Przeczytaj
Ciąg to wydawałoby się pojęcie abstrakcyjne, wymyślone tylko po to, aby laik, słysząc rozmowę matematyków, nie wiedział o co chodzi. A jednak tak nie jest. Wykorzystanie własności ciągów geometrycznych pozwala na rozwiązanie wielu problemów z otaczającej nas rzeczywistości.
A wszystko ponoć zaczęło się wtedy, gdy władca Indii zapytał wynalazcę szachów jakiego wynagrodzenia sobie życzy. Wtedy sprytny wynalazca poprosił, aby władca ofiarował mu ziarna pszenicy – tyle ziaren, ile zmieści się na polach szachownicy. Ziarna mają być układane według prostej zasady – na pierwszym polu jedno ziarno, na drugim dwa, na trzecim cztery, i tak dalej – na każdym następnym polu dwa razy więcej niż na poprzednim. Władca bardzo chętnie zgodził się na to życzenie, ale niestety później bardzo tego żałował.
Liczby ziaren na poszczególnych polach tworzyły ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie i ilorazie . Szachownica ma pola. Korzystając ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, obliczymy ile ziaren powinien otrzymać sprytny wynalazca.
Nim to zrobimy – przypomnienie odpowiedniego twierdzenia.
Suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o ilorazie wyraża się wzorem:
, gdy
, gdy
Teraz już możemy obliczyć potrzebną sumę.
Przyjmując, że tysiąc ziaren pszenicy waży , obliczymy ile ważyłaby pszenica, którą miał dostać twórca szachów.
Okazuje się, że taka ilość pszenicy znacznie przekracza roczne zbiory z całej planety!
Jeszcze jeden podobny problem, związany z ciągiem geometrycznym o ilorazie , stanowiący wdzięczny temat do popisania się wiedzą matematyczną.
Rozwiązując to zadanie, podobnie jak poprzednie, należy zwrócić uwagę, jak szybko rosną wyrazy ciągu geometrycznego o ilorazie .
W osiemnastowiecznym rosyjskim podręczniku do matematyki L. Magnickiego można znaleźć takie oto zadanie:
Pewien handlarz sprzedał konia za rubli. Ale wieśniak nabywca wkrótce po tej sprzedaży rozmyślił się i począł molestować handlarza, żeby wziął konia z powrotem, a jemu oddał pieniądze, gdyż koń nie jest wart tak wielkiej sumy. Handlarz wówczas zaproponował mu inną transakcję.
- Jeśli uważasz, że koń jest za drogi, to ci go daję darmo, a ty kup tylko ode mnie hufnale w jego podkowach. Zapłacisz mi tanio: za pierwszy hufnal połuszkę, za drugi hufnal – połuszki, za trzeci – kopiejkę itd.
Wieśniak kombinując sobie, że nie może wypaść chyba za wszystkie hufnale razem więcej niż jakie rubli, chętnie zgodził się na taką propozycję. Czy wieśniak ten oszukał się i na ile rubli?
Nim rozwiążemy zadanie, kilka przydatnych informacji:
Hufnal to duży gwóźdź służący do przybijania podków koniom.
Koń ma cztery podkowy. W każdej podkowie jest sześć hufnali.
Połuszka to rosyjska moneta warta kopiejki.
Rubel to kopiejek, czyli połuszek.
Wiemy już, że koń ma cztery podkowy, a w każdej jest sześć hufnali, zatem wieśniak za hufnale powinien zapłacić kolejno:
, , , , , połuszek.
Aby określić kwotę, jaką powinien zapłacić wieśniak, należy obliczyć sumę –wyrazowego ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie i ilorazie .
Kwotę wyrażoną w połuszkach zamieniamy na kwotę wyrażoną w rublach – wynik zaokrąglimy do całości.
Odpowiedź:
Wieśniak powinien zapłacić ponad ruble, a więc dużo więcej niż rubli.
Teraz przykłady klasycznych zadań, zainspirowanych ciągami o ilorazie .
Przypomnijmy najpierw wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznegowyraz ogólny ciągu geometrycznego, który wykorzystamy w obliczeniach.
Jeżeli ciąg jest ciągiem geometrycznym o ilorazie , to –ty wyraz tego ciągu określony jest wzorem:
Na przyjęciu nudzący się gość zaczął składać serwetkę na pół, następnie znowu na pół, raz jeszcze na pół, itd. Serwetka ma grubość zaledwie . Gdyby udało mu się złożyć w ten sposób serwetkę razy, to jak myślisz jaką grubość miałby powstały w ten sposób „stosik”?
Zauważmy, że początkowa grubość serwetki oraz grubości „stosiku” po kolejnych złożeniach, tworzą ciąg geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy , a iloraz .
Obliczamy grubość „stosiku” po złożeniu, czyli pięćdziesiąty pierwszy wyraz tego ciągu.
Zatem
Miejmy nadzieje, że znudzonemu gościowi nie udało się złożyć aż razy serwetki, bo utworzony w ten sposób „stosik” byłby ponad razy wyższy niż odległość z Ziemi do Księżyca!
Biegacz ma do pokonania długą drogę. W czasie pierwszej godziny biegu pokonał aż połowę całej trasy. Jednak z upływem czasu był coraz bardziej zmęczony i w ciągu drugiej godziny pokonał trasy, w ciągu trzeciej godziny całej trasy, w ciągu czwartej godziny trasy, itd.
Jaka część drogi została mu jeszcze do pokonania po sześciu godzinach biegu?
Obliczymy najpierw, jaką część całej trasy pokonał biegacz w ciągu sześciu godzin. Należy obliczyć:
.
Zauważmy, że składniki sumy to kolejne wyrazy ciągu geometrycznego, w którym , .
Obliczamy sumę kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego.
Obliczamy, jaka część trasy została jeszcze do pokonania.
Odpowiedź:
Biegaczowi pozostało do pokonania całej trasy.
Jeśli przyjmiemy za Galileuszem, że matematyka jest alfabetem, za pomocą którego Bóg opisał wszechświat, to jednym z ważnych elementów tego alfabetu jest nieskończoność. Kolejna zagadka, którą w osiemnastym wieku damy zadawały kawalerom, dotyczy właśnie ciągu geometrycznego nieskończonego. I nie będziemy tu posługiwać się skomplikowanymi wzorami (wszak damy nie były złośliwe i nie chciały konfudować kawalerów z powodu nieznajomości matematyki wyższej).
Wykorzystamy trik geometryczny, oparty na rozważaniach starożytnych uczonych.
Ile to jest ?
Dla efektu można wypisać jeszcze więcej składników. Wtedy wydaje się, że liczba którą otrzymamy będzie bardzo duża, albo wręcz przeciwnie – bardzo mała. A jak jest naprawdę?
Składniki to kolejne wyrazy nieskończonego ciągu geometrycznego o ilorazie i pierwszym wyrazie równym . Sumę tę możemy obliczyć z odpowiedniego wzoru (którego kawalerowie na pewno nie znali):
Albo też posłużyć się sprytnie wykonanym rysunkiem kwadratu o boku .
I wtedy nie potrzebujemy niezrozumiałych dla laika wzorów, aby zadziwić znajomych. Od razu widać, że suma jest równa .
W ostatnim przykładzie uwalniamy się od ciągów o ilorazie lub i przytaczamy równie znane zadanie o piłce.
Piłkę rzucono z wysokości . Piłka odbijając się, za każdym razem osiąga wysokości osiągniętej przy poprzednim odbiciu. Obliczymy, jaką łącznie długość ma droga (w pionie), którą przebyła piłka do piątego odbicia.
Do pierwszego odbicia piłka przebyła drogę długości .
Następnie piłka poszybowała w górę na wysokość
centymetrów. I spadła z tej wysokości.
Teraz piłka odbija się na wysokość centymetrów i z tej wysokości spada.
I kolejne odbicie – tym razem na wysokość centymetrów.
Zauważmy, że wyznaczone liczby
, , , ,
tworzą ciąg geometryczny o ilorazie i pierwszym wyrazie .
Aby obliczyć łączną długość drogi, musimy uwzględnić ruch piłki w górę i w dół.
Obliczamy długość drogi przebytej przez piłkę – skorzystamy ze wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznegosumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
Odpowiedź:
Piłka przebyła drogę długości .
Słownik
suma początkowych wyrazów ciągu geometrycznego o ilorazie wyraża się wzorem:
, gdy
gdy
jeżeli ciąg jest ciągiem geometrycznym o ilorazie , to –ty wyraz tego ciągu określony jest wzorem: