Jeżeli $W\left(x\right)$ i $P\left(x\right)$ są wielomianami, $P\left(x\right)$ nie jest wielomianem zerowym $\left(P\left(x\right)\not\equiv 0\right)$ to równanie

nazywamy równaniem wymiernymrównanie wymiernerównaniem wymiernym z jedną niewiadomą $x$.

Łukasz ma $24$ lata, a jego młodszy brat – $14$ lat. Obliczymy, za ile lat stosunek wieku Łukasza do wieku jego brata będzie równy $4:3$.

Rozwiązanie:

Wprowadźmy następujące oznaczenie:

$x$ – liczba lat, które upłyną, gdy stosunek wieku braci będzie wynosił $4:3$ ($x>0$)

Aby wyznaczyć $x$,  rozwiązujemy równanie:

$\frac{24+x}{14+x}=\frac{4}{3}$

$3·\left(24+x\right)=4·\left(14+x\right)$

$72+3x=56+4x$

$x=16$

Wobec tego musi upłynąć $16$ lat.

Magda wykonuje pewną pracę w ciągu $9$ godzin, a Ania w ciągu $6$ godzin. Obliczymy, ile czasu zajęłoby im wykonanie tej pracy, gdyby pracowały razem.

Rozwiązanie:

Niech $w$ będzie pracą do wykonania, a $t$ czasem wyrażonym w godzinach, potrzebnym na wykonanie tej pracy, gdyby Magda i Ania pracowały razem.

Zatem w ciągu $1godziny\; wykonano\; pracę:$

• $\frac{w}{9}$, jeżeli pracę wykonuje tylko Magda,

• $\frac{w}{6}$, jeżeli pracę wykonuje tylko Ania,

• $\frac{w}{\mathrm{t}}$, jeżeli Magda i Ania pracują razem.

Zatem do wyznaczenia wartości $t$ $\left[h\right]$, gdzie $t>0$ rozwiązujemy równanie:

$\frac{w}{9}+\frac{w}{6}=\frac{w}{t}$

Po podzieleniu obu stron równania przez $w$ (liczbę dodatnią) rozwiązujemy równanie:

$\frac{1}{9}+\frac{1}{6}=\frac{1}{t}$

$\frac{5}{18}=\frac{1}{t}\Rightarrow t=\frac{18}{5} h$

$t=\frac{18}{5} \mathrm{h}=3\frac{3}{5} \mathrm{h}=3 \mathrm{h} 36 \min$

Gdyby Magda i Ania pracowały razem, to wykonanie pracy zajęłoby im $3 \mathrm{h} 36 \min$.

Mama kupiła cukierki czekoladowe w cenie $x$zł  za kilogram i zapłaciła $48 \mathrm{zł}$ oraz taką samą ilość cukierków orzechowych droższych o $6 \mathrm{zł}$ za kilogram i zapłaciła $66 \mathrm{zł}$. Obliczymy, ile kosztował kilogram cukierków czekoladowych, a ile kilogram cukierków orzechowych.

Rozwiązanie:

Niech $x$ będzie ceną za kilogram cukierków czekoladowych, wyrażoną w złotych.

Wobec tego:

• $\frac{48}{x}$ – ilość zakupionych cukierków czekoladowych w kilogramach,

• $\frac{66}{x+6}$ – ilość zakupionych cukierków orzechowych w kilogramach.

Aby wyznaczyć cenę  za kilogram cukierków czekoladowych,  rozwiązujemy równanie:

$\frac{48}{x}=\frac{66}{x+6}$

$48·\left(x+6\right)=66x$

$48x+288=66x$

$18x=288$

$x=16$

Czyli $x+6=16+6=22$

Zatem $1 \mathrm{kg}$ cukierków czekoladowych kosztował $16 \mathrm{zł}$, a $1 \mathrm{kg}$ cukierków orzechowych kosztował $22 \mathrm{zł}$.

Gdy jest otwarty kran dostarczający  ciepłą wodę to napełnienie całego zbiornika trwa o $5 \min$ dłużej niż gdy jest otwarty kran dostarczający  zimną wodę. Jeśli obydwa krany są otwarte to napełnienie zbiornika odbywa się w ciągu $6 \min$. Obliczymy, ile czasu potrzeba na napełnienie pustego zbiornika, gdy odkręcony  jest tylko kran dostarczający ciepłą wodę.

Rozwiązanie:

Niech $w$ będzie objętością zbiornika oraz $t$ czasem wyrażonym w minutach napełnienia zbiornika, gdy jest otwarty kran dostarczający  zimną wodę ($t>0$).

Obliczymy, jaka część objętości zbiornika zostanie napełniona w czasie  $1 \min$:

• $\frac{w}{t}$, jeżeli otwarty jest tylko kran dostarczający  zimną wodę,

• $\frac{w}{t+5}$, gdy otwarty jest tylko kran dostarczający  ciepłą wodę,

• $\frac{w}{6}$, jeżeli obydwa krany są otwarte.

Wobec tego, aby wyznaczyć   czas potrzebny na napełnienie zbiornika, gdy jest otwarty kran dostarczający  zimną wodę,  rozwiązujemy równanie:

$\frac{w}{t}+\frac{w}{t+5}=\frac{w}{6}$

Po podzieleniu obu stron równania przez $w$ (liczbę dodatnią), otrzymujemy:

$\frac{1}{t}+\frac{1}{t+5}=\frac{1}{6}$

$6·\left(t+5\right)+6t=t·\left(t+5\right)$

$t^2-7t-30=0$

$∆={\left(-7\right)}^2-4·1·\left(-30\right)=169$

$\sqrt{∆}=13$

$t_1=\frac{7-13}{2}=-3<0$

$t_2=\frac{7+13}{2}=10>0$

Wobec tego czas potrzebny na napełnienie pustego zbiornika, gdy odkręcony jest tylko  kran dostarczający  ciepłą wodę wynosi:

$10min+5min=15min$

Uczeń przeczytał książkę liczącą $400$ stron, przy czym każdego dnia czytał jednakową liczbę stron. Gdyby czytał każdego dnia o $5$ stron więcej, to przeczytałby tę książkę o $4$ dni wcześniej. Obliczymy, ile dni uczeń czytał tę książkę.

Rozwiązanie:

Wprowadźmy następujące oznaczenia:

$x$ – liczba dni, przez które uczeń czytał książkę,

$y$ – liczba stron książki przeczytanych przez ucznia w ciągu jednego dnia.

Wobec tego do wyznaczenia wartości $x$ i $y$ ($x$, $y>0$) rozwiązujemy układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{400}{y}\\ x-4=\frac{400}{y+5}\end{array}\right.$

Rozwiązanie tego układu równań sprowadzamy do równania wymiernego postaci:

$\frac{400}{y}-4=\frac{400}{y+5}$

$400·\left(y+5\right)-4y·\left(y+5\right)=400y$

$400y+2000-4y^2-20y-400y=0$

$-4y^2-20y+2000=0$

$-\mathrm{}{y}^2-5y+500=0$

$∆={\left(-5\right)}^2-4·\left(-1\right)·500=25+2000=2025$

Zatem

$y_1=\frac{5-45}{-2}=\frac{-40}{-2}=20>0$

$y_2=\frac{5+45}{-2}=-25<0$

Ponieważ $y=20$, więc $x=\frac{400}{20}=20$

Uczeń czytał książkę przez $20$ dni.

równanie postaci

gdzie:
$W\left(x\right)$ i $P\left(x\right)\ne 0$ – są wielomianami przynajmniej stopnia pierwszego