Na ilustracji widnieje trójkąt Pascala.
W pierwszym rzędzie od góry jest liczba jeden.
W drugim jeden i jeden.
W trzecim jeden, dwa i jeden.
W czwartym jeden, trzy, trzy i jeden.
W piątym jeden, cztery, sześć, cztery i jeden.
W szóstym jeden i pięć i dziesięć i dziesięć i pięć i jeden.
W siódmym jeden, puste pole, piętnaście, dwadzieścia, puste pole, sześć i jeden.
W ósmym jeden, siedem, puste pole, dwadzieścia osiem, pięćdziesiąt sześć, puste pole, pięćdziesiąt sześć, dwadzieścia osiem, osiem i jeden.
W dziewiątym jeden, puste pole, dwadzieścia osiem, pięćdziesiąt sześć, puste pole, pięćdziesiąt sześć, dwadzieścia osiem, osiem i jeden.
W ostatnim rzędzie jeden, dziewięć, trzydzieści sześć, puste pole, sto dwadzieścia sześć, sto dwadzieścia sześć, osiemdziesiąt cztery, trzydzieści sześć, dziewięć i jeden.
Na ilustracji widnieje trójkąt Pascala.
W pierwszym rzędzie od góry jest liczba jeden.
W drugim jeden i jeden.
W trzecim jeden, dwa i jeden.
W czwartym jeden, trzy, trzy i jeden.
W piątym jeden, cztery, sześć, cztery i jeden.
W szóstym jeden i pięć i dziesięć i dziesięć i pięć i jeden.
W siódmym jeden, puste pole, piętnaście, dwadzieścia, puste pole, sześć i jeden.
W ósmym jeden, siedem, puste pole, dwadzieścia osiem, pięćdziesiąt sześć, puste pole, pięćdziesiąt sześć, dwadzieścia osiem, osiem i jeden.
W dziewiątym jeden, puste pole, dwadzieścia osiem, pięćdziesiąt sześć, puste pole, pięćdziesiąt sześć, dwadzieścia osiem, osiem i jeden.
W ostatnim rzędzie jeden, dziewięć, trzydzieści sześć, puste pole, sto dwadzieścia sześć, sto dwadzieścia sześć, osiemdziesiąt cztery, trzydzieści sześć, dziewięć i jeden.
Opisz konstrukcję trójkąta Pascala oraz zastosowanie trójkąta poznane w tej lekcji.
RLosJzcHeSjw4
(Uzupełnij).
Trójkąt Pascala to trójkątna tablica liczb, w której skrajne liczby zlokalizowane są na bokach z prawej i z lewej strony i są to jedynki. Liczby w kolejnych wierszach powstają poprzez dodanie dwóch sąsiednich liczb z wiersza znajdującego się powyżej. Zatem, idąc od górnego wierzchołka, w pierwszym wierszu znajduje się jeden, w drugim dwie jedynki, w trzecim jeden, dwa oraz jeden, w czwartym jeden, trzy, trzy, jeden. Trójkąt ten znalazł zastosowanie w twierdzeniu o n‑tej potędze sumy.
RZEN3d5x9oBXD1
Ćwiczenie 2
Zaznacz każde zdanie prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Każda z liczb w trójkącie Pascala jest sumą dwóch liczb poprzedniego wiersza, stojących najbliżej tej liczby., 2. Suma liczb stojących w wierszu o numerze cztery w trójkącie Pascala jest równa szesnaście., 3. Każda liczba zapisana w trójkącie Pascala jest liczbą naturalną., 4. W n–tym wierszu trójkąta Pascala kolejne liczby to symbol Newtona, otwarcie nawiasu, n po zero, zamknięcie nawiasu, przecinek, symbol Newtona, otwarcie nawiasu, n po jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, symbol Newtona, otwarcie nawiasu, n po dwa, zamknięcie nawiasu, przecinek, wielokropek, przecinek, symbol Newtona, otwarcie nawiasu, n po n, minus, jeden, zamknięcie nawiasu, przecinek, symbol Newtona, otwarcie nawiasu, n po n, zamknięcie nawiasu
R1G2FgmrxEVya2
Ćwiczenie 3
Otwarcie nawiasu X do potęgi drugiej plus Y zamknięcie nawiasu do potęgi piątej równa się X do potęgi dziesiątej plus miejsce na odpowiedź plus dziesięć X do potęgi szóstej Y do potęgi drugiej plus dziesięć X do potęgi czwartej Y do potęgi trzeciej plus miejsce na odpowiedź plus miejsce na odpowiedź.
Odpowiedzi do wyboru to:
Pięć X do potęgi dziewiątej Y.
Y.
Y do potęgi szóstej.
Pięć X do potęgi drugiej Y do potęgi czwartej.
Dziesięć XY do potęgi czwartej.
Y do potęgi piątej.
Pięć X do potęgi ósmej Y.
Otwarcie nawiasu X do potęgi drugiej plus Y zamknięcie nawiasu do potęgi piątej równa się X do potęgi dziesiątej plus miejsce na odpowiedź plus dziesięć X do potęgi szóstej Y do potęgi drugiej plus dziesięć X do potęgi czwartej Y do potęgi trzeciej plus miejsce na odpowiedź plus miejsce na odpowiedź.
Odpowiedzi do wyboru to:
Pięć X do potęgi dziewiątej Y.
Y.
Y do potęgi szóstej.
Pięć X do potęgi drugiej Y do potęgi czwartej.
Dziesięć XY do potęgi czwartej.
Y do potęgi piątej.
Pięć X do potęgi ósmej Y.
RPwX3b43Kwd732
Ćwiczenie 4
Połącz w pary potęgę dwumianu i jej zapis w postaci sumy jednomianów. nawias, a, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. szesnaście, plus, trzydzieści dwa a, plus, dwadzieścia cztery a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, osiem a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 2. jeden, plus, pięć a, plus, dziesięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dziesięć a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięć a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 3. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, sześć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwanaście a, plus, osiem, 4. jeden, plus, trzy a, plus, trzy a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 5. a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, cztery a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, sześć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery a, plus, jeden nawias, jeden, plus, a, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. szesnaście, plus, trzydzieści dwa a, plus, dwadzieścia cztery a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, osiem a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 2. jeden, plus, pięć a, plus, dziesięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dziesięć a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięć a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 3. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, sześć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwanaście a, plus, osiem, 4. jeden, plus, trzy a, plus, trzy a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 5. a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, cztery a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, sześć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery a, plus, jeden nawias, dwa, plus, a, zamknięcie nawiasu, indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. szesnaście, plus, trzydzieści dwa a, plus, dwadzieścia cztery a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, osiem a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 2. jeden, plus, pięć a, plus, dziesięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dziesięć a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięć a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 3. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, sześć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwanaście a, plus, osiem, 4. jeden, plus, trzy a, plus, trzy a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 5. a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, cztery a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, sześć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery a, plus, jeden nawias, a, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. szesnaście, plus, trzydzieści dwa a, plus, dwadzieścia cztery a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, osiem a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 2. jeden, plus, pięć a, plus, dziesięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dziesięć a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięć a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 3. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, sześć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwanaście a, plus, osiem, 4. jeden, plus, trzy a, plus, trzy a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 5. a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, cztery a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, sześć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery a, plus, jeden nawias, jeden, plus, a, zamknięcie nawiasu, indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. szesnaście, plus, trzydzieści dwa a, plus, dwadzieścia cztery a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, osiem a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 2. jeden, plus, pięć a, plus, dziesięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dziesięć a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięć a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 3. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, sześć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwanaście a, plus, osiem, 4. jeden, plus, trzy a, plus, trzy a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 5. a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, cztery a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, sześć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery a, plus, jeden
Połącz w pary potęgę dwumianu i jej zapis w postaci sumy jednomianów. nawias, a, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. szesnaście, plus, trzydzieści dwa a, plus, dwadzieścia cztery a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, osiem a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 2. jeden, plus, pięć a, plus, dziesięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dziesięć a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięć a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 3. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, sześć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwanaście a, plus, osiem, 4. jeden, plus, trzy a, plus, trzy a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 5. a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, cztery a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, sześć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery a, plus, jeden nawias, jeden, plus, a, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. szesnaście, plus, trzydzieści dwa a, plus, dwadzieścia cztery a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, osiem a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 2. jeden, plus, pięć a, plus, dziesięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dziesięć a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięć a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 3. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, sześć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwanaście a, plus, osiem, 4. jeden, plus, trzy a, plus, trzy a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 5. a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, cztery a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, sześć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery a, plus, jeden nawias, dwa, plus, a, zamknięcie nawiasu, indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. szesnaście, plus, trzydzieści dwa a, plus, dwadzieścia cztery a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, osiem a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 2. jeden, plus, pięć a, plus, dziesięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dziesięć a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięć a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 3. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, sześć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwanaście a, plus, osiem, 4. jeden, plus, trzy a, plus, trzy a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 5. a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, cztery a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, sześć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery a, plus, jeden nawias, a, plus, dwa, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. szesnaście, plus, trzydzieści dwa a, plus, dwadzieścia cztery a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, osiem a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 2. jeden, plus, pięć a, plus, dziesięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dziesięć a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięć a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 3. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, sześć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwanaście a, plus, osiem, 4. jeden, plus, trzy a, plus, trzy a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 5. a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, cztery a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, sześć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery a, plus, jeden nawias, jeden, plus, a, zamknięcie nawiasu, indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego Możliwe odpowiedzi: 1. szesnaście, plus, trzydzieści dwa a, plus, dwadzieścia cztery a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, osiem a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, 2. jeden, plus, pięć a, plus, dziesięć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dziesięć a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, pięć a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, pięć, koniec indeksu górnego, 3. a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, sześć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, dwanaście a, plus, osiem, 4. jeden, plus, trzy a, plus, trzy a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, 5. a indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, plus, cztery a indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, sześć a indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, plus, cztery a, plus, jeden
R1ZFtxvmy5Xwf2
Ćwiczenie 5
Zaznacz wszystkie liczby, należące do zbioru rozwiązań równania nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, sześć, koniec indeksu górnego, minus, nawias, x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, indeks górny, cztery, koniec indeksu górnego, równa się, zero. Możliwe odpowiedzi: 1. minus, dwa, 2. minus, jeden, 3. zero, 4. jeden
Rqufhz7JNTOXx2
Ćwiczenie 6
Wyrażenie otwarcie nawiasu A plus B zamknięcie nawiasu do potęgi piątej minus A otwarcie nawiasu plus b zamknięcie nawiasu do potęgi czwartej minus AB otwarcie nawiasu A plus B zamknięcie nawiasu do potęgi trzeciej zapisane w postaci iloczynu to:
Możliwe odpowiedzi to B otwarcie nawiasu A plus B zamknięcie nawiasu do potęgi trzeciej, A otwarcie nawiasu A plus B zamknięcie nawiasu do potęgi drugiej, otwarcie nawiasu A plus B zamknięcie nawiasu do potęgi drugiej oraz B do potęgi drugiej otwarcie nawiasu A plus B zamknięcie nawiasu do potęgi trzeciej.
Rx1ATjisiZPfc3
Ćwiczenie 7
Pierwsze równanie: otwarcie nawiasu A plus trzy zamknięcie nawiasu do potęgi trzeciej równa się otwarcie nawiasu dwumian Newtona trzy po zero zamknięcie nawiasu razy A do potęgi trzeciej trzy do potęgi zero plus pole na odpowiedź razy A do potęgi drugiej razy trzy do potęgi pierwszej plus otwarcie nawiasu dwumian Newtona trzy po dwa zamknięcie nawiasu razy pole na odpowiedź plus pole na odpowiedź razy A do potęgi zero trzy do potęgi trzy.
Drugie równanie: otwarcie nawiasu A plus trzy zamknięcie nawiasu do potęgi trzeciej równa się A do potęgi trzeciej trzy do potęgi zero plus pole na odpowiedź plus trzy A do potęgi pierwszej razy trzy do potęgi drugiej plus pole na odpowiedź.
Trzecie równanie: otwarcie nawiasu A plus trzy zamknięcie nawiasu do potęgi trzeciej równa się pole na odpowiedź plus dziewięć A do potęgi drugiej plus pole na odpowiedź plus dwadzieścia siedem.
Możliwe odpowiedzi to: trzy razy A do potęgi drugiej razy trzy do potęgi pierwszej , A do potęgi trzeciej, dwadzieścia siedem A, otwarcie nawiasu dwumian Newtona trzy po jeden zamknięcie nawiasu, A do potęgi pierwszej razy trzy do potęgi drugiej, otwarcie nawiasu dwumian Newtona trzy po trzy zamknięcie nawiasu i A do potęgi zero razy trzy do potęgi trzeciej.
Pierwsze równanie: otwarcie nawiasu A plus trzy zamknięcie nawiasu do potęgi trzeciej równa się otwarcie nawiasu dwumian Newtona trzy po zero zamknięcie nawiasu razy A do potęgi trzeciej trzy do potęgi zero plus pole na odpowiedź razy A do potęgi drugiej razy trzy do potęgi pierwszej plus otwarcie nawiasu dwumian Newtona trzy po dwa zamknięcie nawiasu razy pole na odpowiedź plus pole na odpowiedź razy A do potęgi zero trzy do potęgi trzy.
Drugie równanie: otwarcie nawiasu A plus trzy zamknięcie nawiasu do potęgi trzeciej równa się A do potęgi trzeciej trzy do potęgi zero plus pole na odpowiedź plus trzy A do potęgi pierwszej razy trzy do potęgi drugiej plus pole na odpowiedź.
Trzecie równanie: otwarcie nawiasu A plus trzy zamknięcie nawiasu do potęgi trzeciej równa się pole na odpowiedź plus dziewięć A do potęgi drugiej plus pole na odpowiedź plus dwadzieścia siedem.
Możliwe odpowiedzi to: trzy razy A do potęgi drugiej razy trzy do potęgi pierwszej , A do potęgi trzeciej, dwadzieścia siedem A, otwarcie nawiasu dwumian Newtona trzy po jeden zamknięcie nawiasu, A do potęgi pierwszej razy trzy do potęgi drugiej, otwarcie nawiasu dwumian Newtona trzy po trzy zamknięcie nawiasu i A do potęgi zero razy trzy do potęgi trzeciej.
3
Ćwiczenie 8
Znajdź czwarty wyraz rozwinięcia dwumianu , korzystając z dwumianu Newtona.