Przeczytaj

Każda prosta umieszczona w prostokątnym układzie współrzędnych, która nie jest równoległa do osi $Y$ , może zostać opisana tzw. równaniem kierunkowym:

y = a x + b

gdzie $a, b \in ℝ$ . Liczby $a$ i $b$ nazywamy współczynnikami równania kierunkowego: $a$ to współczynnik kierunkowy, zaś $b$ to wyraz wolnywyraz wolnywyraz wolny.

Przykład 1

Podamy współczynniki danych równań kierunkowych prostychrównanie kierunkowe prostejrównań kierunkowych prostych.

Równanie kierunkowe prostej	Współczynnik kierunkowy	Wyraz wolny
$y = 3 x - 5$	$3$	$- 5$
$y = π x - \sqrt{2}$	$π$	$- \sqrt{2}$
$y = \frac{7}{3}$	$0$	$\frac{7}{3}$
$y = 0$	$0$	$0$
$y = - 3 x$	$- 3$	$0$
$y = - 5 x - 3 + π$	$- 5$	$- 3 + π$
$y = (2, 5 - \sqrt{3}) x + \sqrt{5} - π$	$2, 5 - \sqrt{3}$	$\sqrt{5} - π$

Zauważmy, że jeśli współczynnik kierunkowywspółczynnik kierunkowywspółczynnik kierunkowy jest równy zeru, to równanie przyjmuje postać:

y = a x + b

y = 0 \cdot x + b

y = b

Równanie postaci $y = b$ oznacza, że niezależnie od wartości zmiennej $x$ , wartość zmiennej $y$ jest stała i równa $b$ . Zatem punkty leżące na prostej będącej wykresem tego równania, mają współrzędne $(x_{0}, b)$ , gdzie $x_{0}$ jest dowolną liczbą rzeczywistą. Podsumowując, prosta o równaniu $y = b$ jest równoległa do osi $X$ i przecina oś $Y$ w punkcie $(0, b)$ .

R19nEvgLi7iz6

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y. Osie nie mają zaznaczonych wartości. Na płaszczyźnie narysowana jest pozioma prosta o równaniu Y równa się B, przy czym punkt B położony jest na dodatniej półosi OY i ma współrzędne zero B.

Wyznaczymy teraz współrzędne punktów przecięcia prostej o równaniu $y = a x + b$ z osiami układu współrzędnych.

Aby wyznaczyć współrzędne punktu przecięcia z osią $Y$ , wystarczy zauważyć, że każdy punkt na tej osi ma odciętą równą $0$ , zatem ma współrzędne postaci $(0, y_{0})$ .

Podstawmy te współrzędne do równania $y = a x + b$ . Otrzymujemy:

y_{0} = a \cdot 0 + b

y_{0} = b

Wynika stąd, że punkt przecięcia prostej o równaniu $y = a x + b$ z osią $Y$ ma współrzędne $(0, b)$ .

Aby wyznaczyć współrzędne punktu przecięcia z osią $X$ , wystarczy zauważyć, że każdy punkt na tej osi ma rzędną równą $0$ , zatem ma współrzędne postaci $(x_{0}, 0)$ . Podstawmy te współrzędne do równania $y = a x + b$ . Otrzymamy:

0 = a \cdot x_{0} + b

a x_{0} = - b

Jeśli $a$ nie jest równe zeru (czyli prosta nie jest równoległa do osi $X$ ), to możemy otrzymane równanie podzielić obustronnie przez $a$ , otrzymując

x_{0} = - \frac{b}{a}

Wynika stąd, że punkt przecięcia prostej o równaniu $y = a x + b$ z osią $X$ , gdzie $a \neq 0$ , ma współrzędne $(- \frac{b}{a}, 0)$ .

R1RnjBO2FqTU2

Przykład 2

Wyznaczymy punkty przecięcia prostych z osiami układu współrzędnych. Proste opisane są równaniami:

$y = - 3 x + 5$

Aby wyznaczyć współrzędne punktu przecięcia prostej z osią $Y$ , wystarczy zauważyć, że każdy punkt na tej osi ma odciętą równą $0$ , zatem ma współrzędne postaci $(0, y_{0})$ . Podstawmy te współrzędne do równania $y = - 3 x + 5$ :

$y_{0} = - 3 \cdot 0 + 5$ ,

$y_{0} = 5$ .

Wynika stąd, że punkt przecięcia prostej o równaniu $y = - 3 x + 5$ z osią $Y$ ma współrzędne $(0, 5)$ .

Aby wyznaczyć współrzędne punktu przecięcia z osią $X$ , wystarczy zauważyć, że każdy punkt na tej osi ma rzędną równą $0$ , zatem ma współrzędne postaci $(x_{0}, 0)$ .

Podstawmy te współrzędne do równania $y = - 3 x + 5$ . Otrzymamy:

$0 = - 3 x_{0} + 5$ ,

$3 x_{0} = 5$ ,

$x_{0} = \frac{5}{3}$ .

Wynika stąd, że punkt przecięcia prostej o równaniu $y = - 3 x + 5$ z osią $X$ ma współrzędne $(\frac{5}{3}, 0)$ .

$y = 4 x$

Aby wyznaczyć współrzędne punktu przecięcia prostej z osią $Y$ , podstawmy $(0, y_{0})$ do równania $y = 4 x$ . Otrzymamy:

$y_{0} = 4 \cdot 0$ ,

$y_{0} = 0$ .

Wynika stąd, że punkt przecięcia prostej o równaniu $y = 4 x$ z osią $Y$ ma współrzędne $(0, 0)$ .

Aby wyznaczyć współrzędne punktu przecięcia prostej z osią $X$ , podstawmy $(x_{0}, 0)$ do równania $y = 4 x$ . Otrzymamy:

$0 = 4 \cdot x_{0}$ ,

$x_{0} = 0$ .

Wynika stąd, że punkt przecięcia prostej o równaniu $y = 4 x$ z osią $X$ ma współrzędne $(0, 0)$ .

Zatem prosta o równaniu $y = 4 x$ przecina każdą z osi układu w punkcie $(0, 0)$ .

$y = - 2$

Aby wyznaczyć współrzędne punktu przecięcia prostej z osią $Y$ , podstawmy $(0, y_{0})$ do równania $y = - 2$ . Otrzymamy:

$y_{0} = - 2$ .

Wynika stąd, że punkt przecięcia prostej o równaniu $y = - 2$ z osią $Y$ ma współrzędne $(0, - 2)$ . Ta prosta jest równoległa do osi $X$ , więc nie ma z nią punktów wspólnych.

$y = 0$

Prosta o równaniu $y = 0$ pokrywa się z osią $X$ , zatem punkt przecięcia z osią $Y$ ma współrzędne $(0, 0)$ , zaś punktów wspólnych z osią $X$ jest nieskończenie wiele.

Przykład 3

Wyznaczymy równanie kierunkowe narysowanej prostej.

RBszOwOSOWKsY

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus trzech do czterech oraz pionową osią Y od minus dwóch do trzech. Na płaszczyźnie narysowana jest ukośna prosta, funkcja jest rosnąca. Na płaszczyźnie zaznaczone są trzy punkty: H o współrzędnych minus trzy zero, J o współrzędnych minus jeden jeden oraz K o współrzędnych jeden dwa.

Aby wyznaczyć równanie $y = a x + b$ narysowanej prostej odczytamy najpierw współrzędne przynajmniej dwóch z punktów kratowych $H = (- 3, 0), J = (- 1, 1), K = (1, 2)$ , przez które przechodzi ta prosta.

Do równania prostej podstawiamy najpierw współrzędne punktu $K = (1, 2)$ , otrzymując równanie $2 = a + b$ .
Następnie podstawiamy współrzędne punktu $J = (- 1, 1)$ , otrzymując równanie $1 = - a + b$ .

Aby wyznaczyć współczynniki $a$ i $b$ wystarczy rozwiązać układ równań

$\{\begin{cases} a + b = 2 \\ - a + b = 1 \end{cases}$

Po dodaniu równań stronami otrzymujemy równanie:

$2 b = 3$

$b = \frac{3}{2}$ ,

zatem

$\{\begin{cases} b = \frac{3}{2} \\ a + b = 2 \end{cases}$ .

Po podstawieniu wyznaczonego $b$ do pierwszego z równań, możemy wyznaczyć $a$ .

$\{\begin{cases} b = \frac{3}{2} \\ a + \frac{3}{2} = 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} b = \frac{3}{2} \\ a = \frac{1}{2} \end{cases}$

Zatem prosta ma równanie $y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$ .

Słownik

równanie kierunkowe prostej

równanie postaci $y = a x + b$ , gdzie $a, b \in ℝ$ , równanie kierunkowe opisuje proste, które nie są równoległe do osi $Y$

współczynnik kierunkowy

współczynnik przy zmiennej $x$ w równaniu kierunkowym prostej zwykle oznaczany przez literą $a$

wyraz wolny

współczynnik $b$ w równaniu kierunkowym prostej $y = a x + b$ , określa punkt przecięcia prostej $(0, b)$ z osią $Y$

Wprowadzenie

Infografika

Słownik