Przeczytaj
Wyznaczymy wszystkie liczby rzeczywiste , których odległość na osi liczbowejosi liczbowej od liczby jest razy większa niż odległość od liczby .
Rozwiązanie
Obliczamy, że odległość między liczbami oraz jest równa .
Następnie dzielimy oś liczbowąoś liczbową na trzy przedziały:
, oraz .
Zauważamy, że dla dowolnej liczby z przedziału odległość od liczby jest mniejsza niż odległość od liczby , zatem w tym przedziale nie ma liczb spełniających zadany warunek.
W przedziale mamy znaleźć taką liczbę , której odległość od lewego krańca tego przedziału jest razy większa niż odległość od prawego krańca. Dzielimy więc długość tego przedziału (czyli liczbę ) w stosunku i dostajemy, że warunki zadania spełnia .
Powyższe rozwiązanie ma następującą interpretację algebraiczną.
Dla odległość od jest równa , a odległość od jest równa .
W tym przedziale szukamy więc liczby , która spełnia równanie .
Przekształcamy otrzymane równanie do postaci , skąd , czyli .
Zatem jedynym rozwiązaniem jest w tym przypadku liczba .
W przedziale mamy znaleźć taką liczbę , której odległość od lewego krańca tego przedziału jest razy mniejsza niż odległość od . Wynika stąd, że liczba jest środkiem odcinka o końcach oraz , gdzie .
Wobec tego , skąd .
Interpretacja algebraiczna powyższego fragmentu rozwiązania jest następująca.
Dla odległość od jest równa , a odległość od jest równa . W tym przedziale szukamy więc liczby , która spełnia równanie . Przekształcamy otrzymane równanie do postaci , skąd .
Zatem jedynym rozwiązaniem jest w tym przypadku liczba .
Oznacza to, że są dwie liczby: oraz , których odległość od na osi liczbowejosi liczbowej jest razy większa niż odległość od .
Uwaga. Warunek podany w treści zadania można sformułować następująco.
Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste , które są rozwiązaniem równania .
Przedstawimy poniżej dwa algebraiczne sposoby rozwiązania tego równania.
Sposób :
Korzystając z definicji wartości bezwzględnejwartości bezwzględnej, otrzymujemy:
oraz
Zatem rozpatrujemy trzy następujące przypadki:
(1) ; wtedy oraz ,
(2) ; wtedy oraz ,
(3) ; wtedy oraz .
Wobec tego:
w przypadku (1) otrzymujemy równanie
,
skąd ,
czyli .
Jednakże , więc w tym przypadku dane równanie nie ma rozwiązań.w przypadku (2) otrzymujemy równanie
,
skąd ,
,
czyli .
Ponieważ , więc dane równanie ma rozwiązanie .w przypadku (3) otrzymujemy równanie
,
skąd ,
czyli .
Ponieważ , więc dane równanie ma rozwiązanie .Oznacza to, że równanie ma dwa rozwiązania: oraz .
Sposób :
Ponieważ obie strony równania
są nieujemne, więc to równanie można zapisać w następującej postaci równoważnej
.
Otrzymane równanie dalej przekształcamy równoważnie (korzystając m.in. z własności wartości bezwzględnejwartości bezwzględnej oraz ze wzorów skróconego mnożenia).
.
Stąd lub , czyli lub .
Oznacza to, że równanie ma dwa rozwiązania: i .
a) Wyznaczymy na osi liczbowejosi liczbowej wszystkie liczby rzeczywiste , których suma odległości od liczb oraz jest równa .
Rozwiązanie
Obliczamy, że odległość między liczbami oraz jest równa .
Następnie dzielimy oś liczbowąoś liczbową na trzy przedziały:
, oraz .
Zauważamy, że dla dowolnej liczby z przedziału suma odległości od krańców tego przedziału jest równa , a więc jest mniejsza niż . Zatem w tym przedziale nie ma liczb spełniających zadany warunek.
W przedziale mamy znaleźć taką liczbę , której suma odległości od prawego krańca tego przedziału oraz od jest równa .
Jeżeli odległość od oznaczymy przez , to odległość od jest równa .
Stąd liczba dodatnia jest rozwiązaniem równania , skąd , , czyli . Oznacza to, że .
Interpretacja algebraiczna powyższego fragmentu rozwiązania jest następująca: dla odległość od jest równa (powyżej oznaczyliśmy tę odległość przez ), a odległość od jest równa .
W tym przedziale szukamy więc liczby , która spełnia równanie .
Przekształcamy otrzymane równanie do postaci , skąd , czyli .
Zatem jedynym rozwiązaniem jest w tym przypadku liczba .
W przedziale mamy znaleźć taką liczbę , której której suma odległości od lewego krańca tego przedziału oraz od jest równa .
Jeżeli tym razem przez oznaczymy odległość od , to odległość od jest równa . Stąd – dokładnie tak samo, jak poprzednio – liczba dodatnia jest rozwiązaniem równania . Wobec tego . Oznacza to, że .
Interpretacja algebraiczna powyższego fragmentu rozwiązania jest następująca: dla odległość od jest równa , a odległość od jest równa . W tym przedziale szukamy więc liczby , która spełnia równanie , skąd , czyli .
Zatem jedynym rozwiązaniem jest w tym przypadku liczba .
Oznacza to, że są dwie liczby: oraz , których suma odległości na osi liczbowejosi liczbowej od jest równa .
Uwaga. Warunek podany w treści zadania można sformułować następująco.
Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste , które są rozwiązaniem równania .
Korzystając z definicji wartości bezwzględnejwartości bezwzględnej otrzymujemy:
oraz
Zatem rozpatrujemy trzy następujące przypadki:
(1) ; wtedy oraz ,
(2) ; wtedy oraz ,
(3) ; wtedy oraz .
Wobec tego:
w przypadku (1) otrzymujemy równanie
,
skąd , ,
czyli .
Ponieważ , więc dane równanie ma rozwiązanie .w przypadku (2) otrzymujemy równanie
,
skąd ,
czyli .
Otrzymana równość jest sprzeczna, więc w tym przypadku równanie nie ma rozwiązań.w przypadku (3) otrzymujemy równanie
,
skąd ,
czyli .
Ponieważ , więc dane równanie ma rozwiązanie .Oznacza to, że równanie ma dwa rozwiązania: oraz .
b) Wyznaczymy na osi liczbowejosi liczbowej wszystkie liczby rzeczywiste , których suma odległości od liczb oraz jest równa .
Rozwiązanie
Obliczamy, że odległość między liczbami oraz jest równa .
Następnie dzielimy oś liczbowąoś liczbową na trzy przedziały:
, oraz .
Zauważmy, że:
dla dowolnej liczby z przedziału suma odległości od krańców tego przedziału jest równa , a więc jest większa niż . Zatem w tym przedziale nie ma liczb spełniających zadany warunek.
dla odległość od jest większa niż długość przedziału , czyli jest większa niż . Wynika stąd, że dla suma odległości od liczb oraz jest większa niż , a więc jest większa niż . Wobec tego również w tym przedziale nie ma liczb spełniających zadany warunek.
dla odległość od jest większa niż długość przedziału , czyli jest większa niż . Wynika stąd, że dla suma odległości od liczb oraz jest większa niż , czyli jest większa niż . Oznacza to, że również w tym przedziale nie ma liczb spełniających zadany warunek.
Ostatecznie stwierdzamy, że nie istnieje taka liczba rzeczywista , której suma odległości od liczb oraz jest równa .
Uwaga. Warunek podany w treści zadania można sformułować następująco.
Wyznacz wszystkie liczby rzeczywiste , które są rozwiązaniem równania .
Powyżej wykazaliśmy, że to równanie nie ma rozwiązań w liczbach rzeczywistych.
Czytelnik zechce sprawdzić, rozwiązując to równanie z wykorzystaniem definicji wartości bezwzględnejwartości bezwzględnej, że w żadnym z trzech przedziałów: , oraz nie znajdzie rozwiązania.
Pokażemy teraz, że dla dowolnych liczb rzeczywistych i prawdziwa jest nierówność
.
Zauważmy, że obie strony tej nierówności są nieujemne, zatem możemy ją przekształcić równoważnie do postaci
.
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia oraz z własności wartości bezwzględnejwartości bezwzględnej dostajemy
,
.
Zauważmy następnie, że prawa strona otrzymanej nierówności jest liczbą nieujemną. Zatem:
jeżeli , to nierówność jest prawdziwa,
jeżeli , to:
albo obie liczby i są nieujemne; wtedy ,
albo obie liczby i są niedodatnie; wtedy .
Wykazaliśmy, więc że w tym przypadku zachodzi równość .
Oznacza to, że dla każdego i każdego otrzymana nierówność jest prawdziwa, przy czym równość zachodzi w niej wtedy i tylko wtedy, gdy .
Prawdziwe jest więc twierdzenie.
Dla dowolnych liczb rzeczywistych i prawdziwa jest nierówność
,
przy czym równość zachodzi w niej wtedy i tylko wtedy, gdy .
Uwaga.
Ponieważ dla dowolnych liczb rzeczywistych i zachodzi równość ,
więc korzystając z nierówności trójkąta otrzymujemy, że
.Przyjmując oraz możemy nierówność trójkąta sformułować następująco
dla dowolnych liczb rzeczywistych , , prawdziwa jest nierówność
.
Korzystając z nierówności trójkątanierówności trójkąta, wykażemy, że równanie
nie ma rozwiązań.
Dowód
Zauważmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej prawdziwa jest równość
.
Korzystając z nierówności trójkątanierówności trójkąta otrzymujemy stąd, że
.
Wobec tego zakładając, że istnieje liczba , która spełnia równanie otrzymujemy
,
co jest sprzeczne. Otrzymana sprzeczność kończy dowód.
W kolejnych przykładach przejdziemy do rozwiązywania innych typów równań z wartością bezwzględnąwartością bezwzględną .
Wyznaczymy wszystkie liczby rzeczywiste, które spełniają równanie:
a) .
Rozwiązanie
Przekształcamy równoważnie dane równanie, korzystając w własności wartości bezwzględnejwartości bezwzględnej.
,
skąd lub ,
zatem lub ,
czyli ( lub ) lub ( lub ).
Wobec tego równanie ma cztery rozwiązania: , , oraz .
b) .
Rozwiązanie
Przekształcamy równoważnie dane równanie, korzystając w własności wartości bezwzględnejwartości bezwzględnej.
,
skąd lub ,
zatem lub .
Drugie z otrzymanych równań jest sprzeczne (nie istnieje liczba rzeczywista, której wartość bezwzględnawartość bezwzględna jest ujemna), a to oznacza, że
lub .
Wynika z tego, że zbiór rozwiązań danej nierówności jest dwuelementowy: .
c) .
Rozwiązanie
Zauważmy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej prawdziwe są równości:
,
.
Wynika stąd, że dane równanie jest równoważne równaniu
.
Korzystając z definicji wartości bezwzględnejwartości bezwzględnej otrzymujemy:
oraz
Zatem rozpatrujemy trzy następujące przypadki:
(1) ; wtedy oraz ,
(2) ; wtedy oraz ,
(3) ; wtedy oraz .
Wobec tego:
w przypadku (1) otrzymujemy równanie
, skąd ,
czyli .
Ponieważ , więc jest rozwiązaniem równania.w przypadku (2) otrzymujemy równanie
, skąd ,
czyli .
Ponieważ , więc jest rozwiązaniem równania.w przypadku (3) otrzymujemy równanie
, skąd ,
czyli .
Ponieważ , więc w tym przypadku rozwiązań nie ma.
Oznacza to, że równanie ma dwa rozwiązania: oraz .
Wyznaczymy wszystkie liczby rzeczywiste, które spełniają równanie
.
Rozwiązanie
W rozwiązaniu skorzystamy z następującej własności:
dla dowolnych liczb rzeczywistych i prawdziwa jest równość
.
Dla dowodu zauważmy, że obie strony tej równości są nieujemne, więc jest ona równoważna równości
,
skąd z własności wartości bezwzględnejwartości bezwzględnej otrzymujemy równość
, czyli , a to jest równość prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych oraz . To spostrzeżenie kończy dowód.
Korzystając z powyższej własności możemy dane równanie przekształcić jak poniżej.
.
Zauważmy, że rozwiązaniem otrzymanego równania są wszystkie liczby rzeczywiste , których odległość na osi liczbowejosi liczbowej od liczby jest razy większa, niż odległość od liczby . Jak już wiemy z rozwiązania wcześniejszego przykładu, są dwie liczby spełniające powyższy warunek: oraz .
Uwaga. Rozumując podobnie, jak przy dowodzie własności wykorzystanej w rozwiązaniu powyższego przykładu, można udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych i prawdziwa jest równość
.
Poniżej znajdują się dwa przykłady zadań wykraczających swoją treścią poza podstawę programową. Możesz się z nimi zapoznać, aby przekonać się, że z poznanymi do tej pory narzędziami jesteśmy w stanie je rozwiązać.
Wyznaczymy wszystkie liczby rzeczywiste, które spełniają równanie:
a) .
Rozwiązanie
Z nierówności trójkątanierówności trójkąta wynika, że dla dowolnej liczby rzeczywistej prawdziwa jest zależność
,
przy czym równość zachodzi w niej wtedy i tylko wtedy, gdy , a więc dla .
Wynika stąd, że:
dla dane równanie rozwiązań nie ma (po lewej stronie równania jest liczba większa od ),
dla równanie przyjmuje postać , skąd , , czyli .
Ponieważ , więc jest to rozwiązanie danego równania.
Otrzymujemy więc, że jedynym rozwiązaniem danego równania jest .
Czytelnik zechce zweryfikować odpowiedź otrzymaną powyższym sposobem, rozwiązując podane równanie (z wykorzystaniem definicji wartości bezwzględnejwartości bezwzględnej ) w każdym z przedziałów:
, , oraz .
b) .
Ponieważ obie strony otrzymanej nierówności są nieujemne, więc możemy ją przekształcić równoważnie do postaci
.
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia oraz z własności wartości bezwzględnejwartości bezwzględnej otrzymujemy:
.
Zauważmy, że na mocy nierówności trójkąta otrzymujemy zależność
,
w ktorej równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy , czyli gdy , a więc dla .
Wynika stąd, że rozwiązaniami danego równania są .
W przypadku tego równania ponownie sugerujemy, aby czytelnik zweryfikował odpowiedź otrzymaną powyższym sposobem, rozwiązując je (z wykorzystaniem definicji wartości bezwzględnejwartości bezwzględnej ) w każdym z przedziałów:
, , , oraz .
Wyznaczymy wszystkie liczby rzeczywiste, które spełniają równanie
.
Rozwiązanie
W rozwiązaniu skorzystamy z następującej własności:
dla dowolnej liczby rzeczywistej prawdziwa jest nierówność
,
przy czym równość zachodzi w niej wtedy i tylko wtedy, gdy .
Z definicji wartości bezwzględnejwartości bezwzględnej wynika mianowicie, że:
gdy , to ; wtedy , czyli nierówność jest prawdziwa,
gdy , to , czyli nierówność jest prawdziwa.
Oznacza to, że nierówność jest prawdziwa dla dowolnej liczby rzeczywistej .
Korzystając z powyższej własności wykażemy, że dla dowolnej liczby rzeczywistej prawdziwe są następujące dwie zależności:
(1) ,
(2) .
Dowód
(1) Zauważmy, że:
, skąd , , czyli .
Zatem
.
Ponieważ
,
więc .
Wobec tego
dla dowolnej liczby rzeczywistej .
(2) Zauważmy, że:
, skąd , czyli .
Wynika stąd, że
.
Ponieważ
,
więc .
Oznacza to, że
dla dowolnej liczby rzeczywistej .
W ten sposób otrzymujemy, że dane równanie
jest równoważne równaniu
.
Zauważmy, że rozwiązaniem tak otrzymanego równania są wszystkie liczby rzeczywiste , których suma odległości od liczb oraz jest równa .
Jak już wiemy z rozwiązania wcześniejszego przykładu, są dwie liczby spełniające powyższy warunek: oraz .
Wyznaczymy wszystkie liczby rzeczywiste , które spełniają równanie
.
Rozwiązanie
Zauważmy, że gdy , to:
,
a więc ,,
skąd .
Na mocy nierówności trójkątanierówności trójkąta otrzymujemy ponadto, że
,
przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy
,
czyli gdy .
Wynika stąd, że równanie
spełniają te liczby rzeczywiste, dla których prawdziwy jest układ nierówności .
Oznacza to, że .
Słownik
prosta, na której wyróżniono zwrot i punkt zwany zerowym oraz ustalono odcinek jednostkowy
wartością bezwzględną liczby rzeczywistej nazywamy jej odległość na osi liczbowej od zera; wartość bezwzględną liczby oznaczamy symbolem
dla dowolnych liczb rzeczywistych i prawdziwa jest nierówność
,
przy czym równość zachodzi w niej wtedy i tylko wtedy, gdy