Przeczytaj

Przykład 1

Na wadze szalkowej zostały ułożone:

trzy opakowania ciastek,
jeden odważnik $1$ – kilogramowy,
jeden odważnik $0, 5$ – kilogramowy.

Na lewej szalce znajdują się dwa opakowania ciastek i jeden odważnik $0, 5 kg$ , natomiast na prawej szalce jest jedno opakowanie ciastek i odważnik $1 kg$ .

W sytuacji, gdy waga przechylona jest na lewą stronę, masa przedmiotów umieszczonych na lewej szalce jest większa od masy przedmiotów umieszczonych na prawej szalce. Zatem masa dwóch opakowań ciastek i odważnika $0, 5 kg$ jest większa od masy jednego opakowania ciastek i odważnika $1 kg$ .

Jeżeli oznaczysz przez $x$ masę jednego opakowania ciastek to odpowiednio masę przedmiotów umieszczonych na lewej i prawej szalce wagi przedstawimy za pomocą następujących wyrażeń algebraicznych:

lewa strona wagi: $2 x + 0,5$

prawa strona wagi: $x + 1$

Pamiętając o tym, że waga jest przechylona na lewą stronę, możemy zapisać:

2 x + 0,5 > x + 1

Taki zapis nazywamy nierównością, a występującą w nim szukaną wielkość $x$ nazywamy niewiadomą.

Przykład 2

Lena miała banknot $10 zł$ . Kupiła kilka kartonów soku pomarańczowego po $2, 50 zł$ każdy.

W sklepie otrzymała ponad $2 zł$ reszty. Ile kartonów soku pomarańczowego kupiła Lena?

Jeżeli Lena otrzymała ponad $2 zł$ reszty, to za soki zapłaciła mniej niż $8 zł$ . Mogła zatem kupić co najwyżej trzy kartony soku pomarańczowego.

Warunek ten można opisać za pomocą nierówności:

10 - 2, 5 \cdot x < 8

gdzie:
$x$ – oznacza liczbę kartonów soku pomarańczowego zakupionych przez Lenę.

Ważne!

Dwa wyrażenia algebraiczne połączone znakiem $>$ , $<$ , $\leq$ , $\geq$ nazywamy nierównością algebraiczną.

Przykłady nierówności algebraicznych:

$3 x^{3} - 5 > 2 x$
$3 a b > 4 a^{2}$
$2 x + 5 \leq x - 1$
$3 x y z < 1$
$7 z^{5} \geq 2 z - 9$ .

Nierówność pierwszego stopnia (liniowa) z jedną niewiadomą

Definicja: Nierówność pierwszego stopnia (liniowa) z jedną niewiadomą

Nierównością pierwszego stopnia (liniową) z jedną niewiadomą nazywamy nierówność, w której występuje dokładnie jedna niewiadoma w pierwszej potędze.

Np.:

$2 x - 3 \leq 7 + x$
$2 x - 3 \leq 7 + x$
$2 \frac{1}{3} x + \frac{1}{2} < 4 x$
$x \leq 0$
$- 2 x + 3 \geq x - 6$ .

Nierówności, w których występują znaki $<$ lub $>$ nazywamy nierównościami ostrymi.

Nierówności, w których występują znaki $\leq$ lub $\geq$ nazywamy nierównościami nieostrymi.

Nierówność pierwszego stopnia (liniowa) z jedną niewiadomąNierówność pierwszego stopnia (liniowa) z jedną niewiadomą jest to nierówność, którą można sprowadzić do postaci:

$a x + b > 0$ lub $a x + b \geq 0$

gdzie:
$a$ i $b$ – są ustalonymi liczbami rzeczywistym oraz $a \neq 0$ .

Przykład 3

Suma trzech kolejnych liczb niepodzielnych przez $4$ jest mniejsza od $105$ . Zapiszemy nierówność, która pozwoli wyznaczyć trójkę największych takich liczb. Trzy kolejne liczby niepodzielne przez 4 możemy zapisać w następujący sposób:

$4 n + 1$ , $4 n + 2$ , $4 n + 3$ , dla $n \in N$ .

Zatem nierówność będzie miała postać:

$4 n + 1 + 4 n + 2 + 4 n + 3 < 105$ .

Ciekawostka

Jedną z najsłynniejszych nierówności jest tak zwana „nierówność trójkąta”, która mówi o tym, że suma długości dwóch dowolnych boków trójkąta musi być większa niż długość trzeciego boku. Jej twórcą jest grecki matematyk, Euklides.

R1VMrDSzgLYVl

Ilustracja przedstawia trójkąt o bokach a, b i c. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

a < b + c

b < a + c

c < a + b

Słownik

nierówność pierwszego stopnia (liniowa) z jedną niewiadomą

nierówność, w której występuje dokładnie jedna niewiadoma w pierwszej potędze

Wprowadzenie

Infografika

Słownik