Pierwiastkiem wielomianu $W\left(x\right)$ jednej zmiennej $x$ nazywamy liczbę $x_0$ taką, że $W\left(x_0\right)=0$.

Wyznaczmy pierwiastki wielomianu $W\left(x\right)=\frac{2}{3}x+7$.

• Pierwiastkami tego wielomianu są rozwiązania równania $\frac{2}{3}x+7=0$.

• Jedynym rozwiązaniem tego równania jest liczba $\left(-\frac{21}{2}\right)$.

• Zatem wielomian $W\left(x\right)=\frac{2}{3}x+7$ ma jeden pierwiastek $x_1=-\frac{21}{2}$.

Wyznaczmy pierwiastki wielomianu $W\left(x\right)=3x^2+7x-11$.

• Szukamy rozwiązań równania $3x^2+7x-11=0$.

• Stosując znane metody rozwiązywania równań kwadratowych możemy łatwo obliczyć, że wielomian ten ma dwa pierwiastki rzeczywiste: $x_1=\frac{-7-\sqrt{181}}{6}$ oraz $x_2=\frac{-7+\sqrt{181}}{6}$.

Wyznaczmy pierwiastki wielomianupierwiastek wielomianupierwiastki wielomianu $W\left(x\right)=$$x^6+11x^4+x^2+3$.

• Zauważmy, że dla dowolnego $x$ liczby $x^6$, $11x^4$ oraz $x^2$ są nieujemne, ponieważ są potęgami o wykładniku parzystym. Suma liczb nieujemnych oraz liczby dodatniej $3$ jest zaś zawsze dodatnia. Oznacza to, że wielomian $W\left(x\right)$ nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Wykażmy, że wielomian $W\left(x\right)=$$x^4-x^2-6x+11$ nie ma pierwiastków rzeczywistych.

• Zauważmy, że
  $x^4-x^2-6x+11=\left(x^4-2x^2+1\right)+\left(x^2-6x+9\right)+1=$
  $={\left(x^2-1\right)}^2+{\left(x-3\right)}^2+1$.

• Kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny, więc suma dwóch kwadratów i liczby dodatniej jest dodatnia. Wielomian zatem nigdy nie może przyjąć wartości $0$, czyli nie ma pierwiastków.

Czy wielomian $W\left(x\right)=2x^4-3x^2-6x+11$ ma pierwiastki rzeczywiste?

• Zauważmy, że
  $W\left(x\right)=2x^4-4x^2+x^2-6x+11=\left(2x^4-4x^2+2\right)+\left(x^2-6x+9\right)=$
  $=2{\left(x^2-1\right)}^2+{\left(x-3\right)}^2$.

• Wielomian można zapisać jako sumę dwóch kwadratów, czyli liczb nieujemnych. Suma taka może być równa $0$ tylko, gdy
  $\left\{\begin{array}{l}{x}^2-1=0\\ x-3=0\end{array}\right.$.

• Ten warunek jest jednak sprzeczny (z drugiej równości mamy, że $x=3$, ale jednocześnie z pierwszej równości $x^2=1$, co jest niemożliwe).

• Wielomian $W\left(x\right)$ nie ma pierwiastków rzeczywistych.

dla wielomianu $W\left(x\right)$ jednej zmiennej $x$ to liczba $x_0$ taka, że $W\left(x_0\right)=0$