Przeczytaj

Przypomnijmy najpierw pojęcia funkcji parzystej i funkcji nieparzystej.

Mówimy, że funkcja $f$ jest parzysta, gdy spełnia dwa warunki:

jeśli liczba $x$ należy do dziedziny funkcji $f$ , to również liczba przeciwna do $x$ należy do dziedziny funkcji $f$ ,
dla przeciwnych argumentów funkcja $f$ przyjmuje takie same wartości.

Symbolicznie możemy zapisać powyższą definicję następująco:

Funkcja $f$ jest parzysta, jeśli:

dla dowolnego $x \in D_{f}$ również $- x \in D_{f}$ , oraz
dla dowolnego $x \in D_{f}$ zachodzi $f (- x) = f (x)$ .

Można zauważyć, że wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi $Y$ układu współrzędnych.

Mówimy, że funkcja $f$ jest nieparzysta, gdy spełnia dwa warunki:

jeśli liczba $x$ należy do dziedziny funkcji $f$ , to również liczba przeciwna do $x$ należy do dziedziny funkcji $f$ ,
dla przeciwnych argumentów funkcja $f$ przyjmuje przeciwne wartości.

Symbolicznie możemy zapisać powyższą definicję następująco:

Funkcja $f$ jest nieparzysta, jeśli:

dla dowolnego $x \in D_{f}$ również $- x \in D_{f}$ , oraz
dla dowolnego $x \in D_{f}$ zachodzi $f (- x) = - f (x)$ .

Można zauważyć, że wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.

Przede wszystkim zauważmy, że funkcje sinus oraz cosinus są określone dla kąta o dowolnej mierze (również ujemnej).
Tangensa nie wyliczymy dla kątów o miarach $90 ° + k \cdot 180 °$ , gdzie $k$ jest dowolną liczbą całkowitą, czyli nie jest on określony dla kątów o miarach:
$- 270 °$ , $- 90 °$ , $90 °$ , $270 °$ , $. . .$
Zatem dla każdej z rozważanych elementarnych funkcji trygonometrycznych spełniony jest warunek pierwszy definicji obu własności:
jeśli dana liczba należy do dziedziny, to również liczba do niej przeciwna należy do dziedziny.

Rozważmy kąty o miarach $α$ oraz $- α$ . Umieszczamy oba kąty w prostokątnym układzie współrzędnych w położeniu standardowym:

R1RpFGPD00ItI

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz z pionową osią Y, obie bez podziałki. Na płaszczyźnie narysowano dwa kąty o wspólnym wierzchołku w początku układu współrzędnych oraz o wspólnym ramieniu, którym jest dodania półoś OX. Kąt rozwarty α przebiega od dodatniej półosi OX przez pierwszą i drugą ćwiartkę układu do swojego drugiego ramienia znajdującego się w drugiej ćwiartce. Ramię to przechodzi przez punkt A=x,y. Odległość tego punktu od początku układu współrzędnych wynosi rA=x2+y2. Drugi kąt, czyli kąt rozwarty -α przebiega od dodatniej półosi OX przez czwartą i trzecią ćwiartkę układu do swojego drugiego ramienia znajdującego się w trzeciej ćwiartce. Ramiona są symetryczne względem poziomej osi. Ramię drugiego kąta przechodzi przez punkt B=x,-y. Punkty A i B są symetryczne względem poziomej osi. Odległość tego punktu od początku układu współrzędnych wynosi rB=x2+y2.

Na drugim ramieniu kąta o mierze $α$ wybieramy punkt $A$ o współrzędnych $(x, y)$ .
Wówczas na drugim ramieniu kąta o mierze $- α$ możemy wybrać punkt $B$ o współrzędnych $(x, - y)$ .

Zauważmy, że oba punkty mają równe promienie wodzące, ponieważ:

r_{A} = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

r_{B} = \sqrt{x^{2} + {(- y)}^{2}} = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

Z definicji funkcji trygonometrycznych kątów dowolnych wynikają następujące równości:

\sin α = \frac{y}{r_{A}}

\sin (- α) = \frac{- y}{r_{B}} = - \frac{y}{r_{A}} = - \sin α

\cos α = \frac{x}{r_{A}}

\cos (- α) = \frac{x}{r_{B}} = \frac{x}{r_{A}} = \cos α

tg α = \frac{y}{x}

tg (- α) = \frac{- y}{x} = - \frac{y}{x} = - tg α

Z powyższych równości wynikają wzory:

$\sin (- α) = - \sin α$
$\cos (- α) = \cos α$
$tg (- α) = - tg α$

Powyższe wzory oznaczają, że sinus i tangens są funkcjami nieparzystymi, zaś cosinus jest funkcją parzystąfunkcja parzystafunkcją parzystą (czasami kwituje się ten fakt zdaniem: jedynie cosinus gubi minus).

Zwróćmy uwagę, że powyższe wzory są prawdziwe nie tylko dla kątów, których miary są podane w stopniach. Będą prawdziwe również wówczas, jeśli miary kątów wyrazimy w radianach. W poniższych przykładach rozważamy funkcje trygonometryczne jako funkcje zmiennej rzeczywistej.

Przykład 1

Uzasadnimy, że funkcja o wzorze $f (x) = \sin x \cdot \cos x$ jest funkcją nieparzystą.

Zauważmy najpierw, że ponieważ sinus i cosinus są funkcjami zdefiniowanymi dla dowolnych liczb rzeczywistych, więc ich iloczyn również posiada tę własność, czyli $D_{f} = ℝ$ .

Zatem spełniony jest pierwszy warunek definicji funkcji nieparzystej: jeśli $x \in D_{f}$ , to $- x \in D_{f}$ .

W celu sprawdzenia, czy zachodzi drugi warunek definicji funkcji nieparzystej rozważmy $f (- x)$ :

$f (- x) = \sin (- x) \cdot \cos (- x)$

Przypomnijmy, że $\sin (- α) = - \sin α$ oraz $\cos (- α) = \cos α$ . Zatem

$f (- x) = \sin (- x) \cdot \cos (- x) = - \sin x \cdot \cos x = - f (x)$ .

Oznacza to, że dla dowolnej liczby $x \in D_{f}$ spełniony jest warunek $f (- x) = - f (x)$ , co pozwala zakończyć dowód faktu, iż $f$ jest funkcją nieparzystąfunkcja nieparzystafunkcją nieparzystą.

Przykład 2

Uzasadnimy, że funkcja o wzorze $f (x) = \sin x \cdot tg x$ jest funkcją parzystą.

Zauważmy najpierw, że sinus jest funkcją zdefiniowaną dla dowolnej liczby rzeczywistej.

Tangens jest zdefiniowany dla wszystkich kątów poza tymi o miarach $\frac{π}{2} + k \cdot π$ , gdzie $k$ jest dowolną liczbą całkowitą.

Ponieważ iloczyn funkcji ma dziedzinę równą iloczynowi dziedzin tych funkcji, więc $D_{f} = ℝ ∖ \{\frac{π}{2} + k \cdot π : k \in ℤ\}$ .

Zatem spełniony jest pierwszy warunek definicji funkcji parzystej: jeśli $x \in D_{f}$ , to $- x \in D_{f}$ .

W celu sprawdzenia, czy zachodzi drugi warunek definicji funkcji parzystej rozważmy $f (- x)$ :

$f (- x) = \sin (- x) \cdot tg (- x)$

Przypomnijmy, że $\sin (- α) = - \sin α$ oraz $tg (- α) = - tg α$ . Zatem

$f (- x) = \sin (- x) \cdot tg (- x) = - \sin x \cdot (- tg x) = \sin x \cdot tg x = f (x)$ .

Oznacza to, że dla dowolnej liczby $x \in D_{f}$ spełniony jest warunek $f (- x) = f (x)$ , co pozwala zakończyć dowód faktu, iż $f$ jest funkcją parzystą.

Ważne!

W obu powyższych przykładach można skorzystać z następujących faktów:

iloczyn funkcji parzystych jest funkcją parzystąfunkcja parzystafunkcją parzystą,
iloczyn parzystej liczby funkcji nieparzystych jest funkcją parzystą,
iloczyn nieparzystej liczby funkcji nieparzystych jest funkcją nieparzystąfunkcja nieparzystafunkcją nieparzystą.

Spróbuj udowodnić te fakty.

Przykład 3

Zbadamy, parzystość/nieparzystość funkcji o wzorze $f (x) = \sin x + 1$ .

Zauważmy, że dziedziną funkcji $f$ jest zbiór liczb rzeczywistych.

Rozważmy teraz $f (- x)$ :

$f (- x) = \sin (- x) + 1 = - \sin x + 1$ .

Otrzymane wyrażenie nie wygląda ani jak $f (x) = \sin x + 1$ , ani jak $- f (x) = - \sin x - 1$ .

Jednak nie przyjmujemy tego faktu za dowód, że funkcja $f$ nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.

Być może po prostu nie potrafimy otrzymanego wyrażenia przedstawić w żądanej postaci...

W takich przypadkach podajemy kontrprzykład: wskazujemy dwie liczby przeciwne, dla których wartości funkcji nie są ani równe, ani przeciwne.

Weźmy $\frac{π}{3}$ oraz $- \frac{π}{3}$ :

$f (\frac{π}{3}) = \sin \frac{π}{3} + 1 = \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \approx 1, 87$

$f (- \frac{π}{3}) = \sin (- \frac{π}{3}) + 1 = - \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \approx 0, 13$ .

Ponieważ istnieje taka para liczb przeciwnych, dla której wartości funkcji $f$ nie są równe, więc $f$ nie jest funkcją parzystą.

Ponieważ istnieje taka para liczb przeciwnych, dla której wartości funkcji $f$ nie są przeciwne, więc $f$ nie jest funkcją nieparzystą.

Słownik

funkcja parzysta

funkcja liczbowa, która dla przeciwnych argumentów przyjmuje takie same wartości; definicja ta wymaga, aby dziedzina funkcji była symetryczna względem zera (każdy argument ma argument przeciwny); wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi $Y$

funkcja nieparzysta

funkcja liczbowa, która dla przeciwnych argumentów przyjmuje przeciwne wartości; definicja ta wymaga, aby dziedzina funkcji była symetryczna względem zera (każdy argument ma argument przeciwny); wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych

Wprowadzenie

Aplet

Słownik