Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Dwie bryły są podobne, jeśli odległości między punktami jednej bryły są proporcjonalneodcinki proporcjonalneproporcjonalne do odległości między odpowiednimi punktami drugiej bryły.

Stosunek odległości między odpowiednimi punktami brył podobnych nazywamy skalą podobieństwa.

Przykład 1

Rozpatrzmy teraz dwa ostrosłupy prawidłowe czworokątne o krawędziach podstawy długości 105 i wysokościach odpowiednio 84.

R1Y3c2su1CeTY

Są to bryły podobnefigury podobnebryły podobne. Skala podobieństwa większej z nich do mniejszej wynosi k=105=2.

Policzmy ich objętości.

V1=13·102·8=8003

V2=13·52·4=1003

Ich stosunek wynosi więc: V1V2=80031003=8=23=k3.

o zależności pomiędzy objętością a skalą podobieństwa brył podobnych
Twierdzenie: o zależności pomiędzy objętością a skalą podobieństwa brył podobnych

Jeśli skala podobieństwa brył podobnych jest równa k, to stosunek ich objętości jest równy k3.

Przykład 2

Dane są dwie kule. Objętość pierwszej jest równa V, a druga ma promień 3 razy dłuższy od promienia pierwszej kuli. Obliczmy objętość drugiej kuli.

Rozwiązanie:

Dwie kule są podobne. Ich skala podobieństwa wynosi k=3. Zatem stosunek ich objętości wynosi k3=27. Objętość drugiej kuli wynosi więc 27V.

Przykład 3

Uzasadnijmy, że stożek o wysokości długości 6 cm i polu powierzchni całkowitej 144π nie jest podobny do stożka o tworzącej długości 20 cm i objętości 1000π.

Rozwiązanie:

Rozważmy dwa stożki.

Niech r1– długość promienia pierwszego stożka, l1– długość tworzącej pierwszego stożka. Wówczas otrzymujemy równanie:

62+r12=l12

r12=l12-36

r1=l12-36

Wiemy, że pole tego stożka wynosi 144π, więc

144π=πr12+πr1l1

144π=πl12-36+πl12-36l1:π

144=l12-36+l1l12-36

180-l12=l1l12-362

32400-360l12+l14=l12l12-36

32400=324l12

l12=100

l1=10

Zatem

r1=100-36=8

V=13π·82·6=128π cm3

Porównajmy tworzące naszych stożków:

1020=12

123=18

Zatem objętość pierwszego stożka powinna być mniejsza 8 razy od objętości drugiego stożka. Sprawdźmy to:

1000π8=125π128π

Oznacza to, że stożki nie są podobnefigury podobnepodobne.

Przykład 4

Stożek o objętości V przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy. Płaszczyzna podzieliła wysokość stożka w stosunku 3:8, licząc od wierzchołka. Obliczymy objętości brył powstałych w wyniku tego podziału.

Rozwiązanie:

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

RziuQI4cnx4iL

Trójkąty ABSA'B'S są podobne KKK. Skala ich podobieństwa wynosi 311.

Zatem stożki są podobne w tej samej skali.

Stosunek ich objętości wynosi więc 3113=271331.

Objętość małego stożka wynosi 271331V, objętość stożka ściętego wynosi

V-271331V=13041331V

Bryły powstałe w wyniku podziału mają więc objętości równe 271331V13041331V.

Przykład 5

Ostrosłup przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy. Oblicz stosunek objętości otrzymanych brył, wiedząc, że pole przekroju stanowi 49% pola podstawy ostrosłupa.

Rozwiązanie:

Wykonajmy rysunek pomocniczy:

R1TFl5p2W7zne

Niech P– pole podstawy ostrosłupa, H- wysokość ostrosłupa. Wówczas pole przekroju A'B'C'D' wynosi 0,49 P.

Jako k oznaczmy skalę podobieństwa ostrosłupów ABCDSA'B'C'D'S.

Stosunek pól ich podstaw wynosi k2. Zatem mamy:

k2=0,49PP

k=0,7

Objętość wyjściowego ostrosłupa wynosi V = 1 3 P · H . Objętość ostrosłupa A'B'C'D'S wynosi zatem:

V1=0,73V=3433000PH.

Objętość pozostałej części bryły wynosi więc:

V2=V-V1=13PH-3433000PH=10003000PH-3433000PH=6573000PH

Stosunek objętości otrzymanych brył wynosi zatem:

V 1 V 2 = 343 3000 P H 657 3000 P H = 343 657 .

Przykład 6

Pola podstaw stożka ściętego wynoszą P i S, jego wysokość wynosi zaś h. Wykażmy, że objętość tej bryły wynosi V=13hP+PS+S.

Rozwiązanie:

Wykonajmy rysunek pomocniczy. Stożek ścięty powstał poprzez przecięcie stożka ABS płaszczyzną równoległą do podstawy.

Oznaczmy jako x wysokość stożka A'B'S.

R1PRBBBel1Le5

Niech P- pole górnej podstawy, S- pole dolnej podstawy.

Stożki ABSA'B'S są podobne. Skalę ich podobieństwa oznaczmy jako k. Wówczas:

k2=PS

k=PS

Oznaczmy jako r - promień stożka A'B'S, a R - promień stożka ABS.

Wiemy, że πr2=P, czyli r=Pπ oraz πR2=S, co daje, że R = S π . Z podobieństwa brył powstaje proporcja:

xr=x+hR

xPπ=x+hSπ

xSπ=xPπ+hPπ

xSπ-Pπ=hPπ

x=hPπSπ-Pπ

x+h=hPπSπ-Pπ+hSπ-hPπSπ-Pπ=hSπSπ-Pπ

Obliczmy objętości naszych stożków.

Objętość stożka ABS:

V=13·S·hSπSπ-Pπ

Objętość stożka A'B'S:

V1=13·P·hPπSπ-Pπ

Zatem objętość stożka ściętego wynosi:

V2=V-V1=13·S·hSπSπ-Pπ-13·P·hPπSπ-Pπ==13hSSπSπ-Pπ-PPπSπ-Pπ=13h·SSπ-PPπSπ-Pπ

Usuńmy niewymierność z mianownika:

13h·SSπ-PPπSπ-Pπ·Sπ+PπSπ+Pπ=13hS·Sπ+SSPπ2-PSPπ2-P·PπSπ-Pπ==13hS2+SSP-PSP-P2S-P=13hS-PS+P+SPS-PS-P==13hS+P+SP=13hP+PS+S

Słownik

odcinki proporcjonalne
odcinki proporcjonalne

jeżeli dane są cztery odcinki a, b, c, d takie, że stosunek pierwszych dwóch a:b jest równy stosunkowi dwóch ostatnich c:d, to takie odcinki nazywamy proporcjonalnymi i wyrażamy to, pisząc proporcję a:b=c:d;
w uproszczeniu możemy powiedzieć, że ich iloraz jest stały

figury podobne
figury podobne

figury, których stosunek długości każdej pary odpowiadających sobie odcinków jest stały