Naszkicujemy wykres funkcji $y=f\left(x\right)$ spełniającej następujące własności:

• $D_f=\left.⟨-1,5\right)$, $Z{W}_f=\left.⟨-2,4\right)$

• $f\left(1\right)=-2$ oraz $f\left(0\right)=-1$

• funkcja jest rosnąca w przedziale $\left.⟨1,3\right)$

• funkcja jest malejąca w przedziale $\left.⟨-1,1\right)$

• funkcja jest stała w przedziale $\left.⟨3,5\right)$

• funkcja ma jedno miejsce zerowe

Rozwiązanie

I etap

Przyjmijmy, że $D_f=\left.⟨-1,5\right)$, $Z{W}_f=\left.⟨-2,4\right)$

R1OU8pG8SlNmr

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 6 i pionową osia y od minus 3 do sześć. W układzie zaznaczono 4 proste. Pierwsza z nich z to pozioma prosta narysowana ciągłą linią o równaniu $y=-2$, druga prosta również jest pozioma, namalowana została linią przerywaną i ma równaniu $y=4$. Trzecia prosta jest pionowa,została namalowana linią ciągłą i ma równanie $x=-1$,ostatnia prosta jest również pozioma, została namalowana linią przerywaną i ma równanie $x=5$. Na płaszczyźnie zaznaczono obszar pomiędzy prostymi, ma on kształt kwadratu.

Możemy narysować dodatkowe linie pomocnicze.

W przypadku, gdy koniec jednego przedziału jest otwarty, odpowiednio zaznaczamy linie przerywane.

Otrzymaliśmy obszar, w którym narysujemy wykres spełniający kolejne warunki.

II etap

Przyjmiemy, że $f\left(1\right)=-2$ oraz $f\left(0\right)=-1$

R17PvvktBU9dU

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 6 i pionową osia y od minus 3 do sześć. W układzie zaznaczono 4 odcinki i dwa punkty. Pierwszy odciek jest pionowy i namalowany linią ciągłą, zaczyna się on w punkcie nawias minus jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias minus jeden średnik cztery zamknięcie nawiasu. Drugi pionowy odcinek został namalowany linią przerywaną, ma on swój początek w punkcie nawias pięć średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i koniec w punkcie nawias pięć średnik cztery zamknięcie nawiasu. Trzeci odcinek jest poziomy i namalowany linią przerywaną, zaczyna się on w punkcie nawias minus jeden średnik cztery zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias pięć średnik cztery zamknięcie nawiasu. Czwarty odcinek również jest poziomy, został on namalowany linią ciągłą i rozpoczyna się w punkcie nawias minus jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i kończy się w punkcie nawias pięć średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Pierwszy z punktów jest zamalowany i ma współrzędne nawias zero średnik minus jeden zamknięcie nawiasu, drugi punkt również jest zamalowany a jego współrzędne to nawias jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu.

III etap

• funkcja jest rosnąca w przedziale $\left.⟨1,3\right)$

• funkcja jest malejąca w przedziale $\left.⟨-1,1\right)$

• funkcja jest stała w przedziale $\left.⟨3,5\right)$

• funkcja ma jedno miejsce zerowe

RjAiBiucQqOSw

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 6 i pionową osia y od minus 3 do sześć. W układzie zaznaczono 4 odcinki i wykres fukcji $y=f\left(x\right)$. Pierwszy odciek jest pionowy i namalowany linią ciągłą, zaczyna się on w punkcie nawias minus jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias minus jeden średnik cztery zamknięcie nawiasu. Drugi pionowy odcinek został namalowany linią przerywaną, ma on swój początek w punkcie nawias pięć średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i koniec w punkcie nawias pięć średnik cztery zamknięcie nawiasu. Trzeci odcinek jest poziomy i namalowany linią przerywaną, zaczyna się on w punkcie nawias minus jeden średnik cztery zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias pięć średnik cztery zamknięcie nawiasu. Czwarty odcinek również jest poziomy, został on namalowany linią ciągłą i rozpoczyna się w punkcie nawias minus jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i kończy się w punkcie nawias pięć średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Wykres składa się z dwóch części, rozpoczyna się on w zamalowanym punkcie, którego wartość x jest równa minus jeden, a wartość y znajduje się pomiędzy zero a minus jeden, dalej wykres biegnie po łuku przez zamalowany punkt o współrzędnych nawias zero średnik minus jeden zamknięcie nawiasu, aż do punktu, który również jest zamalowany a jego współrzędne to nawias jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Dalej wykres biegnie po łuku do niezamalowanego punktu o współrzędnych nawias trzy średnik cztery zamknięcie nawiasu. Drugi fragment wykresu rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias trzy średnik jeden i biegnie poziomo do niezamalowanego punktu nawias pięć średnik jeden zamknięcie nawiasu.

Pytanie problemowe:

Czy istnieje tylko jedna funkcja spełniająca powyższe warunki?

Rozważmy wykres funkcji $y=g\left(x\right)$. Przeanalizujmy, czy spełnia ona wszystkie zadane warunki dla funkcji $y=f\left(x\right)$ z etapów: I, II oraz III.

R1UMIykXKkIxA

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 6 i pionową osia y od minus 3 do sześć. W układzie zaznaczono 4 odcinki i wykres fukcji $y=g\left(x\right)$. Pierwszy odciek jest pionowy i namalowany linią ciągłą, zaczyna się on w punkcie nawias minus jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias minus jeden średnik cztery zamknięcie nawiasu. Drugi pionowy odcinek został namalowany linią przerywaną, ma on swój początek w punkcie nawias pięć średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i koniec w punkcie nawias pięć średnik cztery zamknięcie nawiasu. Trzeci odcinek jest poziomy i namalowany linią przerywaną, zaczyna się on w punkcie nawias minus jeden średnik cztery zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias pięć średnik cztery zamknięcie nawiasu. Czwarty odcinek również jest poziomy, został on namalowany linią ciągłą i rozpoczyna się w punkcie nawias minus jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i kończy się w punkcie nawias pięć średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Wykres składa się z dwóch części, rozpoczyna się on w zamalowanym punkcie, którego wartość x jest równa minus jeden, a wartość y znajduje się pomiędzy zero a minus jeden, dalej wykres biegnie po łuku przez zamalowany punkt o współrzędnych nawias zero średnik minus jeden zamknięcie nawiasu, aż do punktu, który również jest zamalowany a jego współrzędne to nawias jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Dalej wykres biegnie po łuku do niezamalowanego punktu o współrzędnych nawias trzy średnik cztery zamknięcie nawiasu. Drugi fragment wykresu rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias trzy średnik minus jeden i biegnie poziomo do niezamalowanego punktu nawias pięć średnik minus jeden zamknięcie nawiasu.

Okazuje się, że obie funkcje $f$ i $g$ spełniają zadane warunki. Można zatem uznać, że istnieje nieskończenie wiele funkcji spełniających zadane warunki.

Naszkicujemy wykres funkcji $f$ spełniającej jednocześnie następujące warunki:

• $D_f=⟨-4,3⟩$ - I etap

• $Z{W}_f=⟨-3,3⟩$ - I etap

• $f\left(-2\right)=-2$ - II etap

• $f\left(x\right)<0$ dla $x\in \left(-3,2\right)$ - III etap; stąd wyznaczamy miejsca zerowe funkcji.

Rozwiązanie

I i II etap

R1dw2i84qNDMy

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osia y od minus 4 do cztery. W układzie zaznaczono 4 odcinki i punkt. Pierwszy odciek jest pionowy i namalowany linią ciągłą, zaczyna się on w punkcie nawias minus cztery średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias minus cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu. Drugi pionowy odcinek został namalowany linią ciągłą, ma on swój początek w punkcie nawias trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i koniec w punkcie nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu. Trzeci odcinek jest poziomy i namalowany linią ciągłą, zaczyna się on w punkcie nawias minus cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu. Czwarty odcinek również jest poziomy i został namalowany linią ciągłą, rozpoczyna się w punkcie nawias minus trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i kończy się w punkcie nawias trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu. Punkt jest zamalowany i ma współrzędne nawias minus dwa średnik minus dwa zamknięcie nawiasu.

Przechodzimy do trzeciego etapu:

RnX47Uhlri5mp

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osia y od minus 4 do cztery. W układzie zaznaczono 4 odcinki, punkt i wykres funkcji $y=f\left(x\right)$. Pierwszy odciek jest pionowy i namalowany linią ciągłą, zaczyna się on w punkcie nawias minus cztery średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias minus cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu. Drugi pionowy odcinek został namalowany linią ciągłą, ma on swój początek w punkcie nawias trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i koniec w punkcie nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu. Trzeci odcinek jest poziomy i namalowany linią ciągłą, zaczyna się on w punkcie nawias minus cztery średnik trzy zamknięcie nawiasu i kończy w punkcie nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu. Czwarty odcinek również jest poziomy i został namalowany linią ciągłą, rozpoczyna się w punkcie nawias minus trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i kończy się w punkcie nawias trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu. Punkt jest zamalowany i ma współrzędne nawias minus dwa średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Wykres zaczyna się w punkcie nawias minus trzy średnik zero zamknięcie nawiasu, biegnie ukośnie do zamalowanego punktu o współrzędnych nawias minus dwa średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, dalej biegnie po łuku do punktu nawias zero średnik minus trzy zamknięcie nawiasu, dalej biegnie po łuku do punktu nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu.

Na tym etapie wykres funkcji nie spełnia jeszcze warunku zadanej dziedziny i zbioru wartości. Jednak została uwzględniona wartość najmniejsza funkcji.

RiovfujrMjeAc

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osia y od minus 4 do cztery. W układzie zaznaczono wykres funkcji $y=f\left(x\right)$. Wykres rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus cztery średnik dwa zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do punktu nawias minus dwa średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, dalej biegnie po łuku do punktu nawias zero średnik minus trzy zamknięcie nawiasu, skąd biegnie po łuku przez punkt nawias jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i punkt nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu do zamalowanego punktu nawias trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu.

Powstał przykładowy wykres  funkcji $y=f\left(x\right)$ spełniającej jednocześnie wszystkie zadane warunki.

Narysujemy wykres funkcji, w przypadku której obszar położenia wykresu funkcji jest określony tylko przez zbiór wartości funkcji.

Niech funkcja $f$ spełnia następujące własności:

• $Z{W}_f=⟨1,4⟩\cup \left(5,7\right.⟩$ - I etap wyznaczania obszaru

• funkcja przyjmuje wartość najmniejszą dla argumentu $x=-4$ - II etap: zaznaczenie punktu szczególnego - np. $\left(-4,1\right)$

• $f\left(x\right)>0$ dla - III etap: pozostałe własności

Rozwiązanie

RINkBTR0XSWLV

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osia y od minus 1 do siedem. W układzie zaznaczono cztery poziome proste i wykres funkcji $y=f\left(x\right)$. Pierwsza prosta jest namalowana linią ciągłą i ma równanie $y=7$. Druga prosta jest namalowana linią przerywaną i ma równanie $y=5$. Trzecia prosta jest również namalowana linią przerywaną i ma równanie $y=4$. Czwarta prosta jest namalowana linią przerywaną i ma równanie $y=1$. Wykres rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus cztery średnik jeden zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do punktu nawias minus dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu, dalej biegnie poziomo do punktu nawias zero średnik dwa zamknięcie nawiasu, skąd biegnie ukośnie do zamalowanego punktu nawias dwa średnik cztery zamknięcie nawiasu, druga część ma początek w niezamalowanym punkcie nawias trzy średnik pięć zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do zamalowanego punktu nawias pięć średnik siedem zamknięcie nawiasu.

W przypadku tej funkcji nasuwa się ciekawy wniosek dotyczący dziedziny funkcji. Nie jest ona bowiem podana w sposób oczywisty, jednak biorąc pod uwagę przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie oraz zbiór wartości funkcji, można zauważyć, że warunek dotyczący zbioru argumentów, dla których $f\left(x\right)>0$, dotyczy również dziedziny funkcji.

Uwaga

Na rysunku linią przerywaną zaznaczona jest prosta y=4. Jednak liczba 4 należy do zbioru wartości funkcji. Zauważmy więc, że nie ważny jest sposób zaznaczania danego obszaru, ale ważny jest końcowy efekt, czyli sporządzony wykres.

Naszkicujemy wykres funkcji $f$, która spełnia następująca warunki:

• $D_f=\left(-4,4\right)$

• $Z{W}_f=⟨-2,5⟩$ - zaznaczamy obszar

• funkcja jest rosnąca w przedziale $\left.⟨2,4\right)$

• funkcja jest malejąca w przedziale $⟨0,1⟩$ - na wykresie zaznaczono kolorem fioletowym

• wykres funkcji jest symetryczny względem osi $Y$

Rozwiązanie

R1cglZiphcA2q

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osia y od minus 3 do sześć. W układzie zaznaczono cztery proste i wykres funkcji $y=f\left(x\right)$. Pierwsza prosta jest namalowana linią ciągłą i ma równanie $y=5$. Druga prosta jest namalowana linią ciągłą i ma równanie $y=-2$. Trzecia prosta jest pionowa i namalowana linią przerywaną, ma równanie $x=-4$. Czwarta prosta jest namalowana linią przerywaną i ma równanie $x=4$. Wykres składa się z trzech niebieskich fragmentów i dwóch fioletowych fragmentów. Pierwsza niebieska część zaczyna się w niezamalowanym punkcie nawias minus cztery średnik pięć zamkniecie nawiasu i biegnie ukośnie do zamalowanego punktu nawias minus dwa średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Drugi niebieski fragment rozpoczyna się w niezamalowanym punkcie nawiasu minus dwa średnik trzy zamknięcie nawiasu, następnie biegnie do zamalowanego punktu nawias minus jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu i biegnie do punktu zamalowanego na fioletowo o współrzędnych nawis zero średnik pięć zamknięcie nawiasu. Trzeci niebieski fragment zaczyna się w punkcie zamalowanym na fioletowo o współrzędnych nawias jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu i biegnie poziomo do niezamalowanego punktu nawias dwa średnik trzy zamknięcie nawiasu. Pierwszy fioletowy fragment zaczyna się zamalowanym punkcie nawias zero średnik pięć zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do zamalowanego punktu nawias jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu. Drugi fioletowy fragment rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias dwa średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do niezamalowanego punktu nawias cztery średnik pięć zamknięcie nawiasu.

Przy samodzielnej pracy można otrzymać inny wykres, ważne aby spełniał zadane własności.

narysować wykres, który spełnia wszystkie podane własności