Przeczytaj

Przypomnijmy najpierw, że cosinus kąta ostrego w trójkącie prostokątnym to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie do długości przeciwprostokątnej, czyli przy oznaczeniach jak na rysunku $\cos α = \frac{b}{c}$ .

R1ZSF5uzNYyJR

Ilustracja przedstawia trójkąt prostokątny. Krótsza przyprostokątna została oznaczona jako a, dłuższa jako b. Przeciwprostokątna została oznaczona jako c. Oznaczono kąt prosty i kąt ostry, alfa pomiędzy bokami b i c.

Jeżeli umieścimy dowolny kąt skierowany w prostokątnym układzie współrzędnych w położeniu standardowym (czyli wierzchołkiem w punkcie $(0, 0)$ tak, aby jedno ramię pokrywało się z osią $X$ ) i wybierzemy na drugim ramieniu tego kąta punkt $M$ o współrzędnych $(x, y)$ , to otrzymamy trójkąt prostokątny.

Zwróćmy jeszcze uwagę, że taka definicja ma sens wówczas, gdy $α$ jest kątem zarówno ostrym, jak i rozwartym (a nawet wklęsłym). Nie istnieje trójkąt prostokątny, którego jednym z kątów jest $α$ .

Zauważmy, że jeśli kąt jest ostry, to długości przyprostokątnych są równe współrzędnym punktu $M$ . Wówczas $\cos α = \frac{x}{r}$ , gdzie $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ i $r$ jest promieniem wodzącym punktupromień wodzący punktupromieniem wodzącym punktu $M$ .

R10fGIKWeToP1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych bez podziałki o poziomej osi X i pionowej osi Y. W pierwszej ćwiartce narysowano półprostą rozpoczynającą się w początku układu współrzędnych. Na półprostej zaznaczono punkt M o współrzędnych x;y oraz rzutowano go na osie. Rzut pionowy oznaczono jako y, natomiast rzut poziomy znajdujący się na osi X oznaczono jako x. Odcinek od początku układu współrzędnych do punktu M oznaczono jako r. Powstał trójkąt prostokątny o bokach x y r. Kąt skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara pomiędzy bokami x i r wynosi alfa.

Na przykład jeśli $α$ jest kątem rozwartym – jak na rysunku obok, to nadal $\cos α$ możemy obliczyć jako iloraz pierwszej współrzędnej punktu $M$ przez promień wodzący tego punktu. Zatem $\cos α = \frac{x}{r}$ .

R14O1m0grHX0K

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych o osi pionowej Y i osi poziomej X. Układ nie posiada podziałki. W drugiej ćwiartce znajduje się półprosta zaczynająca się od początku układu współrzędnych. Na półprostej zaznaczono punkt M o współrzędnych x;y. Półprosta jest nachylona do osi X pod kątem alfa. Punkt M rzutowano na obie osie. Rzuty utworzyły trójkąt prostokątny o pionowej przyprostokątnej y, poziomej przyprostokątnej x, która znajduje się na osi X oraz przeciwprostokątnej r.

Przykład 1

Oblicz:

a) $\cos 120 °$
b) $\cos 225 °$
c) $\cos 330 °$

Ad. a)

W prostokątnym układzie współrzędnych umieszczamy kąt o mierze $120 °$ w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu wybieramy punkt $M$ . Promień wodzący punktupromień wodzący punktuPromień wodzący punktu $M$ jest równy $1$ (mógłby to być dowolny inny punkt). Wówczas trójkąt $M O P$ jest połową trójkąta równobocznego, a zatem $|M P| = \frac{1}{2}$ , $|O P| = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Wobec tego współrzędne punktu $M$ to $(- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ . Zatem $\cos 120 ° = (\frac{- \frac{1}{2}}{1}) = - \frac{1}{2}$ .

R1U3uylEKv9So

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych bez podziałki z osią poziomą X i osią pionową Y. Na układzie zaznaczono trzy punkty: punkt M o współrzędnych -12;32, punkt O, który jest początkiem układu współrzędnych, punkt P o współrzędnych 0;32. Punkty połączono ze sobą, powstał trójkąt prostokątny M O P. Odcinek M O jest nachylony do dodatniej półosi O X pod kątem 120 stopni. Długość odcinka M O wynosi 1, długość odcinka M P wynosi 12, długość odcinka P O wynosi 32. Zaznaczono kąty w trójkącie: kąt O M P wynosi 60 stopni, kąt M P O jest prosty, kąt P O M wynosi 30 stopni.

Ad. b)

W prostokątnym układzie współrzędnych umieszczamy kąt o mierze $225 °$ w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu wybieramy punkt $M$ . Niech będzie to punkt, którego promień wodzący jest równy $2$ . Wówczas trójkąt $M O P$ jest połową kwadratu, a zatem $|M P| = \sqrt{2}$ , $|O P| = \sqrt{2}$ . Wobec tego współrzędne punktu $M$ to $(- \sqrt{2}, - \sqrt{2})$ . Zatem $\cos 225 ° = \frac{- \sqrt{2}}{2}$ .

R11yjtxhsveC1

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych bez podziałki z osią poziomą X i osią pionową Y. Na układzie zaznaczono trzy punkty M O oraz P, których współrzędne to kolejno: -2;-2, 0;0, -2;0. Połączono odcinki pomiędzy punktami, powstał trójkąt prostokątny o długości obu przyprostokątnych M P oraz P O równym 2. Przeciwprostokątna M O ma długość 2. Poprowadzono kąt skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od dodatniej półosi O X do odcinka M O, wynosi on 225 stopni. Zaznaczono kąty w trójkącie, kąt P M O jest równy kątowi M O P wynosi 45 stopni, natomiast kąt M P O jest kątem prostym.

Ad. c)

W prostokątnym układzie współrzędnych umieszczamy kąt o mierze $330 °$ w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu wybieramy punkt $M$ . Niech będzie to punkt, którego promień wodzący jest równy $2$ . Wówczas trójkąt $M O P$ jest połową trójkąta równobocznego, a zatem $|M P| = \sqrt{3}$ , $|O P| = 1$ . Wobec tego współrzędne punktu $M$ to $(\sqrt{3}, - 1)$ . Zatem $\cos 330 ° = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

R8MSUfsBIa8g2

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych o osi poziomej X i osi pionowej Y. Układ nie posiada podziałki. Na układzie zaznaczono trzy punkty: punkt O, który znajduje się w początku układu współrzędnych, punkt M o współrzędnych 3;-1, punkt P o współrzędnych 0;-1. Narysowano odcinki pomiędzy punktami, powstał trójkąt prostokątny M O P. Długość poszczególnych boków wynosi: przyprostokątna O P 1, przyprostokątna P M 3, przeciwprostokątna M O 2. Poprowadzono kąt skierowany od dodatniej półosi O X do przeciwprostokątnej M O, wynosi on 330 stopni. Zaznaczono kąty: kąt P O M wynosi 60 stopni, kąt M P O wynosi 90 stopni.

W następnym przykładzie rozważymy cosinusy kątów skierowanychcosinus kąta skierowanegocosinusy kątów skierowanych ujemnie.

Przykład 2

Oblicz:

a) $\cos (- 60 °)$
b) $\cos (- 150 °)$
c) $\cos (- 210 °)$

Ad. a)

W prostokątnym układzie współrzędnych umieszczamy kąt o mierze $- 60 °$ w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu wybieramy punkt $M$ . Niech będzie to punkt, którego promień wodzący jest równy $2$ . Wówczas trójkąt $M O P$ jest połową trójkąta równobocznego, a zatem $|M P| = \sqrt{3}$ , $|O P| = 1$ . Wobec tego współrzędne punktu $M$ to $(1, - \sqrt{3})$ . Zatem $\cos (- 60 °) = \frac{1}{2}$ .

Rs80Jjd2OLUvx

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych o osi poziomej X i osi pionowej Y. Układ nie posiada podziałki. Zaznaczono trzy punkty: punkt O, który znajduje się w początku układu współrzędnych, punkt P o współrzędnych 1;0, punkt M o współrzędnych 1;-3. Utworzono trójkąt prostokątny M O P łącząc punkty: odcinek O P ma długość 1, odcinek P M ma długość 3, natomiast odcinek M O ma długość 2. Odcinki O P oraz P M to przyprostokątne, odcinek O M to przeciwprostokątna trójkąta. Zaznaczono kąt skierowany zgodnie z ruchem wskazówek zegara od dodatniej półosi O X, do odcinka O M. Kąt ten wynosi minus 60 stopni.

Ad. b)

W prostokątnym układzie współrzędnych umieszczamy kąt o mierze $- 150 °$ w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu wybieramy punkt $M$ . Niech będzie to punkt, którego promień wodzący jest równy $2$ . Wówczas trójkąt $M O P$ jest połową trójkąta równobocznego, a zatem $|M P| = 1$ , $|O P| = \sqrt{3}$ . Wobec tego współrzędne punktu $M$ to $(- \sqrt{3}, - 1)$ . Zatem $\cos (- 150 °) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$ .

R14Dy4LifZOSB

Ilustracja przedstawia układ współrzędny bez podziałki. Oś pozioma została oznaczona jako X, pionowa jako Y. Zaznaczono trzy punkty: Punkt O, który znajduje się w początku układu współrzędnych, punkt P o współrzędnych -3;0, punkt M o współrzędnych -3;-1. Punkty połączono, tworząc trójkąt prostokątny M O P, o długości boków: przyprostokątna P M ma długość 1, przyprostokątna P O ma długość 3, przeciwprostokątna M O ma długość 2. Do przeciwprostokątnej M O poprowadzono kąt skierowany zgodnie z ruchem wskazówek zegara z dodatniej półosi O X, wynosi on minus 150 stopni. Kąty w trójkącie M O P: przy wierzchołku M kąt wynosi 60 stopni, kąt prosty znajduje się przy wierzchołku P, kąt przy wierzchołku O wynosi 30 stopni.

Ad. c)

W prostokątnym układzie współrzędnych umieszczamy kąt o mierze $- 210 °$ w położeniu standardowym. Na drugim ramieniu wybieramy punkt $M$ . Niech będzie to punkt, którego promień wodzący jest równy $2$ . Wówczas trójkąt $M O P$ jest połową trójkąta równobocznego, a zatem $|M P| = \sqrt{3}$ , $|O P| = 1$ . Wobec tego współrzędne punktu $M$ to $(- \sqrt{3}, - 1)$ . Zatem $\cos (- 210 °) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$ .

R1IETtEtEBoSJ

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych bez podziałki. Oś poziomą oznaczono jako X, oś pionową jako Y. Na układzie zaznaczono trzy punkty: M o współrzędnych -3;1, punkt O to początek układu współrzędnych, punkt P ma współrzędne 0;1. Połączono linie pomiędzy punktami. Tak powstał trójkąt M O P. Dłuższa przyprostokątna M P ma długość 3, krótsza przyprostokątna P O ma długość 1, przeciwprostokątna M O ma długość 2. Zaznaczono kąt skierowany zgodnie z ruchem wskazówek zegara, od dodatniej półosi O X do przeciwprostokątnej trójkąta. Kąt ten wynosi minus 210 stopni. Miary kątów przy punktach M O P wynoszą kolejno: 30 stopni, 60 stopni, 90 stopni.

Ciekawostka

Podobnie jak dla funkcji sinus, tak dla funkcji cosinus istnieją inne definicje niż poznane dotąd. Jedna z nich wykorzystuje nieskończoną sumę zwaną szeregiem Taylora. Według tej definicji:

$\cos x = 1 - \frac{x^{2}}{1 \cdot 2} + \frac{x^{4}}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} - \frac{x^{6}}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6} + \dots$

Inna definicja funkcji cosinus wykorzystuje iloczyny nieskończone:

$\cos x = (1 - \frac{4 x^{2}}{π^{2} \cdot 1^{2}}) \cdot (1 - \frac{4 x^{2}}{π^{2} \cdot 3^{2}}) \cdot (1 - \frac{4 x^{2}}{π^{2} \cdot 5^{2}}) \cdot (1 - \frac{4 x^{2}}{π^{2} \cdot 7^{2}}) \cdot \dots$

Niektóre definicje wykorzystują tzw. ułamki łańcuchowe lub równania różniczkowe.

Przykład 3

Wyznaczymy miary wszystkich kątów $α$ , dla których $\cos α = \frac{- \sqrt{3}}{2}$ .

Z definicji funkcji cosinus mamy $\cos α = \frac{x}{r}$ .
W tym przypadku $\frac{x}{r} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$ . Ponieważ $r > 0$ , to $x = - \sqrt{3} k$ i $r = 2 k$ dla pewnej liczby $k > 0$ .
Ponieważ możemy wybrać dowolny punkt na drugim ramieniu kąta, więc niech $k = 1$ .
Wówczas punkt $M$ ma pierwszą współrzędną równą $- \sqrt{3}$ i jego promień wodzący jest równy $2$ .

R6IIhWxFALzHr

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Układ nie posiada podziałki, oś pionową oznaczono jako Y, oś poziomą oznaczono jako X. Punkt O to początek układu współrzędnych. Z punktu O poprowadzono dwie ukośne półproste, pierwsza znajduje się w drugiej ćwiartce, druga natomiast w trzeciej ćwiartce. Na obu półprostych zaznaczono po jednym punkcie w odległości r równa się 2: na pierwszej punkt M1, na drugiej punkt M2. Oba punkty rzutowano na oś X. Tak powstał punkt P, znajdujący się na osi X. Punkt P jest w odległości 3 od punktu O.

Zauważmy, że są dwa takie punkty: jeden leży w drugiej, a drugi – w trzeciej ćwiartce układu współrzędnych. Z twierdzenia Pitagorasa możemy wyznaczyć ich odległości od osi $X$ :

${|M P|}^{2} + {|P O|}^{2} = {|O M|}^{2}$

${|M P|}^{2} + 3 = 4$

${|M P|}^{2} = 1$

Zatem druga współrzędna punktu $M$ to $1$ lub $- 1$ . $M_{1} = (- \sqrt{3}, 1)$ i $M_{2} = (- \sqrt{3}, - 1)$ .

R1Q2d9XsJ8UqC

Ilustracja przedstawia układ współrzędny z poziomą osią X oraz pionową osią Y. Układ nie posiada podziałki. Punkt O jest początkiem układu współrzędnych. Na układzie zaznaczono dwa punkty M1 o współrzędnych -3;1 oraz M2 o współrzędnych -3;-1. Poprowadzono dwie ukośne półproste, obie zaczynają się w punkcie O. Pierwsza przechodzi przez punkt M1, druga przechodzi przez punkt M2. Odcinek O M1 jest równy odcinkowi O M2, a on jest równy 2. Punkty M1 oraz M2 rzutowano na oś X. Przy rzutach oznaczono ich długość równą 1. Kąt pomiędzy pierwszą półprostą, a osią X jest równy kątowi pomiędzy drugą półprostą a osią X, wynosi on 30 stopni.

Wynika stąd, że każdy z trójkątów $M_{1} P O$ i $M_{2} P O$ jest połową trójkąta równobocznego. Jednocześnie trójkąt $M_{1} M_{2} O$ jest równoboczny.

Zatem szukane kąty mają miary $180 ° - 30 ° = 150 °$ i $180 ° + 30 ° = 210 °$ .

RBXT0lNRWRfGy

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych bez podziałki o osi pionowej Y oraz osi poziomej X. W drugiej ćwiartce narysowano ukośną półprostą zaczynającą się w punkcie O, czyli początku układu współrzędnych. Na półprostej zaznaczono punkt M1, który rzutowano na oś X. Tak powstał punkt P, znajdujący się na osi X. Punkty M1 O P tworzą trójkąt prostokątny. Kąt P O M1 wynosi 30 stopni. Zaznaczono kąt skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od dodatniej półosi O X, aż do półprostej. Znając kąt P O M1, obliczamy że ten kąt wynosi: 180° - 30° = 150°.

R12YTtQ0vRLZm

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych bez podziałki o osi pionowej Y oraz osi poziomej X. W trzeciej ćwiartce narysowano ukośną półprostą od punktu O, czyli początku układu współrzędnych. Na półprostej zaznaczono punkt M2, następnie rzutowano go na oś X. Rzut na osi X utworzył punkt P. Punkty M2, O, P tworzą trójkąt prostokątny. Kąt trójkąta przy wierzchołku O wynosi 30 stopni. Zaznaczono kąt skierowany przeciwnie do ruchu wskazówek zegara od dodatniej półosi O X, do odcinka O M2, znając kąt przy wierzchołku O, obliczamy jego wartość: 180° + 30° = 210°.

Zwróćmy jeszcze uwagę, że po obrocie drugiego ramienia kąta o $360 °$ w jedną lub w drugą stronę, ramię znajdzie się w dokładnie tym samym położeniu. Zatem

$\cos 210 ° = \cos (210 ° + 360 °) = \cos (210 ° + 2 \cdot 360 °) = \cos (210 ° + 3 \cdot 360 °) = \dots$

$\cos 210 ° = \cos (210 ° - 360 °) = \cos (210 ° - 2 \cdot 360 °) = \cos (210 ° - 3 \cdot 360 °) = \dots$

Stąd wszystkie kąty tej postaci możemy zapisać jako $210 ° + k \cdot 360 °$ , gdzie $k$ należy do zbioru liczb całkowitych. Ponadto

$\cos 150 ° = \cos (150 ° + 360 °) = \cos (150 ° + 2 \cdot 360 °) = \cos (150 ° + 3 \cdot 360 °) = \dots$

$\cos 150 ° = \cos (150 ° - 360 °) = \cos (150 ° - 2 \cdot 360 °) = \cos (150 ° - 3 \cdot 360 °) = \dots$

Stąd wszystkie kąty tej postaci możemy zapisać jako $150 ° + k \cdot 360 °$ , gdzie $k$ należy do zbioru liczb całkowitych.

Słownik

promień wodzący punktu

odległość punktu od początku układu współrzędnych.

cosinus kąta skierowanego

stosunek odciętej dowolnie wybranego punktu $M$ należącego do drugiego ramienia tego kąta do promienia wodzącego punktu $M$ ; definicja wymaga, aby kąt był umieszczony w położeniu standardowym

Wprowadzenie

Symulacja interaktywna

Słownik