Dany jest punktwspółrzędne punktupunkt $K=\left(3,5\right)$. Wyznaczymy współrzędne punktu:

a) $K\text{'}$, który otrzymamy w wyniku przesunięcia punktu $K$ o cztery jednostki w prawo wzdłuż osi $X$,

b) $K\text{'}\text{'}$, który otrzymamy w wyniku przesunięcia punktu $K$ o cztery jednostki w lewo wzdłuż osi $X$,

c) $L$, który otrzymamy w wyniku przesunięcia punktu $K$ o $p$ jednostek wzdłuż osi $X$, gdzie $p$ jest liczbą rzeczywistą.

Dany jest wykres funkcji $y=f\left(x\right)$. Sporządzimy wykres funkcji $g\left(x\right)$ otrzymany w wyniku:

a) przesunięcia danego wykresu o $5$ jednostek w prawo wzdłuż osi $X$,

b) przesunięcia danego wykresu o $3$ jednostki w lewo wzdłuż osi $X$.

RRRLAq0EZEvQP

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus dziesięciu do dziewięciu i pionową oś Y od minus pięciu do pięciu. Na rysunku zaznaczono także różne punkty. Punkt A o współrzędnych nawias minus sześć średnik zero koniec nawiasu, punkt B nawias zero średnik dwa koniec nawiasu, punkt C nawias minus dwa średnik minus dwa koniec nawiasu, punkt D nawias trzy średnik cztery koniec nawiasu, punkt E nawias minus pięć średnik trzy koniec nawiasu.

Wykres danej funkcji to zbiór pięciu punktów. Aby otrzymać wykres funkcji w wyniku przesunięcia wzdłuż osi $X$ należy każdy punktwspółrzędne punktupunkt przesunąć analogicznie jak robiliśmy to w przykładzie 1.

Ad a)

Ad a)

R14fyapGPFHuI

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus ośmiu do jedenastu i pionową oś Y od minus pięciu do pięciu. Na rysunku zaznaczono także różne punkty. Punkt A o współrzędnych nawias minus sześć średnik zero koniec nawiasu, punkt B nawias zero średnik dwa koniec nawiasu, punkt C nawias minus dwa średnik minus dwa koniec nawiasu, punkt D nawias trzy średnik cztery koniec nawiasu, punkt E minus pięć średnik trzy koniec nawiasu. Na rysunku zaznaczono także dodatkowo punkty. Punkt A z indeksem dolnym a o współrzędnych nawias minus jeden średnik zero koniec nawiasu, punkt B z indeksem dolnym a nawias pięć średnik dwa koniec nawiasu, punkt C z indeksem dolnym a nawias trzy średnik minus dwa koniec nawiasu, punkt D z indeksem dolnym a nawias osiem średnik cztery koniec nawiasu, punkt E z indeksem dolnym a nawias zero średnik trzy koniec nawiasu.

Ad b)

Ad b)

RuzDrCPNZQMPn

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus ośmiu do jedenastu i pionową oś Y od minus pięciu do pięciu. Na rysunku zaznaczono także różne punkty. Punkt A o współrzędnych nawias minus sześć średnik zero koniec nawiasu, punkt B nawias zero średnik dwa koniec nawiasu, punkt C nawias minus dwa średnik minus dwa koniec nawiasu, punkt D nawias trzy średnik cztery koniec nawiasu, punkt E minus pięć średnik trzy koniec nawiasu. Na rysunku zaznaczono także dodatkowo punkty. Punkt A z indeksem dolnym b o współrzędnych nawias minus dziewięć średnik zero koniec nawiasu, punkt B z indeksem dolnym b nawias minus trzy średnik dwa koniec nawiasu, punkt C z indeksem dolnym b nawias minus pięć średnik minus dwa koniec nawiasu, punkt D z indeksem dolnym b nawias zero średnik cztery koniec nawiasu, punkt E z indeksem dolnym b nawias minus osiem średnik trzy koniec nawiasu.

W kolejnym przykładzie będziemy przesuwać wzdłuż osi $X$ wykres funkcji $f\left(x\right)=\sqrt{x}$, $x\in \left.⟨0,+\mathrm{\infty }\right)$. W przykładzie zwrócimy uwagę na dziedzinęDziedzina funkcjidziedzinę nowej funkcji oraz jej wzór.

Aby sporządzić wykres funkcji $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ skorzystamy z tabeli częściowej, dzięki której będziemy mieli punkty o współrzednych całkowitych, które będą punktami przesuwanymi.

Zwróćmy uwagę na poniższy interaktywny wykres. Przesuwając suwakiem można zauważyć jak zmienia się dziedzinaDziedzina funkcjidziedzina oraz wzór funkcji w zależności od przesunięcia.

RhxgvhVt7AZ4i

Interaktywny wykres przedstawia poziomą oś X od minus sześciu do dwudziestu jeden i pionową oś Y od minus siedmiu do pięciu. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji f od x równa się pierwiastek z x. Wykres zaczyna się w  punkcie nawias zero średnik zero koniec nawiasu, po czym funkcja rośnie, przechodząc przez punkty o współrzędnych: nawias jeden średnik jeden koniec nawiasu, nawias cztery średnik dwa koniec nawiasu, nawias dziewięć średnik trzy koniec nawiasu i nawias szesnaście średnik cztery koniec nawiasu. Na rysunku zaznaczony jest także wykres funkcji g od x równa się początek pierwiastka x plus p koniec pierwiastka. Kształt wykresu funkcji g jest taki sam jak kształt wykresu funkcji f. Pod wykresem znajduje się suwak, którym możemy ustawić parametr p od liczby minus pięć do liczby pięć co pół jednostki. Zmieniając parametr p, wykres funkcji g zostaje przesunięty o odpowiednią liczbę jednostek w odpowiednią stronę. Przykładowo, ustawiając parametr p jako minus pięć przedstawiony jest wykres funkcji g od x równa się początek pierwiastka x minus pięć koniec pierwiastka. Wtedy wykres funkcji g jest przesunięty względem wykresu funkcji f o pięć jednostek w prawą stronę.

Interaktywny wykres przedstawia poziomą oś X od minus sześciu do dwudziestu jeden i pionową oś Y od minus siedmiu do pięciu. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji f od x równa się pierwiastek z x. Wykres zaczyna się w  punkcie nawias zero średnik zero koniec nawiasu, po czym funkcja rośnie, przechodząc przez punkty o współrzędnych: nawias jeden średnik jeden koniec nawiasu, nawias cztery średnik dwa koniec nawiasu, nawias dziewięć średnik trzy koniec nawiasu i nawias szesnaście średnik cztery koniec nawiasu. Na rysunku zaznaczony jest także wykres funkcji g od x równa się początek pierwiastka x plus p koniec pierwiastka. Kształt wykresu funkcji g jest taki sam jak kształt wykresu funkcji f. Pod wykresem znajduje się suwak, którym możemy ustawić parametr p od liczby minus pięć do liczby pięć co pół jednostki. Zmieniając parametr p, wykres funkcji g zostaje przesunięty o odpowiednią liczbę jednostek w odpowiednią stronę. Przykładowo, ustawiając parametr p jako minus pięć przedstawiony jest wykres funkcji g od x równa się początek pierwiastka x minus pięć koniec pierwiastka. Wtedy wykres funkcji g jest przesunięty względem wykresu funkcji f o pięć jednostek w prawą stronę.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DhD2JFoqv

Jeżeli przesuwamy wykres funkcji $y=f\left(x\right)$ wzdłuż osi $X$ o $p$ jednostek, gdzie $p>0$, to:

• w wyniku przesunięcia w prawo otrzymamy wykres funkcji $y=f\left(x-p\right)$,

• w wyniku przesunięcia w lewo otrzymamy wykres funkcji $y=f\left(x+p\right)$.

Poćwiczymy przesuwanie wykresu funkcji $y=f\left(x\right)$ znając jej wykres oraz wzór funkcji $g\left(x\right)$. Dany jest wykres funkcji $y=f\left(x\right)$

R1bMV6Hqb5voI

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus jedenastu do jedenastu i pionową oś Y od minus siedmiu do pięciu. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji y równa się f od x. Wykres zaczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus siedem średnik zero koniec nawiasu, po czym funkcja maleje do punktu nawias minus pięć średnik minus dwa koniec nawiasu. Następnie funkcja rośnie do punktu nawias zero średnik trzy koniec nawiasu po czym maleje do punktu nawias trzy średnik minus sześć koniec nawiasu. Następnie znów zaczyna rosnąć do punktu nawias pięć średnik minus dwa koniec nawiasu i pozostaje stała do niezamalowanego punktu nawias osiem średnik minus dwa koniec nawiasu.

Sporządzimy wykres funkcji:

a) $g\left(x\right)=f\left(x+4\right)$

b) $g\left(x\right)=f\left(x-2\right)$

ad a)

ad a)

Zwróćmy uwagę, że $g\left(x\right)=f\left(x+4\right)$, co oznacza, że nasz wykres przesuniemy o $4$ jednostki w lewo.

R14zmDjmjQTJl

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus jedenastu do jedenastu i pionową oś Y od minus siedmiu do pięciu. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji y równa się f od x. Wykres zaczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus siedem średnik zero koniec nawiasu, po czym funkcja maleje do punktu nawias minus pięć średnik minus dwa koniec nawiasu. Następnie funkcja rośnie do punktu nawias zero średnik trzy koniec nawiasu po czym maleje do punktu nawias trzy średnik minus sześć koniec nawiasu. Następnie znów zaczyna rosnąć do punktu nawias pięć średnik minus dwa koniec nawiasu i pozostaje stała do niezamalowanego punktu nawias osiem średnik minus dwa koniec nawiasu. Po lewej stronie od wykresu funkcji f narysowano wykres funkcji g o takim samym kształcie. Funkcji g od x równa się f od x dodać cztery i jest przesunięta względem funkcji f o cztery jednostki w lewo. Funkcja g zaczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus jedenaście średnik zero koniec nawiasu, a kończy się w punkcie niezamalowanym nawias osiem średnik minus dwa koniec nawiasu.

ad b)

ad b)

Zwróćmy uwagę, że $g\left(x\right)=f\left(x-2\right)$, co oznacza, że przesuwamy wykres danej funkcji o $2$ jednostki w prawo.

RSb6aBM8amcH7

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus jedenastu do jedenastu i pionową oś Y od minus siedmiu do pięciu. Na rysunku zaznaczono także wykres funkcji y równa się f od x. Wykres zaczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus siedem średnik zero koniec nawiasu, po czym funkcja maleje do punktu nawias minus pięć średnik minus dwa koniec nawiasu. Następnie funkcja rośnie do punktu nawias zero średnik trzy koniec nawiasu po czym maleje do punktu nawias trzy średnik minus sześć koniec nawiasu. Następnie znów zaczyna rosnąć do punktu nawias pięć średnik minus dwa koniec nawiasu i pozostaje stała do niezamalowanego punktu nawias osiem średnik minus dwa koniec nawiasu. Po prawej stronie od wykresu funkcji f narysowano wykres funkcji g o takim samym kształcie. Funkcji g od x równa się f od x odjąć dwa i jest przesunięta względem funkcji f o dwie jednostki w prawo. Funkcja g zaczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus pięć średnik zero koniec nawiasu, a kończy się w punkcie niezamalowanym nawias dziesięć średnik minus dwa koniec nawiasu.

uporządkowana para liczb $\left(x,y\right)$; pierwszą współrzędną punktu nazywamy odciętą, zaś drugą rzędną punktu

zbiór argumentów funkcji

argument, czyli $x$ dla którego funkcja przyjmuje wartość $0$; mając wykres funkcji, jest to odcięta punktu przecięcia wykresu funkcji z osią $X$