Przeczytaj

Okrąg wpisany w kąt

Rozważmy kąt o wierzchołku w punkcie $P$ . Istnieje nieskończenie wiele okręgów, które są wpisane w ten kąt, tzn. styczne do obu ramion danego kąta, jak na rysunku.

RGBBg1YoKyTF6

Rysunek przedstawia dwie ukośne proste przecinające się w punkcie P. Wyznaczają one pewien kąt ostry o wierzchołku P. Pomiędzy ramionami tego kąta narysowane są cztery różne okręgi w taki sposób, że każdy okrąg styka się w jednym punkcie z każdym z ramion. — Okręgi wpisane w kąt

Ich położenia nie są przypadkowe – w szczególności wiemy, że w każdy trójkąt można wpisać okrąg i środek tego okręgu leży w punkcie przecięcia się dwusiecznych kątów trójkąta. Ale okrąg wpisany w trójkątokrąg wpisany w trójkąt (wielokąt)okrąg wpisany w trójkąt jest wpisany w każdy z kątów wewnętrznych trójkąta. Nietrudno więc zauważyć, że każdy okrąg wpisany w dany kąt, ma środek położony na dwusiecznej tego kąta.

R1Xn7tNQT9XS7

Fakt ten można uzasadnić korzystając z zasadniczego twierdzenia planimetrii, które teraz podamy i udowodnimy.

O odcinkach stycznych

Twierdzenie: O odcinkach stycznych

Odcinki dwóch stycznych poprowadzonych do danego okręgu z punktu $P$ leżącego na zewnątrz okręgu, wyznaczone przez punkt $P$ i punkty styczności, są sobie równe.

Dowód

Poprowadźmy styczne do danego okręgu. Oznaczmy przez $O$ środek tego okręgu, a przez $A$ i $B$ odpowiednie punkty styczności, jak na rysunku.

Ru6jXfl2Ra2zI

Kąty, jakie promienie $O A$ i $O B$ tworzą ze stycznymi są proste. Oznacza to w szczególności, że trójkąty $P A O$ i $P B O$ są trójkątami prostokątnymi. Ale odcinek $O P$ jest wspólnym bokiem w obu trójkątach, a boki $O B$ i $O A$ są równe. Mamy więc dwa trójkąty prostokątne o dwóch parach boków odpowiednio równych – ale to oznacza, że trójkąty te są przystające. W szczególności $|A P| = |B P|$ , co należało wykazać. Z przystawania trójkątów $P A O$ i $P B O$ wynika również, że $|∡ O P A| = |∡ O P B|$ , czyli prosta $O P$ zawiera dwusieczną kąta $A P B$ .

Przykład 1

Rozważmy trójkąt o bokach długości $5$ , $6$ i $7$ . Wyznaczymy długości odcinków, na jakie boki trójkąta podzieliły punkty styczności wyznaczone przez okrąg wpisany w ten trójkąt. Popatrzmy na rysunek.

RUNZXW2C9BYR4

Rysunek przedstawia okrąg wpisany w trójkąt ABC. Na okręgu oznaczono punkty styczności z każdym z boków. Są to następująco: punkt P jest punktem styczności z podstawą AB i dzieli ją na dwa odcinki: od lewej x oraz y. Punkt Q jest punktem styczności z bokiem BC i dzieli go na dwa odcinki kolejno: y oraz z. Punkt R jest punktem styczności z bokiem CA i dzieli go na dwa odcinki kolejno: z oraz x.

Przyjmijmy, że $|A B| = 7$ , $|B C| = 6$ , $|A C| = 5$ . Jeśli punkty $P$ , $Q$ , $R$ są punktami, w których okrąg wpisany w ten trójkąt jest styczny do odpowiednich boków trójkąta, to z twierdzenia o odcinkach stycznych wynika, że: $|A P| = |A R|$ , $|B P| = |B Q|$ , $|C Q| = |C R|$ . Przyjmując odpowiednio oznaczenia $x$ , $y$ , $z$ możemy zapisać układ równań $\{\begin{cases} x + y = 7 \\ y + z = 6 \\ x + z = 5 \end{cases}$ . Rozwiązaniem tego układu są liczby: $x = 3$ , $y = 4$ , $z = 2$ .

Powtórzymy teraz rozumowanie z Przykładu 1. dla dowolnego trójkąta prostokątnego, co pozwoli wyprowadzić pewien przydatny wzór.

Przykład 2

Rozważmy trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $a$ , $b$ i przeciwprostokątnej $c$ . Wyznaczymy długości odcinków, na jakie boki trójkąta podzieliły punkty styczności wyznaczone przez okrąg o promieniu $r$ wpisany w ten trójkąt.

Popatrzmy na rysunek

R1GA1MW8lmdYw

Rysunek przedstawia okrąg wpisany trójkąt ABC. Na okręgu oznaczono punkty styczności z każdym z boków. Są to następująco: punkt P jest punktem styczności z podstawą AB i dzieli ją na dwa odcinki: od lewej x oraz y. Punkt Q jest punktem styczności z bokiem BC i dzieli go na dwa odcinki kolejno: y oraz z. Punkt R jest punktem styczności z bokiem CA i dzieli go na dwa odcinki kolejno: z oraz x. Ze środka okręgu linią przerywaną poprowadzono trzy promienie do trzech punktów styczności.

Przyjmijmy, że $|A B| = c$ , $|B C| = a$ , $|A C| = b$ . Jeśli punkty $P$ , $Q$ , $R$ są punktami, w których okrąg wpisany w ten trójkąt jest styczny do odpowiednich boków trójkąta, to z twierdzenia o odcinkach stycznych wynika, że: $x + y = c$ , $y + z = a$ oraz $x + z = b$ . Jeśli dodamy stronami równania układu równań $\{\begin{cases} x + y = c \\ y + z = a \\ x + z = b \end{cases}$ , to otrzymamy, że $2 (x + y + z) = a + b + c$ . Stąd $x + y + z = \frac{a + b + c}{2}$ . Odejmując od otrzymanego równania kolejno równania $x + y = c$ , $y + z = a$ oraz $x + z = b$ otrzymamy, że: $z = \frac{a + b - c}{2}$ , $x = \frac{b + c - a}{2}$ oraz $y = \frac{a + c - b}{2}$ . Pozostaje zauważyć, że $z = r$ , co pozwala sformułować poniższe twierdzenie.

O promieniu okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny

Twierdzenie: O promieniu okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny

Promień $r$ okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $a$ , $b$ i przeciwprostokątnej $c$ jest równy $r = \frac{a + b - c}{2}$ .

Słownik

okrąg wpisany w trójkąt (wielokąt)

okręgiem wpisanym w trójkąt (wielokąt) nazywamy okrąg, który jest styczny do każdego z boków tego trójkąta (wielokąta)

Wprowadzenie

Aplet

Okrąg wpisany w kąt

Słownik