Przeczytaj
Wiesz już, że objętość każdego graniastosłupa można policzyć ze wzoru , gdzie jest polem podstawy, a wysokością graniastosłupa.
Korzystając ze wzoru na pole sześciokąta foremnego otrzymujemy wzór na objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnegograniastosłupa prawidłowego sześciokątnego postaci:
gdzie jest długością krawędzi podstawy.
W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym wszystkie krawędzie są tej samej długości. Krótsza przekątna podstawy ma długość . Obliczymy objętość tego graniastosłupa.
W sześciokącie foremnym krótsza przekątna ma długość . A zatem . I stąd .
Ponieważ wszystkie krawędzie graniastosłupa są tej samej długości, to .
Możemy już obliczyć objętość tego graniastosłupa: .
Obliczymy objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego, w którym dłuższa przekątna graniastosłupaprzekątna graniastosłupa ma długość i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem .
Zróbmy rysunek pomocniczy:
Zależności pomiędzy bokami trójkąta na rysunku zostały na nim oznaczone.
Wiemy, że . Stąd i .
A zatem i dłuższa przekątna podstawy . Stąd krawędź podstawy ma długość . Możemy już policzyć objętość tego graniastosłupa.
Mamy więc .
Znając objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego możemy policzyć długości odcinków, miary kątów i pole powierzchni tego graniastosłupa.
Oblicz długość dłuższej przekątnej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o objętości i krawędzi podstawy . Jaką miarę ma kąt nachylenia tej przekątnej do płaszczyzny podstawy?
Najpierw obliczymy długość wysokości graniastosłupa korzystając ze wzoru na objętość graniastosłupa.
Mamy . Czyli , a stąd .
Zróbmy rysunek pomocniczy:
Z twierdzenia Pitagorasa mamy: , a stąd i ostatecznie dłuższa przekątna graniastosłupaprzekątna graniastosłupa ma długość .
Przyglądając się długościom boków trójkąta, z którego korzystaliśmy, widzimy, że jest to trójkąt prostokątny o kątach ostrych , . A zatem kąt nachylenia dłuższej przekątnej graniastosłupaprzekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy ma miarę .
Kąt pomiędzy przekątnymi sąsiednich ścian bocznych w graniastosłupie prawidłowym sześciokątnymgraniastosłupie prawidłowym sześciokątnym ma miarę . Oblicz pole powierzchni tego graniastosłupa wiedząc, że objętość wynosi .
Zróbmy rysunek pomocniczy:
Trójkąt zaznaczony na rysunku jest równoramienny i prostokątny. Czyli . Z twierdzenia Pitagorasa . Czyli . Podnosząc wyrażenie stronami do kwadratu otrzymujemy . Czyli , a stąd .
Podstawmy to do objętości graniastosłupa: . A zatem . Mamy więc . Stąd oraz .
Możemy więc obliczyć już pole powierzchni tego graniastosłupa .
Słownik
graniastosłup, którego podstawa jest sześciokątem foremnym, a ściany boczne są przystającymi prostokątami
odcinek, którego końce są wierzchołkami dwóch różnych podstaw graniastosłupa nie leżące na jednej ścianie bocznej