Przykład pierwszy zaczyna się od wzoru otwarcie nawiasu A plus B zamknięcie nawiasu do potęgi N jest mniejsze lub równe otwarcie nawiasu B plus B zamknięcie nawiasu do potęgi N. W przykładzie pierwszym wykażemy, że jeśli N jest liczbą naturalną dodatnią A i B są liczbami naturalnymi dodatnimi takimi, że A jest mniejsze lub równe B to otwarcie nawiasu A plus B zamknięcie nawiasu do potęgi N jest mniejsze niż dwa do potęgi N otwarcie nawiasu A do potęgi N plus B do potęgi N zamknięcie nawiasu. Następnie pierwotne równanie przekształcone jest w równanie otwarcie nawiasu A plus B zamknięcie nawiasu do potęgi N jest mniejsze lub równe do otwarcie nawiasu dwa B zamknięcie nawiasu do potęgi N. Ponieważ A jest mniejsze lub równe B to A plus B jest mniejsze lub równe B plus B. Następnie przekształcamy to równanie na otwarcie nawiasu A plus B zamknięcie nawiasu do potęgi N jest mniejsze lub równe otwarcie nawiasu dwa B zamknięcie nawiasu do potęgi N jest mniejsze od otwarcie nawiasu dwa B zamknięcie nawiasu do potęgi N plus otwarcie nawiasu dwa A zamknięcie nawiasu do potęgi N. Liczba A jest liczbą naturalną zatem otwarcie nawiasu dwa A zamknięcie nawiasu jest większe niż zero. Następnie przekształcamy równanie w otwarcie nawiasu A plus B zamknięcie nawiasu do potęgi N jest mniejsze niż dwa do potęgi N razy B do potęgi N plus dwa do potęgi N razy A do potęgi N. Korzystamy z własności potęgowania. Ostatnie przekształcenie równania będzie na otwarcie nawiasu A plus B zamknięcie nawiasu do potęgi N jest mniejsze niż dwa do potęgi N otwarcie nawiasu A do potęgi N plus B do potęgi N zamknięcie nawiasu. Wtedy wyłączamy wspólny czynnik przed nawias. Otrzymujemy żądaną nierówność, co kończy dowód.

W drugim przykładzie wykażemy, że rozwiązaniem równania X do potęgi minus piątej plus pięć X do potęgi minus czwartej plus dziesięć X do potęgi minus trzeciej plus dziesięć jest liczba większa od minus dwa. Przykład drugi rozpoczyna równanie X do potęgi minus piątej plus pięć X do potęgi minus czwartej plus dziesięć X do potęgi minus trzeciej plus dziesięć X do potęgi minus drugiej plus pięć X do potęgi minus pierwszej równa się minus jeden dla X nie równemu zero. Do dziedziny równania nie należy liczba zero. Następnie równanie zmienia się w X do potęgi minus piątej plus pięć X do potęgi minus czwartej plus dziesięć X do potęgi minus trzeciej plus dziesięć X do potęgi minus drugiej plus pięć X do potęgi minus pierwszej plus jeden równa się zero. Przenosimy liczbę minus jeden na prawą stronę równania. Następnie zapisujemy wyrażenie bez użycia potęg o wykładnikach ujemnych z czego wychodzi : jeden dzielone na X do potęgi piątej plus pięć dzielone na X do potęgi czwartej plus dziesięć dzielone na X do potęgi trzeciej plus dziesięć dzielone na X do potęgi drugiej plus pięć dzielone na X plus jeden równa się zero.

Zauważymy, że współczynniki liczbowe równania są równe kolejnym liczbom piątego wiersza trójkąta Pascala. Natomiast kolejne wykładniki zmiennej X zmniejsza się o jeden. Po lewej stronie ilustracji przedstawiony jest trójkąt Pascala w pierwszym rzędzie od góry posiada on liczbę jeden. W drugim rzędzie jeden i jeden. W trzecim rzędzie jeden, dwa i jeden. W czwartym rzędzie jeden, trzy, trzy i jeden. W piątym rzędzie jeden, cztery, sześć, cztery i jeden. W szóstym rzędzie jeden, pięć, dziesięć, dziesięć, pięć i jeden. W ostatnim rzędzie znajdują się liczby jeden, sześć, piętnaście, dwadzieścia, piętnaście, sześć i jeden. Przedostatni rząd trójkąta Pascala jest wyróżniony innym kolorem. Po prawej stronie ilustracji znajdują się równania. Pierwsze i tym samym pierwotne równanie to otwarcie nawiasu jeden na X plus jeden zamknięcie nawiasu do potęgi piątej równa się zero. Lewą stronę równania zapisujemy w postaci potęgi dwumianu. Następnie przekształcamy to w równanie jeden na X plus jeden równa się zero tak aby zapisać równanie w postaci równoważnej. Rozwiązujemy otrzymane równanie dzięki czemu powstanie nam równanie jeden plus X równa się zero. Pod tym zapisujemy X równa się minus jeden. Liczba minus jeden należy do dziedziny równania minus jeden nie jest równe zero. Liczba minus jeden jest większa od minus dwa. Rozwiązaniem równania jest więc liczba większa od minus dwa co kończy dowód. Finalnie otrzymujemy zapis minus jeden jest większe od minus dwa.

W tym przykładzie wykażemy, że liczba A będąca jedenastym wyrazem rozwinięcia potęgi otwarcie nawiasu pierwiastek z dwóch plus pierwiastek z trzech zamknięcie nawiasu do potęgi czterdziestej jest liczbą naturalną. Najpierw zapisujemy liczbę A, korzystając z dwumianu Newtona. A równa się otwarcie nawiasu dwumian Newtona czterdzieści po dziesięć zamknięcie nawiasu razy otwarcie nawiasu pierwiastek z dwóch zamknięcie nawiasu do potęgi czterdzieści minus dziesięć razy otwarcie nawiasu pierwiastek z trzech zamknięcie nawiasu do potęgi dziesiątej. Wykonujemy odejmowanie w wyniku. A równa się otwarcie nawiasu dwumian Newtona czterdzieści po dziesięć zamknięcie nawiasu razy otwarcie nawiasu pierwiastek z dwóch zamknięcie nawiasu do potęgi trzydziestej razy otwarcie nawiasu pierwiastek z trzech zamknięcie nawiasu do potęgi dziesiątej. Obliczamy wartość symbolu Newtona. Otwarcie nawiasu dwumian Newtona czterdzieści po dziesięć zamknięcie nawiasu równa się silnia z czterdziestu dzielona na silnia z dziesięciu razy silnia z trzydziestu. Finalnie równanie to otwarcie nawiasu dwumian Newtona czterdzieści po dziesięć zamknięcie nawiasu równa się trzydzieści jeden razy trzydzieści dwa razy trzydzieści trzy razy trzydzieści cztery razy trzydzieści pięć razy trzydzieści sześć razy trzydzieści siedem razy trzydzieści osiem razy trzydzieści dziewięć razy czterdzieści dzielone na jeden razy dwa razy trzy razy cztery razy pięć razy sześć razy siedem razy osiem razy dziewięć razy dziesięć.

W tym przykładzie po skróceniu otrzymaliśmy iloczyn liczb naturalnych. Wartość wyrażenia otwarcie nawiasu dwumian Newtona czterdzieści po dziesięć zamknięcie nawiasu to liczba naturalna. Otwarcie nawiasu dwumian Newtona czterdzieści po dziesięć zamknięcie nawiasu równa się trzydzieści jeden razy jedenaście razy trzydzieści cztery razy trzydzieści siedem razy trzydzieści osiem razy trzynaście razy cztery. Zapisujemy liczbę otwarcie nawiasu pierwiastek z dwóch zamknięcie nawiasu do potęgi trzydziestej bez użycia pierwiastka. Okazuje się, że jest to liczba naturalna. Otwarcie nawiasu pierwiastek z dwóch zamknięcie nawiasu do potęgi trzydziestej równa się otwarcie nawiasu dwa i jeden dzielone na dwa zamknięcie nawiasu do potęgi trzydziestej równanie dwa do potęgi piętnastej co należy do liczb naturalnych. Zapisujemy liczbę otwarcie nawiasu pierwiastek z trzech zamknięcie nawiasu do potęgi dziesiątej bez użycia pierwiastka. Okazuje się, że jest to liczba naturalna. Otwarcie nawiasu pierwiastek z trzech zamknięcie nawiasu do potęgi dziesiątej równa się otwarcie nawiasu trzy i jeden dzielone na dwa zamknięcie nawiasu do potęgi dziesiątej równa się trzy do potęgi piątej co należy do liczb naturalnych. Liczba A jest iloczynem liczb naturalnych, więc jest liczbą naturalną, co należało wykazać. A równa się otwarcie nawiasu cztery razy jedenaście razy trzynaście razy trzydzieści jeden razy trzydzieści cztery razy trzydzieści siedem razy trzydzieści osiem zamknięcie nawiasu razy dwa do potęgi piętnastej razy trzy do potęgi piątej. A należy do liczb naturalnych.