot 4!} = \frac{4! \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{24 \cdot 4!} = 70$

$(\begin{array}{l} 8 \\ 5 \end{array}) = \frac{8!}{5! (8 - 5)!} = \frac{8!}{120 \cdot 3!} = \frac{3! \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{120 \cdot 3!} = 56$

$(\begin{array}{l} 8 \\ 6 \end{array}) = \frac{8!}{6! (8 - 6)!} = \frac{2! \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{720 \cdot 2!} = \frac{20160}{720} = 28$

$(\begin{array}{l} 8 \\ 7 \end{array}) = \frac{8!}{7! (8 - 7)!} = \frac{7! \cdot 8}{7! \cdot 1} = \frac{8}{1} = 8$

$(\begin{array}{l} 8 \\ 8 \end{array}) = \frac{8!}{8! (8 - 8)!} = \frac{8!}{1 \cdot 8!} = 1$

Do uzyskanego wyrażenia podstawiamy wyznaczone liczby.

${(x + 1)}^{8} = x^{8} + 8 x^{7} + 28 x^{6} + 56 x^{5} + 70 x^{4} + 56 x^{3} + 28 x^{2} + 8 x^{1} + 1$

Na wszelki wypadek, możemy sprawdzić, czy dobrze wykonaliśmy obliczenia, korzystając z trójkąta Pascala.

R1cgTirma6lSN

Przykład 4

Znajdziemy środkowy wyraz rozwinięcia dwumianu ${(x + \frac{x}{\sqrt{2}})}^{12}$ .

Rozwiązanie:

Środkowy wyraz tego rozwinięcia to

$(\begin{array}{l} 12 \\ 6 \end{array}) \cdot x^{6} \cdot {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{6} = \frac{12!}{6! (12 - 6)!} \cdot \frac{x^{12}}{2^{3}} = \frac{924 x^{12}}{8} = 115, 5 x^{12}$

Odpowiedź:

Środkowy wyraz to $115, 5 x^{12}$ .

Słownik

dwumian Newtona

twierdzenie określające sposób zamiany $n$ –tej potęgi dwumianu na sumę jednomianów

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Zastosowanie trójkąta Pascala

Zastosowanie dwumianu Newtona

Słownik