Przeczytaj

Przykład 1

Wyznaczymy wszystkie liczby rzeczywiste $x$ , których odległość na osi liczbowejoś liczbowaosi liczbowej od liczby $(- 1)$ jest $2$ razy większa niż odległość od liczby $5$ .

Rozwiązanie

Obliczamy, że odległość między liczbami $(- 1)$ oraz $5$ jest równa $|- 1 - 5| = |- 6| = 6$ .

Następnie dzielimy oś liczbowąoś liczbowaoś liczbową na trzy przedziały:
$(- \infty, - 1)$ , $⟨- 1, 5)$ oraz $⟨5, + \infty)$ .

Zauważamy, że dla dowolnej liczby $x$ z przedziału $(- \infty, - 1)$ odległość od liczby $(- 1)$ jest mniejsza niż odległość od liczby $5$ , zatem w tym przedziale nie ma liczb spełniających zadany warunek.

W przedziale $⟨- 1, 5)$ mamy znaleźć taką liczbę $x$ , której odległość od lewego krańca tego przedziału jest $2$ razy większa niż odległość od prawego krańca. Dzielimy więc długość tego przedziału (czyli liczbę $6$ ) w stosunku $2 : 1$ i dostajemy, że warunki zadania spełnia $x = 3$ .

R1JXR25jjXSsg

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus dwóch do sześciu. Na osi zaznaczono trzy odcinki domknięte: odcinek o długości 4 od minus 1 do trzech, odcinek o długości 2 od trzech do pięciu oraz odcinek o długości 6 od minus 1 do pięciu.

Powyższe rozwiązanie ma następującą interpretację algebraiczną.
Dla $x \in ⟨- 1, 5)$ odległość $x$ od $(- 1)$ jest równa $x - (- 1) = x + 1$ , a odległość $x$ od $5$ jest równa $5 - x$ .
W tym przedziale szukamy więc liczby $x$ , która spełnia równanie $x + 1 = 2 (5 - x)$ .
Przekształcamy otrzymane równanie do postaci $x + 2 x = 10 - 1$ , skąd $3 x = 9$ , czyli $x = 3 \in ⟨- 1, 5)$ .
Zatem jedynym rozwiązaniem jest w tym przypadku liczba $3$ .

W przedziale $⟨5, + \infty)$ mamy znaleźć taką liczbę $x$ , której odległość od lewego krańca tego przedziału jest $2$ razy mniejsza niż odległość od $(- 1)$ . Wynika stąd, że liczba $5$ jest środkiem odcinka o końcach $(- 1)$ oraz $5$ , gdzie $x > 5$ .
Wobec tego $x - 5 = 5 - (- 1)$ , skąd $x = 11$ .

RYjvwJWanblBm

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus trzech do dwunastu. Na osi zaznaczono trzy odcinki domknięte: odcinek o długości 6 od minus 1 do pięciu, odcinek o długości 6 od pięciu do jedenastu oraz odcinek o długości 12 od minus 1 do jedenastu.

Interpretacja algebraiczna powyższego fragmentu rozwiązania jest następująca.
Dla $x \in ⟨5, + \infty)$ odległość $x$ od $(- 1)$ jest równa $x - (- 1) = x + 1$ , a odległość $x$ od $5$ jest równa $x - 5$ . W tym przedziale szukamy więc liczby $x$ , która spełnia równanie $x + 1 = 2 (x - 5)$ . Przekształcamy otrzymane równanie do postaci $2 x - x = 1 + 10$ , skąd $x = 11 \in ⟨5, + \infty)$ .
Zatem jedynym rozwiązaniem jest w tym przypadku liczba $11$ .

Oznacza to, że są dwie liczby: $3$ oraz $11$ , których odległość od $(- 1)$ na osi liczbowejoś liczbowaosi liczbowej jest $2$ razy większa niż odległość od $5$ .

Uwaga. Warunek podany w treści zadania można sformułować następująco.
Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste $x$ , które są rozwiązaniem równania $|x + 1| = 2 |x - 5|$ .

Przedstawimy poniżej dwa algebraiczne sposoby rozwiązania tego równania.

Sposób $I$ :

Korzystając z definicji wartości bezwzględnejwartości bezwzględnej, otrzymujemy:
$|x + 1| = \{\begin{cases} x + 1, dla x \geq - 1 \\ - x - 1, dla x < - 1 \end{cases}$
oraz
$|x - 5| = \{\begin{cases} x - 5, dla x \geq 5 \\ - x + 5, dla x < 5 \end{cases}$
Zatem rozpatrujemy trzy następujące przypadki:
(1) $x \in (- \infty, - 1)$ ; wtedy $|x + 1| = - x - 1$ oraz $|x - 5| = - x + 5$ ,
(2) $x \in ⟨- 1, 5)$ ; wtedy $|x + 1| = x + 1$ oraz $|x - 5| = - x + 5$ ,
(3) $x \in ⟨5, + \infty)$ ; wtedy $|x + 1| = x + 1$ oraz $|x - 5| = x - 5$ .

Wobec tego:

w przypadku (1) otrzymujemy równanie
$- x - 1 = 2 (- x + 5)$ ,
skąd $- x + 2 x = 10 + 1$ ,
czyli $x = 11$ .
Jednakże $11 \notin (- \infty, - 1)$ , więc w tym przypadku dane równanie nie ma rozwiązań.
w przypadku (2) otrzymujemy równanie
$x + 1 = 2 (- x + 5)$ ,
skąd $x + 2 x = 10 - 1$ ,
$3 x = 9$ ,
czyli $x = 3$ .
Ponieważ $3 \in ⟨- 1, 5)$ , więc dane równanie ma rozwiązanie $x = 3$ .
w przypadku (3) otrzymujemy równanie
$x + 1 = 2 (x - 5)$ ,
skąd $1 + 10 = 2 x - x$ ,
czyli $x = 11$ .
Ponieważ $11 \in ⟨5, + \infty)$ , więc dane równanie ma rozwiązanie $x = 11$ .
Oznacza to, że równanie $|x + 1| = 2 |x - 5|$ ma dwa rozwiązania: $x = 3$ oraz $x = 11$ .

Sposób $II$ :

Ponieważ obie strony równania
$|x + 1| = 2 |x - 5|$
są nieujemne, więc to równanie można zapisać w następującej postaci równoważnej
${|x + 1|}^{2} = {(2 |x - 5|)}^{2}$ .
Otrzymane równanie dalej przekształcamy równoważnie (korzystając m.in. z własności wartości bezwzględnejwartości bezwzględnej oraz ze wzorów skróconego mnożenia).
${(x + 1)}^{2} = 2^{2} \cdot {(x - 5)}^{2}$
${(x + 1)}^{2} = {(2 (x - 5))}^{2}$
${(x + 1)}^{2} = {(2 x - 10)}^{2}$
${(2 x - 10)}^{2} - {(x + 1)}^{2} = 0$
$((2 x - 10) - (x + 1)) \cdot ((2 x - 10) + (x + 1)) = 0$
$(2 x - 10 - x - 1) \cdot (2 x - 10 + x + 1) = 0$
$(x - 11) \cdot (3 x - 9) = 0$ .

Stąd $x - 11 = 0$ lub $3 x - 9 = 0$ , czyli $x = 11$ lub $x = 3$ .

Oznacza to, że równanie $|x + 1| = 2 |x - 5|$ ma dwa rozwiązania: $x = 3$ i $x = 11$ .

Przykład 2

a) Wyznaczymy na osi liczbowejoś liczbowaosi liczbowej wszystkie liczby rzeczywiste $x$ , których suma odległości od liczb $(- 5)$ oraz $2$ jest równa $8$ .

Rozwiązanie

Obliczamy, że odległość między liczbami $(- 5)$ oraz $2$ jest równa $|- 5 - 2| = |- 7| = 7$ .

Następnie dzielimy oś liczbowąoś liczbowaoś liczbową na trzy przedziały:
$(- \infty, - 5)$ , $⟨- 5, 2)$ oraz $⟨2, + \infty)$ .

Zauważamy, że dla dowolnej liczby $x$ z przedziału $⟨- 5, 2)$ suma odległości od krańców tego przedziału jest równa $7$ , a więc jest mniejsza niż $8$ . Zatem w tym przedziale nie ma liczb spełniających zadany warunek.

W przedziale $(- \infty, - 5)$ mamy znaleźć taką liczbę $x$ , której suma odległości od prawego krańca tego przedziału oraz od $2$ jest równa $8$ .
Jeżeli odległość $x$ od $(- 5)$ oznaczymy przez $d$ , to odległość od $2$ jest równa $d + 7$ .

R1cDlrF0AYrPy

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od punktu x leżącego na lewo od punktu minus 5, oś biegnie do trzech. Zaznaczono dwa odcinki domknięte: Odcinek od długości d od x do minus pięciu oraz odcinek o długości d dodać 7 od x do dwóch.

Stąd liczba dodatnia $d$ jest rozwiązaniem równania $d + d + 7 = 8$ , skąd $2 d + 7 = 8$ , $2 d = 1$ , czyli $d = \frac{1}{2}$ . Oznacza to, że $x = - 5 - \frac{1}{2} = - 5 \frac{1}{2}$ .

Interpretacja algebraiczna powyższego fragmentu rozwiązania jest następująca: dla $x \in (- \infty, - 5)$ odległość $x$ od $(- 5)$ jest równa $- 5 - x$ (powyżej oznaczyliśmy tę odległość przez $d$ ), a odległość $x$ od $2$ jest równa $2 - x$ .
W tym przedziale szukamy więc liczby $x$ , która spełnia równanie $- 5 - x + 2 - x = 8$ .
Przekształcamy otrzymane równanie do postaci $- 5 + 2 - 8 = 2 x$ , skąd $2 x = - 11$ , czyli $x = - \frac{11}{2} = - 5 \frac{1}{2}$ .
Zatem jedynym rozwiązaniem jest w tym przypadku liczba $- 5 \frac{1}{2}$ .

W przedziale $⟨2, + \infty)$ mamy znaleźć taką liczbę $x$ , której której suma odległości od lewego krańca tego przedziału oraz od $(- 5)$ jest równa $8$ .
Jeżeli tym razem przez $d$ oznaczymy odległość $x$ od $2$ , to odległość $x$ od $(- 5)$ jest równa $d + 7$ . Stąd – dokładnie tak samo, jak poprzednio – liczba dodatnia $d$ jest rozwiązaniem równania $d + d + 7 = 8$ . Wobec tego $d = \frac{1}{2}$ . Oznacza to, że $x = 2 + \frac{1}{2} = 2 \frac{1}{2}$ .

RSwitZRNDtz0C

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus sześciu do x. Punkt x znajduje się na prawo od punktu dwa. Na rysunku zaznaczono dwa odcinki domknięte: odcinek o długości d od dwóch do x oraz odcinek o długości d dodać 7 od minus pięciu do x.

Interpretacja algebraiczna powyższego fragmentu rozwiązania jest następująca: dla $⟨2, + \infty)$ odległość $x$ od $2$ jest równa $x - 2$ , a odległość $x$ od $(- 5)$ jest równa $x - (- 5) = x + 5$ . W tym przedziale szukamy więc liczby $x$ , która spełnia równanie $x - 2 + x + 5 = 8$ , skąd $2 x = 5$ , czyli $x = \frac{5}{2} = 2 \frac{1}{2}$ .
Zatem jedynym rozwiązaniem jest w tym przypadku liczba $2 \frac{1}{2}$ .

Oznacza to, że są dwie liczby: $2 \frac{1}{2}$ oraz $- 5 \frac{1}{2}$ , których suma odległości na osi liczbowejoś liczbowaosi liczbowej od $(- 5)$ jest równa $8$ .

Uwaga. Warunek podany w treści zadania można sformułować następująco.
Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste $x$ , które są rozwiązaniem równania $|x + 5| + |x - 2| = 8$ .

Korzystając z definicji wartości bezwzględnejwartości bezwzględnej otrzymujemy:
$|x + 5| = \{\begin{cases} x + 5, dla x \geq - 5 \\ - x - 5, dla x < - 5 \end{cases}$
oraz
$|x - 2| = \{\begin{cases} x - 2, dla x \geq 2 \\ - x + 2, dla x < 2 \end{cases}$

Zatem rozpatrujemy trzy następujące przypadki:
(1) $x \in (- \infty, - 5)$ ; wtedy $|x + 5| = - x - 5$ oraz $|x - 2| = - x + 2$ ,
(2) $x \in ⟨- 5, 2)$ ; wtedy $|x + 5| = x + 5$ oraz $|x - 2| = - x + 2$ ,
(3) $x \in ⟨2, + \infty)$ ; wtedy $|x + 5| = x + 5$ oraz $|x - 2| = x - 2$ .

Wobec tego:

w przypadku (1) otrzymujemy równanie
$- x - 5 + (- x + 2) = 8$ ,
skąd $- x - 5 - x + 2 = 8$ , $- 2 x = 11$ ,
czyli $x = - \frac{11}{2} = - 5 \frac{1}{2}$ .
Ponieważ $- 5 \frac{1}{2} \in (- \infty, - 5)$ , więc dane równanie ma rozwiązanie $x = - 5 \frac{1}{2}$ .
w przypadku (2) otrzymujemy równanie
$x + 5 + (- x + 2) = 8$ ,
skąd $x + 5 - x + 2 = 8$ ,
czyli $7 = 8$ .
Otrzymana równość jest sprzeczna, więc w tym przypadku równanie nie ma rozwiązań.
w przypadku (3) otrzymujemy równanie
$x + 5 + x - 2 = 8$ ,
skąd $2 x = 8 - 5 + 2$ , $2 x = 5$
czyli $x = \frac{5}{2} = 2 \frac{1}{2}$ .
Ponieważ $2 \frac{1}{2} \in ⟨2, + \infty)$ , więc dane równanie ma rozwiązanie $x = 2 \frac{1}{2}$ .
Oznacza to, że równanie $|x + 5| + |x - 2| = 8$ ma dwa rozwiązania: $x = - 5 \frac{1}{2}$ oraz $x = 2 \frac{1}{2}$ .

b) Wyznaczymy na osi liczbowejoś liczbowaosi liczbowej wszystkie liczby rzeczywiste $x$ , których suma odległości od liczb $- 8$ oraz $17$ jest równa $24$ .

Rozwiązanie

Obliczamy, że odległość między liczbami $(- 8)$ oraz $17$ jest równa $|- 8 - 17| = |- 25| = 25$ .

Następnie dzielimy oś liczbowąoś liczbowaoś liczbową na trzy przedziały:
$(- \infty, - 8)$ , $⟨- 8, 17)$ oraz $⟨17, + \infty)$ .

Zauważmy, że:

dla dowolnej liczby $x$ z przedziału $⟨- 8, 17)$ suma odległości od krańców tego przedziału jest równa $25$ , a więc jest większa niż $24$ . Zatem w tym przedziale nie ma liczb spełniających zadany warunek.
dla $x \in (- \infty, - 8)$ odległość $x$ od $17$ jest większa niż długość przedziału $⟨- 8, 17)$ , czyli jest większa niż $25$ . Wynika stąd, że dla $x \in (- \infty, - 8)$ suma odległości $x$ od liczb $(- 8)$ oraz $17$ jest większa niż $25$ , a więc jest większa niż $24$ . Wobec tego również w tym przedziale nie ma liczb spełniających zadany warunek.
dla $x \in ⟨17, + \infty)$ odległość $x$ od $(- 8)$ jest większa niż długość przedziału $⟨- 8, 17)$ , czyli jest większa niż $25$ . Wynika stąd, że dla $x \in ⟨17, + \infty)$ suma odległości $x$ od liczb $(- 8)$ oraz $17$ jest większa niż $25$ , czyli jest większa niż $24$ . Oznacza to, że również w tym przedziale nie ma liczb spełniających zadany warunek.

Ostatecznie stwierdzamy, że nie istnieje taka liczba rzeczywista $x$ , której suma odległości od liczb $(- 8)$ oraz $17$ jest równa $24$ .

Uwaga. Warunek podany w treści zadania można sformułować następująco.
Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste $x$ , które są rozwiązaniem równania $|x + 8| + |x - 17| = 24$ .

Powyżej wykazaliśmy, że to równanie nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych.

Czytelnik zechce sprawdzić, rozwiązując to równanie z wykorzystaniem definicji wartości bezwzględnejwartości bezwzględnej, że w żadnym z trzech przedziałów: $(- \infty, - 8)$ , $⟨- 8, 17)$ oraz $⟨17, + \infty)$ nie znajdzie rozwiązania.

Pokażemy teraz, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność
$|a + b| \leq |a| + |b|$ .

Zauważmy, że obie strony tej nierówności są nieujemne, zatem możemy ją przekształcić równoważnie do postaci
${|a + b|}^{2} \leq {(|a| + |b|)}^{2}$ .

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia oraz z własności wartości bezwzględnejwartości bezwzględnej dostajemy
${(a + b)}^{2} \leq {|a|}^{2} + 2 |a| |b| + {|b|}^{2}$ ,
$a^{2} + 2 a b + b^{2} \leq a^{2} + 2 |a| |b| + b^{2}$
$2 a b \leq 2 |a| |b|$
$a b \leq |a| |b|$ .

Zauważmy następnie, że prawa strona otrzymanej nierówności jest liczbą nieujemną. Zatem:

jeżeli $a b < 0$ , to nierówność jest prawdziwa,
jeżeli $a b \geq 0$ , to:
albo obie liczby $a$ i $b$ są nieujemne; wtedy $|a| |b| = a b$ ,
albo obie liczby $a$ i $b$ są niedodatnie; wtedy $|a| |b| = (- a) (- b) = a b$ .
Wykazaliśmy, więc że w tym przypadku zachodzi równość $a b = |a| |b|$ .

Oznacza to, że dla każdego $a$ i każdego $b$ otrzymana nierówność jest prawdziwa, przy czym równość zachodzi w niej wtedy i tylko wtedy, gdy $a b ⩾ 0$ .

Prawdziwe jest więc twierdzenie.

nierówność trójkąta

Twierdzenie: nierówność trójkąta

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność
$|a + b| \leq |a| + |b|$ ,
przy czym równość zachodzi w niej wtedy i tylko wtedy, gdy $a b \geq 0$ .

Uwaga.

Ponieważ dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$ i $y$ zachodzi równość $|x - y| = |x + (- y)|$ ,
więc korzystając z nierówności trójkąta otrzymujemy, że
$|x - y| = |x + (- y)| \leq |x| + |- y| = |x| + |y|$ .
Przyjmując $a = x - z$ oraz $b = z - y$ możemy nierówność trójkąta sformułować następująco
dla dowolnych liczb rzeczywistych $x$ , $y$ , $z$ prawdziwa jest nierówność
$|x - y| ⩽ |x - z| + |y - z|$ .

Przykład 3

Korzystając z nierówności trójkątanierówność trójkątanierówności trójkąta, wykażemy, że równanie
$|x + 8| + |x - 17| = 24$
nie ma rozwiązań.

Dowód

Zauważmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ prawdziwa jest równość
$|x - 17| = |17 - x|$ .

Korzystając z nierówności trójkątanierówność trójkątanierówności trójkąta otrzymujemy stąd, że
$|x + 8| + |x - 17| = |x + 8| + |17 - x| \geq |x + 8 + 17 - x| = |25| = 25$ .

Wobec tego zakładając, że istnieje liczba $x$ , która spełnia równanie $|x + 8| + |x - 17| = 24$ otrzymujemy
$24 = |x + 8| + |x - 17| \geq 25$ ,
co jest sprzeczne. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.

W kolejnych przykładach przejdziemy do rozwiązywania innych typów równań z wartością bezwzględnąwartością bezwzględną .

Przykład 4

Wyznaczymy wszystkie liczby rzeczywiste, które spełniają równanie:

a) $||x + 4| - 5| = 2$ .

Rozwiązanie

Przekształcamy równoważnie dane równanie, korzystając w własności wartości bezwzględnejwartości bezwzględnej.

$||x + 4| - 5| = 2$ ,
skąd $|x + 4| - 5 = 2$ lub $|x + 4| - 5 = - 2$ ,
zatem $|x + 4| = 2 + 5 = 7$ lub $|x + 4| = - 2 + 5 = 3$ ,
czyli ( $x + 4 = 7$ lub $x + 4 = - 7$ ) lub ( $x + 4 = 3$ lub $x + 4 = - 3$ ).

Wobec tego równanie ma cztery rozwiązania: $3$ , $(- 1)$ , $(- 7)$ oraz $(- 11)$ .

b) $||x - 2| - 3| = 4$ .

Rozwiązanie

Przekształcamy równoważnie dane równanie, korzystając w własności wartości bezwzględnejwartości bezwzględnej.

$||x - 2| - 3| = 4$ ,
skąd $|x - 2| - 3 = 4$ lub $|x - 2| - 3 = - 4$ ,
zatem $|x - 2| = 7$ lub $|x - 2| = - 1$ .

Drugie z otrzymanych równań jest sprzeczne (nie istnieje liczba rzeczywista, której wartość bezwzględnawartość bezwzględna jest ujemna), a to oznacza, że
$x - 2 = 7$ lub $x - 2 = - 7$ .

Wynika z tego, że zbiór rozwiązań danej nierówności jest dwuelementowy: $x \in \{- 5, 9\}$ .

c) $\sqrt{x^{2} + 4 x + 4} + \sqrt{81 - 18 x + x^{2}} = 12 - x$ .

Rozwiązanie

Zauważmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ prawdziwe są równości:

$\sqrt{x^{2} + 4 x + 4} = \sqrt{{(x + 2)}^{2}} = |x + 2|$ ,
$\sqrt{81 - 18 x + x^{2}} = \sqrt{{(x - 9)}^{2}} = |x - 9|$ .

Wynika stąd, że dane równanie jest równoważne równaniu
$|x + 2| + |x - 9| = 12 - x$ .

Korzystając z definicji wartości bezwzględnejwartości bezwzględnej otrzymujemy:
$|x + 2| = \{\begin{cases} x + 2, dla x \leq - 2 \\ - x - 2, dla x < - 2 \end{cases}$
oraz
$|x - 9| = \{\begin{cases} x - 9, dla x \leq 9 \\ - x + 9, dla x < 9 \end{cases}$
Zatem rozpatrujemy trzy następujące przypadki:
(1) $x \in (- \infty, - 2)$ ; wtedy $|x + 2| = - x - 2$ oraz $|x - 9| = - x + 9$ ,
(2) $x \in ⟨- 2, 9)$ ; wtedy $|x + 2| = x + 2$ oraz $|x - 9| = - x + 9$ ,
(3) $x \in ⟨9, + \infty)$ ; wtedy $|x + 2| = x + 2$ oraz $|x - 9| = x - 9$ .

Wobec tego:

w przypadku (1) otrzymujemy równanie
$- x - 2 + (- x + 9) = 12 - x$ , skąd $- x - x + x = 12 + 2 - 9$ , $- x = 5$
czyli $x = - 5$ .
Ponieważ $- 5 \in (- \infty, - 2)$ , więc $x = - 5$ jest rozwiązaniem równania.
w przypadku (2) otrzymujemy równanie
$x + 2 + (- x + 9) = 12 - x$ , skąd $x - x + x = 12 - 2 - 9$ ,
czyli $x = 1$ .
Ponieważ $1 \in ⟨- 2, 9)$ , więc $x = 1$ jest rozwiązaniem równania.
w przypadku (3) otrzymujemy równanie
$x + 2 + x - 9 = 12 - x$ , skąd $x + x + x = 12 - 2 + 9$ ,
czyli $x = \frac{19}{3} = 6 \frac{1}{3}$ .
Ponieważ $6 \frac{1}{3} \notin ⟨9, + \infty)$ , więc w tym przypadku rozwiązań nie ma.

Oznacza to, że równanie $\sqrt{x^{2} + 4 x + 4} + \sqrt{81 - 18 x + x^{2}} = 12 - x$ ma dwa rozwiązania: $x = - 5$ oraz $x = 1$ .

Przykład 5

Wyznaczymy wszystkie liczby rzeczywiste, które spełniają równanie
$|x - 5| + |4 x + 4| = |15 - 3 x| + |3 x + 3|$ .

Rozwiązanie

W rozwiązaniu skorzystamy z następującej własności:
dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ prawdziwa jest równość
$|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$ .

Dla dowodu zauważmy, że obie strony tej równości są nieujemne, więc jest ona równoważna równości
${|a \cdot b|}^{2} = {(|a| \cdot |b|)}^{2}$ ,
skąd z własności wartości bezwzględnejwartości bezwzględnej otrzymujemy równość
${(a \cdot b)}^{2} = {|a|}^{2} \cdot {|b|}^{2}$ , czyli ${(a \cdot b)}^{2} = a^{2} \cdot b^{2}$ , a to jest równość prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ oraz $b$ . To spostrzeżenie kończy dowód.

Korzystając z powyższej własności możemy dane równanie przekształcić jak poniżej.
$|x - 5| + |4 (x + 1)| = |- 3 (x - 5)| + |3 (x + 1)|$
$|x - 5| + |4| \cdot |x + 1| = |- 3| \cdot |x - 5| + |3| \cdot |x + 1|$
$|x - 5| + 4 |x + 1| = 3 |x - 5| + 3 |x + 1|$
$4 |x + 1| - 3 |x + 1| = 3 |x - 5| - |x - 5|$
$|x + 1| = 2 |x - 5|$ .

Zauważmy, że rozwiązaniem otrzymanego równania są wszystkie liczby rzeczywiste $x$ , których odległość na osi liczbowejoś liczbowaosi liczbowej od liczby $(- 1)$ jest $2$ razy większa, niż odległość od liczby $5$ . Jak już wiemy z rozwiązania wcześniejszego przykładu, są dwie liczby spełniające powyższy warunek: $x = 3$ oraz $x = 11$ .

Uwaga. Rozumując podobnie, jak przy dowodzie własności wykorzystanej w rozwiązaniu powyższego przykładu, można udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b \neq 0$ prawdziwa jest równość
$|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}$ .

Poniżej znajdują się dwa przykłady zadań wykraczających swoją treścią poza podstawę programową. Możesz się z nimi zapoznać, aby przekonać się, że z poznanymi do tej pory narzędziami jesteśmy w stanie je rozwiązać.

Przykład 6

Wyznaczymy wszystkie liczby rzeczywiste, które spełniają równanie:

a) $|x + 4| + |x - 1| + |x - 8| = 12$ .

Rozwiązanie

Z nierówności trójkątanierówność trójkątanierówności trójkąta wynika, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ prawdziwa jest zależność
$|x + 4| + |x - 8| = |x + 4| + |8 - x| \geq |x + 4 + 8 - x| = |12| = 12$ ,
przy czym równość zachodzi w niej wtedy i tylko wtedy, gdy $(x + 4) \cdot (8 - x) \geq 0$ , a więc dla $x \in ⟨- 4, 8⟩$ .

Wynika stąd, że:

dla $x \notin ⟨- 4, 8⟩$ dane równanie rozwiązań nie ma (po lewej stronie równania jest liczba większa od $12$ ),
dla $x \in ⟨- 4, 8⟩$ równanie przyjmuje postać $12 + |x - 1| = 12$ , skąd $|x - 1| = 0$ , $x - 1 = 0$ , czyli $x = 1$ .
Ponieważ $1 \in ⟨- 4, 8⟩$ , więc jest to rozwiązanie danego równania.

Otrzymujemy więc, że jedynym rozwiązaniem danego równania jest $x = 1$ .

Czytelnik zechce zweryfikować odpowiedź otrzymaną powyższym sposobem, rozwiązując podane równanie (z wykorzystaniem definicji wartości bezwzględnejwartości bezwzględnej ) w każdym z przedziałów:
$(- \infty, - 4)$ , $⟨- 4, 1)$ , $⟨1, 8)$ oraz $⟨8, + \infty)$ .

b) $|x| + |x + 3| = |x + 1| + |x + 2|$ .

Ponieważ obie strony otrzymanej nierówności są nieujemne, więc możemy ją przekształcić równoważnie do postaci
${(|x| + |x + 3|)}^{2} = {(|x + 1| + |x + 2|)}^{2}$ .
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia oraz z własności wartości bezwzględnejwartości bezwzględnej otrzymujemy:
${|x|}^{2} + 2 \cdot |x| \cdot |x + 3| + {|x + 3|}^{2} = {|x + 1|}^{2} + 2 \cdot |x + 1| \cdot |x + 2| + {|x + 2|}^{2}$
$x^{2} + 2 |x \cdot (x + 3)| + {(x + 3)}^{2} = {(x + 1)}^{2} + 2 \cdot |(x + 1) \cdot (x + 2)| + {(x + 2)}^{2}$
$2 x^{2} + 6 x + 9 + 2 |x \cdot (x + 3)| = 2 x^{2} + 6 x + 5 + 2 \cdot |(x + 1) \cdot (x + 2)|$
$4 + 2 |x^{2} + 3 x| = 2 \cdot |x^{2} + 3 x + 2|$
$|x^{2} + 3 x| + 2 = |x^{2} + 3 x + 2|$
$|x^{2} + 3 x| + |2| = |x^{2} + 3 x + 2|$ .

Zauważmy, że na mocy nierówności trójkąta otrzymujemy zależność
$|x^{2} + 3 x| + |2| \geq |x^{2} + 3 x + 2|$ ,
w ktorej równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy $(x^{2} + 3 x) \cdot 2 \geq 0$ , czyli gdy $x \cdot (x + 3) \geq 0$ , a więc dla $x \in (- \infty, - 3⟩ \cup ⟨0, + \infty)$ .

Wynika stąd, że rozwiązaniami danego równania są $x \in (- \infty, - 3⟩ \cup ⟨0, + \infty)$ .

W przypadku tego równania ponownie sugerujemy, aby czytelnik zweryfikował odpowiedź otrzymaną powyższym sposobem, rozwiązując je (z wykorzystaniem definicji wartości bezwzględnejwartości bezwzględnej ) w każdym z przedziałów:
$(- \infty, - 3)$ , $⟨- 3, - 2)$ , $⟨- 2, - 1)$ , $⟨- 1, 0)$ oraz $⟨0, + \infty)$ .

Przykład 7

Wyznaczymy wszystkie liczby rzeczywiste, które spełniają równanie
$|x - |x + |x - 2||| + |x + |x - |x + 5||| = 8$ .

Rozwiązanie

W rozwiązaniu skorzystamy z następującej własności:
dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ prawdziwa jest nierówność
$|x| \geq x$ ,
przy czym równość zachodzi w niej wtedy i tylko wtedy, gdy $x \geq 0$ .

Z definicji wartości bezwzględnejwartości bezwzględnej wynika mianowicie, że:

gdy $x < 0$ , to $|x| = - x > 0$ ; wtedy $|x| > x$ , czyli nierówność jest prawdziwa,
gdy $x \geq 0$ , to $|x| = x$ , czyli nierówność jest prawdziwa.
Oznacza to, że nierówność $|x| \geq x$ jest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ .

Korzystając z powyższej własności wykażemy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ prawdziwe są następujące dwie zależności:
(1) $|x - |x + |x - 2||| = |x - 2|$ ,
(2) $|x + |x - |x + 5||| = |x + 5|$ .

Dowód

(1) Zauważmy, że:
$|- (x - 2)| \geq - (x - 2)$ , skąd $|x - 2| \geq - x + 2$ , $x + |x - 2| \geq 2 > 0$ , czyli $|x + |x - 2|| = x + |x - 2|$ .
Zatem
$|x - |x + |x - 2||| = |x - (x + |x - 2|)| = |x - x - |x - 2|| = |- |x - 2||$ .
Ponieważ
$- |x - 2| \leq 0$ ,
więc $|- |x - 2|| = - (- |x - 2|) = |x - 2|$ .
Wobec tego
$|x - |x + |x - 2||| = |x - 2|$ dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ .

(2) Zauważmy, że:
$|x + 5| \geq x + 5$ , skąd $x - |x + 5| ⩽ - 5 < 0$ , czyli $|x - |x + 5|| = - (x - |x + 5|) = - x + |x + 5|$ .
Wynika stąd, że
$|x + |x - |x + 5||| = |x + (- x + |x + 5|)| = |x - x + |x + 5|| = ||x + 5||$ .
Ponieważ
$|x + 5| \geq 0$ ,
więc $||x + 5|| = |x + 5|$ .
Oznacza to, że
$|x + |x - |x + 5||| = |x + 5|$ dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ .

W ten sposób otrzymujemy, że dane równanie
$|x - |x + |x - 2||| + |x + |x - |x + 5||| = 8$
jest równoważne równaniu
$|x - 2| + |x + 5| = 8$ .

Zauważmy, że rozwiązaniem tak otrzymanego równania są wszystkie liczby rzeczywiste $x$ , których suma odległości od liczb $(- 5)$ oraz $2$ jest równa $8$ .
Jak już wiemy z rozwiązania wcześniejszego przykładu, są dwie liczby spełniające powyższy warunek: $x = - 5 \frac{1}{2}$ oraz $x = 2 \frac{1}{2}$ .

Przykład 8

Wyznaczymy wszystkie liczby rzeczywiste $x \geq 1$ , które spełniają równanie
$\sqrt{x + 3 - 4 \sqrt{x - 1}} + \sqrt{x + 8 - 6 \sqrt{x - 1}} = 1$ .

Rozwiązanie

Zauważmy, że gdy $x \geq 1$ , to:

$\sqrt{x + 3 - 4 \sqrt{x - 1}} = \sqrt{x - 1 - 4 \sqrt{x - 1} + 4} = \sqrt{{(\sqrt{x - 1} - 2)}^{2}}$ ,
a więc $\sqrt{x + 3 - 4 \sqrt{x - 1}} = |\sqrt{x - 1} - 2|$ ,
$\sqrt{x + 8 - 6 \sqrt{x - 1}} = \sqrt{x - 1 - 6 \sqrt{x - 1} + 9} = \sqrt{{(\sqrt{x - 1} - 3)}^{2}}$ ,
skąd $\sqrt{x + 8 - 6 \sqrt{x - 1}} = |\sqrt{x - 1} - 3| = |3 - \sqrt{x - 1}|$ .

Na mocy nierówności trójkątanierówność trójkątanierówności trójkąta otrzymujemy ponadto, że
$\sqrt{x + 3 - 4 \sqrt{x - 1}} + \sqrt{x + 8 - 6 \sqrt{x - 1}} =$
$= |\sqrt{x - 1} - 2| + |3 - \sqrt{x - 1}| \geq |\sqrt{x - 1} - 2 + 3 - \sqrt{x - 1}| = |1| = 1$ ,
przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy
$(\sqrt{x - 1} - 2) \cdot (3 - \sqrt{x - 1}) \geq 0$ ,
czyli gdy $2 \leq \sqrt{x - 1} \leq 3$ .

Wynika stąd, że równanie
$\sqrt{x + 3 - 4 \sqrt{x - 1}} + \sqrt{x + 8 - 6 \sqrt{x - 1}} = 1$
spełniają te liczby rzeczywiste, dla których prawdziwy jest układ nierówności $2^{2} \leq x - 1 \leq 3^{2}$ .
Oznacza to, że $x \in ⟨5, 10⟩$ .

Słownik

oś liczbowa

prosta, na której wyróżniono zwrot i punkt $O$ zwany zerowym oraz ustalono odcinek jednostkowy

wartość bezwzględna liczby rzeczywistej

wartością bezwzględną liczby rzeczywistej $x$ nazywamy jej odległość na osi liczbowej od zera; wartość bezwzględną liczby $x$ oznaczamy symbolem $|x|$

nierówność trójkąta

dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ i $b$ prawdziwa jest nierówność
$|a + b| \leq |a| + |b|$ ,
przy czym równość zachodzi w niej wtedy i tylko wtedy, gdy $a b \geq 0$

Wprowadzenie

Test samosprawdzający

Słownik