Przeczytaj
Przypomnijmy najpierw pojęcia funkcji parzystej i funkcji nieparzystej.
Mówimy, że funkcja jest parzysta, gdy spełnia dwa warunki:
jeśli liczba należy do dziedziny funkcji , to również liczba przeciwna do należy do dziedziny funkcji ,
dla przeciwnych argumentów funkcja przyjmuje takie same wartości.
Symbolicznie możemy zapisać powyższą definicję następująco:
Funkcja jest parzysta, jeśli:
dla dowolnego również , oraz
dla dowolnego zachodzi .
Można zauważyć, że wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi układu współrzędnych.
Mówimy, że funkcja jest nieparzysta, gdy spełnia dwa warunki:
jeśli liczba należy do dziedziny funkcji , to również liczba przeciwna do należy do dziedziny funkcji ,
dla przeciwnych argumentów funkcja przyjmuje przeciwne wartości.
Symbolicznie możemy zapisać powyższą definicję następująco:
Funkcja jest nieparzysta, jeśli:
dla dowolnego również , oraz
dla dowolnego zachodzi .
Można zauważyć, że wykres funkcji nieparzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych.
Przede wszystkim zauważmy, że funkcje sinus oraz cosinus są określone dla kąta o dowolnej mierze (również ujemnej).
Tangensa nie wyliczymy dla kątów o miarach , gdzie jest dowolną liczbą całkowitą, czyli nie jest on określony dla kątów o miarach:
, , , ,
Zatem dla każdej z rozważanych elementarnych funkcji trygonometrycznych spełniony jest warunek pierwszy definicji obu własności:
jeśli dana liczba należy do dziedziny, to również liczba do niej przeciwna należy do dziedziny.
Rozważmy kąty o miarach oraz . Umieszczamy oba kąty w prostokątnym układzie współrzędnych w położeniu standardowym:
Na drugim ramieniu kąta o mierze wybieramy punkt o współrzędnych .
Wówczas na drugim ramieniu kąta o mierze możemy wybrać punkt o współrzędnych .
Zauważmy, że oba punkty mają równe promienie wodzące, ponieważ:
Z definicji funkcji trygonometrycznych kątów dowolnych wynikają następujące równości:
Z powyższych równości wynikają wzory:
Powyższe wzory oznaczają, że sinus i tangens są funkcjami nieparzystymi, zaś cosinus jest funkcją parzystąfunkcją parzystą (czasami kwituje się ten fakt zdaniem: jedynie cosinus gubi minus).
Zwróćmy uwagę, że powyższe wzory są prawdziwe nie tylko dla kątów, których miary są podane w stopniach. Będą prawdziwe również wówczas, jeśli miary kątów wyrazimy w radianach. W poniższych przykładach rozważamy funkcje trygonometryczne jako funkcje zmiennej rzeczywistej.
Uzasadnimy, że funkcja o wzorze jest funkcją nieparzystą.
Zauważmy najpierw, że ponieważ sinus i cosinus są funkcjami zdefiniowanymi dla dowolnych liczb rzeczywistych, więc ich iloczyn również posiada tę własność, czyli .
Zatem spełniony jest pierwszy warunek definicji funkcji nieparzystej: jeśli , to .
W celu sprawdzenia, czy zachodzi drugi warunek definicji funkcji nieparzystej rozważmy :
Przypomnijmy, że oraz . Zatem
.
Oznacza to, że dla dowolnej liczby spełniony jest warunek , co pozwala zakończyć dowód faktu, iż jest funkcją nieparzystąfunkcją nieparzystą.
Uzasadnimy, że funkcja o wzorze jest funkcją parzystą.
Zauważmy najpierw, że sinus jest funkcją zdefiniowaną dla dowolnej liczby rzeczywistej.
Tangens jest zdefiniowany dla wszystkich kątów poza tymi o miarach , gdzie jest dowolną liczbą całkowitą.
Ponieważ iloczyn funkcji ma dziedzinę równą iloczynowi dziedzin tych funkcji, więc .
Zatem spełniony jest pierwszy warunek definicji funkcji parzystej: jeśli , to .
W celu sprawdzenia, czy zachodzi drugi warunek definicji funkcji parzystej rozważmy :
Przypomnijmy, że oraz . Zatem
.
Oznacza to, że dla dowolnej liczby spełniony jest warunek , co pozwala zakończyć dowód faktu, iż jest funkcją parzystą.
W obu powyższych przykładach można skorzystać z następujących faktów:
iloczyn funkcji parzystych jest funkcją parzystąfunkcją parzystą,
iloczyn parzystej liczby funkcji nieparzystych jest funkcją parzystą,
iloczyn nieparzystej liczby funkcji nieparzystych jest funkcją nieparzystąfunkcją nieparzystą.
Spróbuj udowodnić te fakty.
Zbadamy, parzystość/nieparzystość funkcji o wzorze .
Zauważmy, że dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych.
Rozważmy teraz :
.
Otrzymane wyrażenie nie wygląda ani jak , ani jak .
Jednak nie przyjmujemy tego faktu za dowód, że funkcja nie jest ani parzysta, ani nieparzysta.
Być może po prostu nie potrafimy otrzymanego wyrażenia przedstawić w żądanej postaci...
W takich przypadkach podajemy kontrprzykład: wskazujemy dwie liczby przeciwne, dla których wartości funkcji nie są ani równe, ani przeciwne.
Weźmy oraz :
.
Ponieważ istnieje taka para liczb przeciwnych, dla której wartości funkcji nie są równe, więc nie jest funkcją parzystą.
Ponieważ istnieje taka para liczb przeciwnych, dla której wartości funkcji nie są przeciwne, więc nie jest funkcją nieparzystą.
Słownik
funkcja liczbowa, która dla przeciwnych argumentów przyjmuje takie same wartości; definicja ta wymaga, aby dziedzina funkcji była symetryczna względem zera (każdy argument ma argument przeciwny); wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem osi
funkcja liczbowa, która dla przeciwnych argumentów przyjmuje przeciwne wartości; definicja ta wymaga, aby dziedzina funkcji była symetryczna względem zera (każdy argument ma argument przeciwny); wykres funkcji parzystej jest symetryczny względem początku układu współrzędnych