Rozważmy kąt o wierzchołku w punkcie . Istnieje nieskończenie wiele okręgów, które są wpisane w ten kąt, tzn. styczne do obu ramion danego kąta, jak na rysunku.
RGBBg1YoKyTF6
Ich położenia nie są przypadkowe – w szczególności wiemy, że w każdy trójkąt można wpisać okrąg i środek tego okręgu leży w punkcie przecięcia się dwusiecznych kątów trójkąta. Ale okrąg wpisany w trójkątokrąg wpisany w trójkąt (wielokąt)okrąg wpisany w trójkąt jest wpisany w każdy z kątów wewnętrznych trójkąta. Nietrudno więc zauważyć, że każdy okrąg wpisany w dany kąt, ma środek położony na dwusiecznej tego kąta.
R1Xn7tNQT9XS7
Fakt ten można uzasadnić korzystając z zasadniczego twierdzenia planimetrii, które teraz podamy i udowodnimy.
O odcinkach stycznych
Twierdzenie: O odcinkach stycznych
Odcinki dwóch stycznych poprowadzonych do danego okręgu z punktu leżącego na zewnątrz okręgu, wyznaczone przez punkt i punkty styczności, są sobie równe.
Dowód
Poprowadźmy styczne do danego okręgu. Oznaczmy przez środek tego okręgu, a przez i odpowiednie punkty styczności, jak na rysunku.
Ru6jXfl2Ra2zI
Kąty, jakie promienie i tworzą ze stycznymi są proste. Oznacza to w szczególności, że trójkąty i są trójkątami prostokątnymi. Ale odcinek jest wspólnym bokiem w obu trójkątach, a boki i są równe. Mamy więc dwa trójkąty prostokątne o dwóch parach boków odpowiednio równych – ale to oznacza, że trójkąty te są przystające. W szczególności , co należało wykazać. Z przystawania trójkątów i wynika również, że , czyli prosta zawiera dwusieczną kąta .
Przykład 1
Rozważmy trójkąt o bokach długości , i . Wyznaczymy długości odcinków, na jakie boki trójkąta podzieliły punkty styczności wyznaczone przez okrąg wpisany w ten trójkąt. Popatrzmy na rysunek.
RUNZXW2C9BYR4
Przyjmijmy, że , , . Jeśli punkty , , są punktami, w których okrąg wpisany w ten trójkąt jest styczny do odpowiednich boków trójkąta, to z twierdzenia o odcinkach stycznych wynika, że: , , . Przyjmując odpowiednio oznaczenia , , możemy zapisać układ równań . Rozwiązaniem tego układu są liczby: , , .
Powtórzymy teraz rozumowanie z Przykładu 1. dla dowolnego trójkąta prostokątnego, co pozwoli wyprowadzić pewien przydatny wzór.
Przykład 2
Rozważmy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych , i przeciwprostokątnej . Wyznaczymy długości odcinków, na jakie boki trójkąta podzieliły punkty styczności wyznaczone przez okrąg o promieniu wpisany w ten trójkąt.
Popatrzmy na rysunek
R1GA1MW8lmdYw
Przyjmijmy, że , , . Jeśli punkty , , są punktami, w których okrąg wpisany w ten trójkąt jest styczny do odpowiednich boków trójkąta, to z twierdzenia o odcinkach stycznych wynika, że: , oraz . Jeśli dodamy stronami równania układu równań , to otrzymamy, że . Stąd . Odejmując od otrzymanego równania kolejno równania , oraz otrzymamy, że: , oraz . Pozostaje zauważyć, że , co pozwala sformułować poniższe twierdzenie.
O promieniu okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny
Twierdzenie: O promieniu okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny
Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych , i przeciwprostokątnej jest równy .
Słownik
okrąg wpisany w trójkąt (wielokąt)
okrąg wpisany w trójkąt (wielokąt)
okręgiem wpisanym w trójkąt (wielokąt) nazywamy okrąg, który jest styczny do każdego z boków tego trójkąta (wielokąta)