Przeczytaj

Najprościej jest rozwiązywać nierówności postaci $|x - a| \leq b$ , korzystając z własności, którą już stosowaliśmy:

|x| \leq r \Leftrightarrow - r \leq x \leq r

oraz

|x - a| \leq r \Leftrightarrow a - r \leq x \leq a + r

Zapoznaj się z przykładami.

Przykład 1

Rozwiąż nierówność $|x - 3| \leq 8$ .

Zapisujemy nierówność bez symbolu modułu, korzystając wprost z powyższej własności:

$3 - 8 \leq x \leq 3 + 8$

$- 5 \leq x \leq 11$

Podajemy zbiór rozwiązań:

$x \in ⟨- 5, 11⟩$

Przykład 2

Rozwiąż nierówność $|4 x - 5| < 1$ .

Wykorzystują tę własność możemy nierówność zapisać również w taki sposób:

$- 1 < 4 x - 5 < 1$

A następnie rozwiązać odpowiednią nierówność liniową podwójnąnierówność liniowa podwójnanierówność liniową podwójną:

$- 1 < 4 x - 5 < 1 |+ 5$

$4 < 4 x < 6 |: 4$

$1 < x < \frac{6}{4}$

$1 < x < 1 \frac{1}{2}$

Podajemy zbiór rozwiązań:

$x \in (1, 1 \frac{1}{2})$

Przykład 3

Rozwiąż nierówność $|6 \cdot (x - 2) + 4| \leq 10$ .

Tym razem najpierw doprowadzimy wyrażenie pod modułem do najprostszej postaci.

$|6 x - 12 + 4| \leq 10$

$|6 x - 8| \leq 10$

Stosujemy własność:

$- 10 \leq 6 x - 8 \leq 10$

Rozwiązujemy nierówność podwójną:

$- 10 \leq 6 x - 8 \leq 10 |+ 8$

$- 2 \leq 6 x \leq 18 |: 6$

$- \frac{2}{6} \leq x \leq 3$

Podajemy zbiór rozwiązań:

$x \in ⟨- \frac{1}{3}, 3⟩$

Przykład 4

Rozwiąż nierówność $|2 x + 3| - 4 < 5$ .

Zapisujemy nierówność równoważnie:

$|2 x + 3| < 5 + 4$

Opuszczamy symbol modułu i rozwiązujemy nierówność podwójną:

$- 9 < 2 x + 3 < 9 |- 3$

$- 12 < 2 x < 6 |: 2$

$- 6 < x < 3$

Podajemy zbiór rozwiązań:

$x \in (- 6, 3)$

Przykład 5

Rozwiąż nierówność $|x - 2| < 7$ .

Zastosuj definicję algebraiczną wartości bezwzględnej liczby.

Przypomnijmy tę definicję:

|a| = \{\begin{cases} a, & a \geq 0 \\ - a, & a < 0 \end{cases}

Sposób ten wymaga rozpatrzenia, zgodnie z definicją, dwóch przypadków:

1° $a \geq 0 \Rightarrow |a| = a$

2° $a < 0 \Rightarrow |a| = - a$

W tym przykładzie wyrażenie $a$ jest równe $x - 2$ , a zatem :

$|x - 2| = \{\begin{cases} x - 2, & dla x \geq 2 \\ - x + 2, & dla x < 2 \end{cases}$

Rozpatrujemy pierwszy przypadek, kiedy liczba pod modułem jest nieujemna:

1° $x - 2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 2$

Wtedy nierówność przyjmuje postać:

$x - 2 < 7$

$x < 9$

W pierwszym przypadku, rozwiązaniem są liczby, które spełniają układ nierówności

$\{\begin{matrix} x \geq 2 \\ x < 9 \end{matrix} \Leftrightarrow x \in ⟨2, 9)$

Rozpatrujemy drugi przypadek, kiedy liczba pod modułem jest ujemna.

2° $x - 2 < 0 \Leftrightarrow x < 2$

Wtedy nierówność przyjmuje postać:

$- x + 2 < 7$

$- x < 5 |: (- 1)$

$x > - 5$

W tym przypadku, rozwiązaniem są liczby, które spełniają układ nierówności

$\{\begin{cases} x < 2 \\ x > - 5 \end{cases} \Leftrightarrow x \in (- 5, 2)$

Rozwiązaniem nierówności $|x - 2| < 7$ jest suma przedziałów otrzymanych w powyższych przypadkach.

$x \in (- 5, 2) \cup ⟨2, 9)$

A zatem zbiór rozwiązań nierówności, to przedział otwarty $(- 5, 9)$ .

Przykład 6

Rozwiąż nierówność $|3 x - 1| \leq 5$ .

Zastosuj definicję algebraiczną wartości bezwzględnej liczby.

Rozpatrujemy przypadki:

1° $3 x - 1 \geq 0 \Leftrightarrow 3 x \geq 1 \Leftrightarrow x \geq \frac{1}{3}$

Wtedy:

$|3 x - 1| = 3 x - 1$

a nierówność przyjmuje postać:

$3 x - 1 \leq 5$

$3 x \leq 6 |: 3$

$x \leq 2$

Zapisujemy rozwiązanie pierwszego przypadku.

$\{\begin{matrix} x \geq \frac{1}{3} \\ x \leq 2 \end{matrix} \Leftrightarrow x \in ⟨\frac{1}{3}, 2⟩$

2° $3 x - 1 < 0 \Leftrightarrow 3 x < 1 \Leftrightarrow x < \frac{1}{3}$

Wtedy:

$|3 x - 1| = - 3 x + 1$

i nierówność przyjmuje postać:

$- 3 x + 1 \leq 5$

$- 3 x \leq 4 |: (- 3)$

$x \geq - \frac{4}{3}$

Zapisujemy rozwiązanie drugiego przypadku.

$\{\begin{cases} x < \frac{1}{3} \\ x \geq - \frac{4}{3} \end{cases} \Leftrightarrow x \in ⟨- \frac{4}{3}, \frac{1}{3})$

Zapisujemy zbiór rozwiązań nierówności.

$x \in ⟨- \frac{4}{3}, \frac{1}{3}) \cup ⟨\frac{1}{3}, 2⟩$

$x \in ⟨- \frac{4}{3}, 2⟩$

Słownik

nierówność liniowa podwójna

nierówność, w której pojawiają się dwa znaki mniejszości; jej zbiorem rozwiązań są liczby, które spełniają jednocześnie obie nierówności

Wprowadzenie

Film samouczek

Słownik