Przeczytaj

Przypomnijmy, że każdą liczbę niewymierną można przybliżyć liczbami wymiernymi, na przykład przez rozwinięcie dziesiętne. Każda kolejna cyfra rozwinięcia dziesiętnego liczby niewymiernej “zbliża” do rzeczywistej wartości tej liczby.

Przypomnijmy kolejne przybliżenia wybranych liczb niewymiernych.

Liczba niewymierna	Cyfra jedności	Kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego danej liczby niewymiernej
$\sqrt{2}$	$1$	$1, 4$	$1, 41$	$1, 414$	$1, 4142$	$1, 41421$	$1, 414213$
$\sqrt{3}$	$1$	$1, 7$	$1, 73$	$1, 732$	$1, 7320$	$1, 73205$	$1, 732050$
$\sqrt{5}$	$2$	$2, 2$	$2, 23$	$2, 236$	$2, 2360$	$2, 23606$	$2, 236067$
$π$	$3$	$3, 1$	$3, 14$	$3, 142$	$3, 1415$	$3, 14159$	$3, 141592$

Przykład 1

Wykorzystując kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego liczby $\sqrt{2}$ , wyznaczymy kolejne cyfry rozwinięcia potęgi $3^{\sqrt{2}}$ .

Rozważymy kilka potęg liczby $3$ o wykładnikach będących kolejnymi przybliżeniami liczby $\sqrt{2}$ , czyli $3^{1}$ , $3^{1,4}$ , $3^{1,41}$ , $3^{1,414}$ , $3^{1,4142}$ , $3^{1,41421}$ :

$3^{1} = 3$

$3^{1,4} = 3^{\frac{7}{2}} = {(\sqrt{3})}^{7} = 27 \sqrt{3} \approx 4,6555$

$3^{1,41} = 3^{\frac{141}{100}} = {(\sqrt[100]{3})}^{141} \approx 4,706965$

$3^{1,414} = 3^{\frac{1414}{1000}} = 3^{\frac{707}{500}} = {(\sqrt[500]{3})}^{707} \approx 4,727695$

$3^{1,4142} = 3^{\frac{14142}{10000}} = 3^{\frac{7071}{5000}} = {(\sqrt[5000]{3})}^{7071} \approx 4,72873393$

$3^{1,41421} = 3^{\frac{141421}{100000}} = {(\sqrt[100000]{3})}^{141421} \approx 4,72878588$

Zauważmy, że im więcej cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby $\sqrt{2}$ weźmiemy pod uwagę, tym więcej “ustala się” cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby $3^{\sqrt{2}}$ . Zestawmy powyższe obliczenia w tabelce:

Liczba	Kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego danej liczby niewymiernej
$\sqrt{2}$	$1$	$1, 4$	$1, 41$	$1, 414$	$1, 4142$	$1, 41421$
$3^{\sqrt{2}}$	$3^{1} = 3$	$3^{1,4} \approx 4,6555$	$3^{1,41} \approx 4,706965$	$3^{1,414} \approx 4,727695$	$3^{1,4142} \approx 4,72873393$	$3^{1,41421} \approx 4,72878588$

Przy pomocy kalkulatora obliczamy $3^{\sqrt{2}} \approx 4,728804387$ .

Zauważmy przy okazji, że im większy jest wykładnik potęgi, tym większą wartość ma sama potęga.

Przykład 2

Wykorzystując kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego liczby $\sqrt{3}$ , wyznaczymy kolejne cyfry rozwinięcia potęgi ${0,5}^{\sqrt{3}}$ .

Rozważymy kilka potęg liczby $0,5$ o wykładnikach będących kolejnymi przybliżeniami liczby $\sqrt{3}$ , czyli $0, 5^{1}$ , ${0,5}^{1,7}$ , ${0,5}^{1,73}$ , ${0,5}^{1,732}$ , $0, 5^{1,73205}$ , ${0,5}^{1,7320508}$ :

$0, 5^{1} = 0,5$

$0, 5^{1,7} = 0, 5^{\frac{17}{10}} = {(\sqrt[10]{0, 5})}^{17} \approx 0,307786$

$0, 5^{1,73} = 0, 5^{\frac{173}{100}} = {(\sqrt[100]{0,5})}^{173} \approx 0,301451936$

$0, 5^{1,732} = 0, 5^{\frac{1732}{1000}} = 0, 5^{\frac{433}{250}} = {(\sqrt[250]{0,5})}^{433} \approx 0,3010343$

$0, 5^{1,73205} = 0, 5^{\frac{173205}{100000}} = 0, 5^{\frac{34641}{20000}} = {(\sqrt[20000]{0,5})}^{34641} \approx 0,3010239$

$0, 5^{1,7320508} = 0, 5^{\frac{17320508}{10000000}} = 0, 5^{\frac{4330127}{2500000}} = {(\sqrt[2500000]{0,5})}^{4330127} \approx 0,3010237$

Zauważmy, że im więcej cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby $\sqrt{3}$ weźmiemy pod uwagę, tym więcej “ustala się” cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby ${0,5}^{\sqrt{3}}$ . Zestawmy powyższe obliczenia w tabelce:

Liczba	Kolejne cyfry rozwinięcia dziesiętnego danej liczby niewymiernej
$\sqrt{3}$	$1$	$1, 7$	$1, 73$	$1, 732$	$1, 73205$	$1, 7320508$
${0,5}^{\sqrt{3}}$	$0, 5$	$0, 307786 . . .$	$0, 3014519 . . .$	$0, 3010343 . . .$	$0, 3010239 . . .$	$0, 301023745 . . .$

Przy pomocy kalkulatora obliczamy ${0,5}^{\sqrt{3}} \approx 0,301023743 . . .$

Zauważmy przy okazji, że im większy jest wykładnik potęgi, tym mniejszą wartość ma sama potęga.

Dwa powyższe przykłady obrazują, w jaki sposób oblicza się wartości potęg o wykładnikach niewymiernych. Odnotujmy w tym miejscu ważne założenie: przyjmujemy, że podstawa potęgi o wykładniku niewymiernym jest liczbą dodatnią.

Rozważyliśmy dwa przykłady potęg o wykładnikach niewymiernych: $3^{\sqrt{2}}$ oraz $0, 5^{\sqrt{3}}$ . Można udowodnić, że obie te liczby są niewymierne. Zastanowimy się teraz, czy istnieją potęgi o wykładnikach niewymiernych, które są liczbami wymiernymi.

Zauważmy, że poznane do tej pory własności działań na potęgach o wykładnikach wymiernych “przenoszą się” na potęgi o wykładnikach niewymiernych, o ile podstawy tych potęg są liczbami dodatnimi.

Rozważmy teraz potęgę ${\sqrt{5}}^{\sqrt{2}}$ . Jeśli ta liczba jest wymierna, oznacza to, że istnieją potęgi o podstawach i wykładnikach niewymiernych, które są wymierne. Jeśli zaś liczba ${\sqrt{5}}^{\sqrt{2}}$ jest niewymierna, wówczas liczba ${({\sqrt{5}}^{\sqrt{2}})}^{\sqrt{2}} = {\sqrt{5}}^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = {\sqrt{5}}^{2} = 5$ jest wymierna, co prowadzi ponownie do wniosku, że istnieją potęgi o podstawach i wykładnikach niewymiernych, które są liczbami wymiernymi.

Powyższe rozumowanie opiera się na zasadzie tertium non datur (trzeciej możliwości nie ma), zwanej również prawem wyłączonego środkaprawo wyłączonego środkaprawem wyłączonego środka, która jest fundamentem logiki klasycznej (dwuwartościowej). Oznacza to, że albo prawdziwe jest zdanie $p$ , albo zdanie nieprawda, że $p$ . W przykładzie powyżej: albo ${\sqrt{5}}^{\sqrt{2}}$ jest liczbą wymierną, albo ${\sqrt{5}}^{\sqrt{2}}$ jest liczbą niewymierną – trzeciej możliwości nie ma.

Porównywanie potęg o wykładnikach rzeczywistych

Prawdziwe jest następujące twierdzenie.

Podstawa potęgi

Twierdzenie: Podstawa potęgi

Jeśli podstawa potęgi jest większa od jedynki, to wraz ze wzrostem wykładnika wartość potęgi również rośnie.

Jeśli podstawa potęgi jest liczbą większą od zera i mniejszą od jedynki, to wraz ze wzrostem wykładnika wartość potęgi maleje.

Przykład 3

Porównamy kilka potęg o wykładnikach niewymiernych:

$5^{\sqrt{2}} < 5^{\sqrt{3}}$ , ponieważ podstawa jest większa od $1$ , więc większa jest potęga o większym wykładniku.

${(\frac{2}{3})}^{\sqrt{3}} < {(\frac{2}{3})}^{1,7}$ , ponieważ podstawa jest dodatnia, ale mniejsza od $1$ , więc większa jest potęga o mniejszym wykładniku.

Przykład 4

Porównamy liczby $5^{\sqrt{2}}$ i $2^{\sqrt{5}}$ .

Ponieważ $1,4 < \sqrt{2} < 1,5$ oraz $2,2 < \sqrt{5} < 2,3$ ,

więc $5^{1,4} < 5^{\sqrt{2}} < 5^{1,5}$ oraz $2^{2,2} < 2^{\sqrt{5}} < 2^{2,3}$ .

Uzasadnimy, że $2^{2,3} < 5^{1,4}$ .

Ponieważ obie strony ostatniej nierówności są nieujemne, więc poprzez podniesienie ich do potęgi dziesiątej otrzymamy nierówność równoważną:

${(2^{2,3})}^{10} < {(5^{1,4})}^{10}$ .

Po zastosowaniu własności działań na potęgach o wykładnikach wymiernych, otrzymujemy

$2^{23} < 5^{14}$ .

Zauważmy, że $2^{23} = 2 \cdot 2^{22} = 2 \cdot 4^{11}$ zaś $5^{14} = 5^{3} \cdot 5^{11} = 125 \cdot 5^{11}$ .

Ponieważ $125 > 2$ oraz $5^{11} > 4^{11}$ ,

więc prawdą jest, że $2 \cdot 4^{11} < 125 \cdot 5^{11}$ , czyli $2^{23} < 5^{14}$ .

Zatem $2^{\sqrt{5}} < 2^{2,3} < 5^{1,4} < 5^{\sqrt{2}}$ .

Stąd $5^{\sqrt{2}} > 2^{\sqrt{5}}$ .

Słownik

prawo wyłączonego środka

podstawowe prawo logiki klasycznej (dwuwartościowej) orzekające, że spośród dwóch zdań: $q$ oraz nieprawda, że $q$ jedno jest prawdziwe i jedno fałszywe

Wprowadzenie

Animacja

Porównywanie potęg o wykładnikach rzeczywistych

Słownik