Niech oznacza dowolną funkcję określoną w otoczeniu punktu .
Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu zmiennej niezależnej nazywamy wyrażenie
.
R1ca3pCphNfeZ
Ilustracja przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych. Na płaszczyźnie narysowano dwa obiekty. Pierwszy w nich to parabola o ramionach skierowanych do góry i o wierzchołku w pierwszej ćwiartce układu. Parabolę tę przecina w dwóch punktach ukośna prosta nachylona do poziomej osi X pod ostrym kątem alfa. Prosta ta opisana jest wzorem . Pierwszy punkt przecięcia ma współrzędne , które zrzutowano na obie osie. Punkt drugi przecięcia ma współrzędne . Punkt ten również zrzutowano na obie osie. Dodatkowo z pierwszego punktu wykreślono w prawo odcinek o długości h, jest to różnica między pierwszymi współrzędnymi obu punktów. Z drugiego punktu poprowadzono w dół pionowy odcinek o długości . Dorysowane odcinki tworzą trójkąt prostokątny wraz z odcinkiem znajdującym się na prostej pomiędzy punktami przecięcia z parabolą. Zaznaczono dwa kąty wewnętrzne w tym trójkącie: kąt alfa między poziomym odcinkiem a odcinkiem na prostek oraz kąt prosty między poziomym i pionowym odcinkiem.
Kliknij, aby uruchomić podgląd
Zdefiniujmy pojęcie pochodnej funkcji w punkcie.
Pochodna funkcji w punkcie
Definicja: Pochodna funkcji w punkcie
Niech oznacza dowolną funkcję określoną w otoczeniu punktu .
Jeżeli istnieje skończona granica , to tę granicę nazywamy pochodną funkcji w punkcie i oznaczamy jako .
Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji
Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcjistyczna do wykresu funkcjistycznej do wykresu funkcji w punkcie jest równy pochodnej funkcji w tym punkcie.
Jeżeli styczna opisuje się równaniem , to .
RMOOF9X5qAdx9
Ilustracja przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych. Na płaszczyźnie narysowano dwa obiekty: ukośną prostą nachyloną do poziomej osi X pod ostrym kątem alfa oraz krzywą f o łukowatym kształcie. Krzywa leży nad prostą w taki sposób, że ma z nią jeden punkt wspólny. Punkt ten zrzutowano na oś X i oznaczono na osi jako x indeks dolny zero.
Kliknij, aby uruchomić podgląd
Ponieważ jest kątem nachylenia stycznej do osi , zatem zachodzi zależność
Przykład 1
Obliczymy wartość współczynnika kierunkowego stycznej do wykresu funkcji określonej wzorem w punkcie .
Rozwiązanie:
Ponieważ współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie jest równy pochodnej funkcji w tym punkcie, zatem:
Zatem:
Przykład 2
Wyznaczymy współrzędne punktu , w którym styczna do wykresu funkcji określonej wzorem jest równoległa do prostej określonej równaniem .
Rozwiązanie:
Niech styczna do wykresu funkcji będzie zadana równaniem .
Proste o równaniach oraz są równoległe, gdy .
Zatem .
Wyznaczenie współrzędnych punktu przedstawimy w kilku krokach.
Mamy .
Zatem do wyznaczenia wartości rozwiązujemy równanie:
Wobec tego współrzędne punktu styczności wynoszą:
Przykład 3
Sprawdzimy, czy istnieje punkt o współrzędnych , w którym styczna do wykresu funkcji określonej wzorem jest nachylona do osi pod kątem .
Rozwiązanie:
Jeżeli prosta o równaniu jest nachylona do osi pod kątem , to .
Zatem .
Do wyznaczenia współrzędnych punktu rozwiązujemy równanie:
Jeżeli , to:
Otrzymujemy sprzeczność, niezależnie od wyboru punktu , wobec tego nie istnieje taki punkt.
Przykład 4
Wyznaczymy współrzędne punktu , w którym styczna do wykresu funkcji określonej wzorem jest prostopadła do prostej określonej równaniem .
Rozwiązanie:
Niech prosta określona równaniem będzie omawianą styczną.
Proste o równaniach oraz są prostopadłe, gdy .
Zatem .
Do wyznaczenia współrzędnych punktu rozwiązujemy równanie:
Wobec tego:
Zatem .
Wobec tego współrzędne punktu styczności wynoszą:
Przykład 5
Sprawdzimy, czy istnieje styczna do wykresu funkcji określonej wzorem mająca współczynnik kierunkowy równy .
Rozwiązanie:
W tym celu wystarczy sprawdzić, czy istnieje taki punkt , który spełnia zależność:
Zatem:
Wobec tego:
Ponieważ istnieje punkt spełniający równanie , zatem istnieje styczna do wykresu funkcji mająca podany współczynnik kierunkowy.
Słownik
styczna do wykresu funkcji
styczna do wykresu funkcji
prosta, będąca granicznym położeniem siecznych do wykresu funkcji i przechodzących przez punkty o współrzędnych i , gdy dąży do