Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Przypomnijmy definicję ilorazu różnicowego funkcji.

Iloraz różnicowy funkcji
Definicja: Iloraz różnicowy funkcji

Niech fx oznacza dowolną funkcję określoną w otoczeniu punktu x0.

Ilorazem różnicowym funkcji fx w punkcie x0 dla przyrostu h zmiennej niezależnej x nazywamy wyrażenie

Uh=fx0+h-fx0h
R1ca3pCphNfeZ

Zdefiniujmy pojęcie pochodnej funkcji w punkcie.

Pochodna funkcji w punkcie
Definicja: Pochodna funkcji w punkcie

Niech fx oznacza dowolną funkcję określoną w otoczeniu punktu x0.

Jeżeli istnieje skończona granica limh0fx0+h-fx0h, to tę granicę nazywamy pochodną funkcji f w punkcie x0 i oznaczamy jako f'x0.

Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji

Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcjistyczna do wykresu funkcjistycznej do wykresu funkcji f w punkcie x0 jest równy pochodnej funkcji w tym punkcie.

Jeżeli styczna opisuje się równaniem y=ax+b, to a=f'x0.

RMOOF9X5qAdx9

Ponieważ α jest kątem nachylenia stycznej do osi X, zatem zachodzi zależność

a=tgα=f'x0
Przykład 1

Obliczymy wartość współczynnika kierunkowego stycznej do wykresu funkcji określonej wzorem fx=x3+1 w punkcie x0=-2.

Rozwiązanie:

Ponieważ współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie x0 jest równy pochodnej funkcji w tym punkcie, zatem:

Uh=fx+h-fxh=x+h3+1-x3+1h=

=x3+3x2h+3xh2+h3+1-x3-1h=3x2h+3xh2+h3h=3x2+3xh+h2

f'x0=limh0Uh=limh03x02+3x0h+h2=3x02

Zatem:

a=f'(-2)=3·-22=12

Przykład 2

Wyznaczymy współrzędne punktu x0,fx0, w którym styczna do wykresu funkcji f określonej wzorem fx=x2+2x jest równoległa do prostej określonej równaniem y=3x-1.

Rozwiązanie:

Niech styczna do wykresu funkcji f będzie zadana równaniem y=ax+b.

Proste o równaniach y=a1x+b1 oraz y=a2x+b2 są równoległe, gdy a1=a2.

Zatem a=3.

Wyznaczenie współrzędnych punktu x0,fx0 przedstawimy w kilku krokach.

Mamy a=3.

f'x0=limh0x0+h2+2·x0+h-x02+2x0h

f'x0=limh0x02+2x0h+h2+2x0+2h-x02-2x0h

f'x0=limh02x0h+h2+2hh=2x0+2

Zatem do wyznaczenia wartości x0 rozwiązujemy równanie:

3=2x0+2

x0=12

Wobec tego współrzędne punktu styczności wynoszą:

x0,fx0=12,122+2·12=12,54

Przykład 3

Sprawdzimy, czy istnieje punkt o współrzędnych x0,fx0, w którym styczna do wykresu funkcji f określonej wzorem fx=-x-2 jest nachylona do osi X pod kątem 45°.

Rozwiązanie:

Jeżeli prosta o równaniu y=ax+b jest nachylona do osi X pod kątem 45°, to a=tg45°.

Zatem a=tg45°=1.

Do wyznaczenia współrzędnych punktu x0,fx0 rozwiązujemy równanie:

a=f'x0

f'x0=limh0-x0+h-2--x0-2h

f'x0=limh0-x0-h-2+x0+2h=-1

Jeżeli a=f'x0, to:

1=-1

Otrzymujemy sprzeczność, niezależnie od wyboru punktu x0, wobec tego nie istnieje taki punkt.

Przykład 4

Wyznaczymy współrzędne punktu x0,fx0, w którym styczna do wykresu funkcji f określonej wzorem fx=x-3 jest prostopadła do prostej określonej równaniem y=-12x+4.

Rozwiązanie:

Niech prosta określona równaniem y=ax+b będzie omawianą styczną.

Proste o równaniach y=a1x+b1 oraz y=a2x+b2 są prostopadłe, gdy a1·a2=-1.

Zatem a=2.

Do wyznaczenia współrzędnych punktu x0,fx0 rozwiązujemy równanie:

a=f'x0

f'x0=limh0x0+h-3-x0-3h

f'x0=limh0x0+h-x0h

f'x0=limh0x0+h-x0·x0+h+x0h·x0+h+x0

f'x0=limh0x0+h-x0h·x0+h+x0

f'x0=limh01x0+h+x0=12x0

Wobec tego:

2=12x0

Zatem x0=116.

Wobec tego współrzędne punktu styczności wynoszą:

x0,fx0=116,116-3=116,-114

Przykład 5

Sprawdzimy, czy istnieje styczna do wykresu funkcji f określonej wzorem fx=1x mająca współczynnik kierunkowy równy a=-3.

Rozwiązanie:

W tym celu wystarczy sprawdzić, czy istnieje taki punkt x0, który spełnia zależność:

a=f'x0

Zatem:

f'x0=limh01x0+h-1x0h

f'x0=limh0x0-x0+hx0+h·x0h

f'x0=limh0-hx0+h·x0h

f'x0=limh0-1x0+h·x0=-1x02

Wobec tego:

-3=-1x02

x02=13x0=33  x0=-33

Ponieważ istnieje punkt x0 spełniający równanie a=f'x0, zatem istnieje styczna do wykresu funkcji mająca podany współczynnik kierunkowy.

Słownik

styczna do wykresu funkcji
styczna do wykresu funkcji

prosta, będąca granicznym położeniem siecznych do wykresu funkcji f i przechodzących przez punkty o współrzędnych x0,fx0x,fx, gdy x dąży do x0