Przeczytaj
Dwie bryły są podobne, jeśli odległości między punktami jednej bryły są proporcjonalneproporcjonalne do odległości między odpowiednimi punktami drugiej bryły.
Stosunek odległości między odpowiednimi punktami brył podobnych nazywamy skalą podobieństwa.
Rozpatrzmy teraz dwa ostrosłupy prawidłowe czworokątne o krawędziach podstawy długości i i wysokościach odpowiednio i .
Są to bryły podobnebryły podobne. Skala podobieństwa większej z nich do mniejszej wynosi .
Policzmy ich objętości.
Ich stosunek wynosi więc: .
Jeśli skala podobieństwa brył podobnych jest równa , to stosunek ich objętości jest równy .
Dane są dwie kule. Objętość pierwszej jest równa , a druga ma promień razy dłuższy od promienia pierwszej kuli. Obliczmy objętość drugiej kuli.
Rozwiązanie:
Dwie kule są podobne. Ich skala podobieństwa wynosi . Zatem stosunek ich objętości wynosi . Objętość drugiej kuli wynosi więc .
Uzasadnijmy, że stożek o wysokości długości i polu powierzchni całkowitej nie jest podobny do stożka o tworzącej długości i objętości .
Rozwiązanie:
Rozważmy dwa stożki.
Niech – długość promienia pierwszego stożka, – długość tworzącej pierwszego stożka. Wówczas otrzymujemy równanie:
Wiemy, że pole tego stożka wynosi , więc
Zatem
Porównajmy tworzące naszych stożków:
Zatem objętość pierwszego stożka powinna być mniejsza razy od objętości drugiego stożka. Sprawdźmy to:
Oznacza to, że stożki nie są podobnepodobne.
Stożek o objętości przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy. Płaszczyzna podzieliła wysokość stożka w stosunku , licząc od wierzchołka. Obliczymy objętości brył powstałych w wyniku tego podziału.
Rozwiązanie:
Wykonajmy rysunek pomocniczy:
Trójkąty i są podobne . Skala ich podobieństwa wynosi .
Zatem stożki są podobne w tej samej skali.
Stosunek ich objętości wynosi więc .
Objętość małego stożka wynosi , objętość stożka ściętego wynosi
Bryły powstałe w wyniku podziału mają więc objętości równe i .
Ostrosłup przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy. Oblicz stosunek objętości otrzymanych brył, wiedząc, że pole przekroju stanowi pola podstawy ostrosłupa.
Rozwiązanie:
Wykonajmy rysunek pomocniczy:
Niech – pole podstawy ostrosłupa, - wysokość ostrosłupa. Wówczas pole przekroju wynosi .
Jako oznaczmy skalę podobieństwa ostrosłupów i .
Stosunek pól ich podstaw wynosi . Zatem mamy:
Objętość wyjściowego ostrosłupa wynosi . Objętość ostrosłupa wynosi zatem:
.
Objętość pozostałej części bryły wynosi więc:
Stosunek objętości otrzymanych brył wynosi zatem:
.
Pola podstaw stożka ściętego wynoszą i , jego wysokość wynosi zaś . Wykażmy, że objętość tej bryły wynosi .
Rozwiązanie:
Wykonajmy rysunek pomocniczy. Stożek ścięty powstał poprzez przecięcie stożka płaszczyzną równoległą do podstawy.
Oznaczmy jako wysokość stożka .
Niech - pole górnej podstawy, - pole dolnej podstawy.
Stożki i są podobne. Skalę ich podobieństwa oznaczmy jako . Wówczas:
Oznaczmy jako - promień stożka , a - promień stożka .
Wiemy, że , czyli oraz , co daje, że . Z podobieństwa brył powstaje proporcja:
Obliczmy objętości naszych stożków.
Objętość stożka :
Objętość stożka :
Zatem objętość stożka ściętego wynosi:
Usuńmy niewymierność z mianownika:
Słownik
jeżeli dane są cztery odcinki , , , takie, że stosunek pierwszych dwóch jest równy stosunkowi dwóch ostatnich , to takie odcinki nazywamy proporcjonalnymi i wyrażamy to, pisząc proporcję ;
w uproszczeniu możemy powiedzieć, że ich iloraz jest stały
figury, których stosunek długości każdej pary odpowiadających sobie odcinków jest stały