Przeczytaj
Pierwiastkiem wielomianu jednej zmiennej nazywamy liczbę taką, że .
Wyznaczanie pierwiastków wielomianu może więc sprowadzić się do rozwiązywania równań postaci .
Podstawowe wiadomości o równaniach liniowych i kwadratowych pozwalają nam bez problemu wyznaczyć pierwiastki rzeczywiste wielomianów stopnia drugiego i pierwszego.
Wyznaczmy pierwiastki wielomianu .
Pierwiastkami tego wielomianu są rozwiązania równania .
Jedynym rozwiązaniem tego równania jest liczba .
Zatem wielomian ma jeden pierwiastek .
Wyznaczmy pierwiastki wielomianu .
Szukamy rozwiązań równania .
Stosując znane metody rozwiązywania równań kwadratowych możemy łatwo obliczyć, że wielomian ten ma dwa pierwiastki rzeczywiste: oraz .
Warto wyszukać w Wykładach z historii matematyki Marka Kordosa albo w internecie informacji na temat turnieju matematycznego z 1535 roku, w którym wzięło udział dwóch włoskich matematyków: Antonio Maria del Fiore i Niccolo Tartaglia. Kluczowe znaczenie miał podczas potyczki algorytm rozwiązywania niektórych typów równań z wielomianami trzeciego stopnia, opublikowany potem przez Girolamo Cardano w dziele Ars Magna.
Wyznaczmy pierwiastki wielomianupierwiastki wielomianu .
Zauważmy, że dla dowolnego liczby , oraz są nieujemne, ponieważ są potęgami o wykładniku parzystym. Suma liczb nieujemnych oraz liczby dodatniej jest zaś zawsze dodatnia. Oznacza to, że wielomian nie ma pierwiastków rzeczywistych.
Wykażmy, że wielomian nie ma pierwiastków rzeczywistych.
Zauważmy, że
.
Kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny, więc suma dwóch kwadratów i liczby dodatniej jest dodatnia. Wielomian zatem nigdy nie może przyjąć wartości , czyli nie ma pierwiastków.
Czy wielomian ma pierwiastki rzeczywiste?
Zauważmy, że
.
Wielomian można zapisać jako sumę dwóch kwadratów, czyli liczb nieujemnych. Suma taka może być równa tylko, gdy
.
Ten warunek jest jednak sprzeczny (z drugiej równości mamy, że , ale jednocześnie z pierwszej równości , co jest niemożliwe).
Wielomian nie ma pierwiastków rzeczywistych.
Słownik
dla wielomianu jednej zmiennej to liczba taka, że