Przeczytaj
Przypomnijmy definicję ilorazu różnicowego funkcji.
Niech oznacza dowolną funkcję określoną w otoczeniu punktu .
Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu zmiennej niezależnej nazywamy wyrażenie
![Ilustracja przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych. Na płaszczyźnie narysowano dwa obiekty. Pierwszy w nich to parabola o ramionach skierowanych do góry i o wierzchołku w pierwszej ćwiartce układu. Parabolę tę przecina w dwóch punktach ukośna prosta nachylona do poziomej osi X pod ostrym kątem alfa. Prosta ta opisana jest wzorem y=tgα·x+b. Pierwszy punkt przecięcia ma współrzędne x0;fx0, które zrzutowano na obie osie. Punkt drugi przecięcia ma współrzędne x0+h;fx0+h. Punkt ten również zrzutowano na obie osie. Dodatkowo z pierwszego punktu wykreślono w prawo odcinek o długości h, jest to różnica między pierwszymi współrzędnymi obu punktów. Z drugiego punktu poprowadzono w dół pionowy odcinek o długości fx0+h-fx0. Dorysowane odcinki tworzą trójkąt prostokątny wraz z odcinkiem znajdującym się na prostej pomiędzy punktami przecięcia z parabolą. Zaznaczono dwa kąty wewnętrzne w tym trójkącie: kąt alfa między poziomym odcinkiem a odcinkiem na prostek oraz kąt prosty między poziomym i pionowym odcinkiem.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/R1ca3pCphNfeZ/1617120464/2FQDNJS4hwzDA8AWoUBUBMo380g0aPwE.png)
Zdefiniujmy pojęcie pochodnej funkcji w punkcie.
Niech oznacza dowolną funkcję określoną w otoczeniu punktu .
Jeżeli istnieje skończona granica , to tę granicę nazywamy pochodną funkcji w punkcie i oznaczamy jako .
Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji
Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcjistycznej do wykresu funkcji w punkcie jest równy pochodnej funkcji w tym punkcie.
Jeżeli styczna opisuje się równaniem , to .
![Ilustracja przedstawia pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych. Na płaszczyźnie narysowano dwa obiekty: ukośną prostą nachyloną do poziomej osi X pod ostrym kątem alfa oraz krzywą f o łukowatym kształcie. Krzywa leży nad prostą w taki sposób, że ma z nią jeden punkt wspólny. Punkt ten zrzutowano na oś X i oznaczono na osi jako x indeks dolny zero.](https://static.zpe.gov.pl/portal/f/res-minimized/RMOOF9X5qAdx9/1617120465/rlzem2MVRjqIyHgFGZAqQZNOSnxkFj2X.png)
Ponieważ jest kątem nachylenia stycznej do osi , zatem zachodzi zależność
Obliczymy wartość współczynnika kierunkowego stycznej do wykresu funkcji określonej wzorem w punkcie .
Rozwiązanie:
Ponieważ współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w punkcie jest równy pochodnej funkcji w tym punkcie, zatem:
Zatem:
Wyznaczymy współrzędne punktu , w którym styczna do wykresu funkcji określonej wzorem jest równoległa do prostej określonej równaniem .
Rozwiązanie:
Niech styczna do wykresu funkcji będzie zadana równaniem .
Proste o równaniach oraz są równoległe, gdy .
Zatem .
Wyznaczenie współrzędnych punktu przedstawimy w kilku krokach.
Mamy .
Zatem do wyznaczenia wartości rozwiązujemy równanie:
Wobec tego współrzędne punktu styczności wynoszą:
Sprawdzimy, czy istnieje punkt o współrzędnych , w którym styczna do wykresu funkcji określonej wzorem jest nachylona do osi pod kątem .
Rozwiązanie:
Jeżeli prosta o równaniu jest nachylona do osi pod kątem , to .
Zatem .
Do wyznaczenia współrzędnych punktu rozwiązujemy równanie:
Jeżeli , to:
Otrzymujemy sprzeczność, niezależnie od wyboru punktu , wobec tego nie istnieje taki punkt.
Wyznaczymy współrzędne punktu , w którym styczna do wykresu funkcji określonej wzorem jest prostopadła do prostej określonej równaniem .
Rozwiązanie:
Niech prosta określona równaniem będzie omawianą styczną.
Proste o równaniach oraz są prostopadłe, gdy .
Zatem .
Do wyznaczenia współrzędnych punktu rozwiązujemy równanie:
Wobec tego:
Zatem .
Wobec tego współrzędne punktu styczności wynoszą:
Sprawdzimy, czy istnieje styczna do wykresu funkcji określonej wzorem mająca współczynnik kierunkowy równy .
Rozwiązanie:
W tym celu wystarczy sprawdzić, czy istnieje taki punkt , który spełnia zależność:
Zatem:
Wobec tego:
Ponieważ istnieje punkt spełniający równanie , zatem istnieje styczna do wykresu funkcji mająca podany współczynnik kierunkowy.
Słownik
prosta, będąca granicznym położeniem siecznych do wykresu funkcji i przechodzących przez punkty o współrzędnych i , gdy dąży do